第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用（一）

1、精选优质文档-倾情为你奉上第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A是分布在区间a,b上的整体量，即A与区间a,b有关，在a,b上连续分布。2、量A具有可加性，即整体量等与部分量的和:nAi ；i1专心-专注-专业3、量A在区间a,b上的分布是非均匀的。现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。f(X)为曲边的a,b上设f(x)在区间a,b上连续，且f(x) 0，求以曲线的曲边梯形的面积A .把这个面积A表示为定积分Aab f (x)dx

2、，求面积A的思路是“分割、取近似、求和、取极限”即:1、分割将a,b分成n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形,其面积记作A(i 1,2,n),则 A A ；i12、(xi 1ixn ) ；3、求和求和得A的近似值Anf( i)i1xi ；4、n取极限 取极限得 A lim0i1f( i ) xibf (x)dx a取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 Ai 的 近 似 值 Aif( i) xix细分区间a,b，从中任取一小区间x,x dx(dx x)，并求出相应于这个小区间的部分量a oA的近似值/Jx X dx b X为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为

3、A，区间y A 为a,b,1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整在dx 0时，将A从a到b连续求和，则有：Af(x)dx. yn由于A与区间a,b有关，且在a,b上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx，从而，x有积分ax b Xx dx ；xbbbdA dA x d f x dx f x dx， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx实际上就是量A在点x出的微分，将dA f x dx称为量A的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算1、当平面图形是由曲线f(x)及

4、直线xb、y 0所围成时;bA f x dx ；当 f (x)0 时,a当f(x) 0时般地,oyyobf x dx ；af x dxdf x dx f x dxacbf x dx.d2、当平面图形是由曲线伞yyiX、y2 f2 x及直线x a、x b所围成时;yyifi xy2To xbx若yi y2时，则有：Af2 xfi xdxbbf2 x dxfiaax dx般地,f2 xfl x dxacfi xaf2 xddxcf2bxfi x dxdfi x f2 x dx3、当平面图形是由曲线Xifi y、X2f2 y及直线yd所围成时;d则：A 2 y 1 y dy.cx例1、计算由两条抛物

5、线y2x例2、计算抛物线y2 2x与圆x2寸8所围平面图形的面积。例3、计算抛物线y2 2x与直线x y 4所围平面图形的面积。2、曲线方程为参数方程的平面图形面积的计算设曲线的参数方程为:，则:t dt.例4、计算摆线Sint cost的一拱与x轴围成的平面图形的面积。例5、求椭圆xxa 0,b围成的平面图形的面积。a cost bsintx第六讲§ 5.2定积分在几何中的应用（二）3：、极坐标下面积的计算设曲线的极坐标方程为：r r;求由曲线r r 及射线围成的曲边扇形的面积。用微元法先求出曲边扇形面积的微元。细分区间，从中任取一小区间d将x于是：A予2 d2 r2d .a 1

6、cosxi I r该区间上对应的小曲边扇形近似的看作圆弧扇形, 从而可得面积的微元:dA 2r2d .例1、求心形线ra 1 cos a 0围成图形的面积。解：由图形的对称性,其面积等于极轴上方面积A的2倍,于是，A2A2o2r2da2 10cos 2d 3 a2.4例2、求圆r 2acos的面积。例3、求双纽线r2 a2cos2a 0围成图形的面积。a2 si n2解：令r 0可得，一，由图形的对称性,4其面积等于位于第一象限部分面积的422 a cos2 d0二、旋转体的体积由连续曲线y f(x) ,x轴及直线x a,x b所围成的曲边梯形绕x轴旋转周所形成的几何体称为旋转体。求此旋转体的体积V . y f x先求几何体的体积微元。细分区间a,b，从中任取一小区间x,x dx，在此小区间上，将所对应的小旋转体近似的看作以y f(x)为底半径，dx为高的小圆柱体，从而可得：dVf2 X dx.i a 1 W ;"； lx dx b.-I ,1-V74bb于是：V dV f2 x dxaaby2dx.类似的可求出由连续曲线x y、y轴及直线d围成的曲边梯形绕图5 10绕X轴求体积 y轴旋转一周所形成的旋转体的体积V .dV 2 y dy ；ddV dV