定积分的概念和性质、,定理

1、2022-3-4第五章第五章 定积分定积分 上一页下一页掌握定积分概念及基本性质；掌握定积分概念及基本性质；理解可积的充要条件、充分条件、必要条件；理解可积的充要条件、充分条件、必要条件；掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱布尼兹公式；布尼兹公式；掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法等）。等）。 教学目标：教学目标：第五第五 章章 定积分定积分一、定积分的概念和性质、定积分的概念和性质 1 1“直线形直线形”平面图形的面积求法平面图形的面积求法 容易求积的基本图形有：容易求积的基本图形有：矩形，梯形，三角形

2、矩形，梯形，三角形具直线段边界的平面图形面积的求法具直线段边界的平面图形面积的求法 化成容易求积的基本图形化成容易求积的基本图形 归结为三角形面积之和归结为三角形面积之和称三角形为直线形图形的称三角形为直线形图形的“基元图形基元图形” （basic element graphbasic element graph） 什么是什么是“曲线形曲线形”图形的图形的“基元图形基元图形”？ 如何定义如何定义“基元图形基元图形”的的“面积面积”才合理？才合理？ 任一任一“直线形直线形”图形可划分图形可划分成成 有限个有限个“基元图形基元图形”的的“并并” 定义基元图形的定义基元图形的“面积面积”问题问题：“

3、曲线形曲线形”图形如何求面积？图形如何求面积？求得面积求得面积2 2基元图形的选取基元图形的选取曲边梯形曲边梯形 （1 1）曲线形的分解曲线形的分解曲边梯形的概念曲边梯形的概念 用两组互相垂直的平行线用两组互相垂直的平行线“分割分割”曲线曲线形形分割后的小块，有两种情况：分割后的小块，有两种情况： 矩形矩形 归结为已能求面积的图形归结为已能求面积的图形 由一条曲线和三条直边组成由一条曲线和三条直边组成的图形的图形 这种图形称为这种图形称为“曲边梯形曲边梯形”“曲边梯形曲边梯形”是曲线形的基元图形是曲线形的基元图形（2 2）曲边梯形在直角坐标系中的表示曲边梯形在直角坐标系中的表示 设曲边梯形为设

4、曲边梯形为S S，把，把S S中与曲边相对的直边放在中与曲边相对的直边放在x x轴上轴上 曲边梯形由下列方程代表的曲（直）线所围成曲边梯形由下列方程代表的曲（直）线所围成0,)(ybxaxxfy，Oabxy)(xfy 3 3曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积（下的面积（ ） )(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。若若“梯形梯形”很窄，可近似地用矩形面积代很窄，可近似地用矩形面积代替替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？ 以直代曲以直代曲 （3 3）求和求和 把这些矩形面

5、积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边梯形面积作为整个曲边梯形面积S S的近似值。的近似值。 iniixf)(1（1 1）分割分割 在在 间插入间插入 个分点个分点： ,ba1nbxxxaxn2101, 2, 1,nixxiiS 作平行于作平行于y y轴直线轴直线 将曲边梯形分成将曲边梯形分成n n个小曲边梯形个小曲边梯形 。在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点 ， ,1iixxi用矩形的面积用矩形的面积 来近似小曲边梯形面积来近似小曲边梯形面积 。iixf)(iS（2 2）取近似取近似 （4 4）取极限取极限 有理由相信，分有理由相信，分点越来越密时，即分点越来越密时，即分割越来越

6、细时，矩形割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲面积和的极限即为曲边梯形的面积。边梯形的面积。 所以，为了求曲所以，为了求曲边梯形的面积，就要边梯形的面积，就要研究这个特殊和式的研究这个特殊和式的极限，这就是定积分。极限，这就是定积分。 oxy1 1、 求平面图形的面积求平面图形的面积（一）问题的提出（一）问题的提出会求梯形的面积，会求梯形的面积， 曲边曲边梯形梯形的面积怎样求？若的面积怎样求？若会，则可求出各平面图形的面积。会，则可求出各平面图形的面积。 考虑如下曲边梯形面积的求法。考虑如下曲边梯形面积的求法。 abxyo? A)(xfy 2/29abxyoabxyo思路：思路：用已知代未知，

7、利用极限由近似到精确。用已知代未知，利用极限由近似到精确。 一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）用用矩形矩形面积面积近似近似曲边梯形曲边梯形面积：面积：3/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察

8、下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积

9、和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯

10、形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29观察下列演示过程，注

11、意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4/29曲边梯形面积的计算曲边梯形面积的计算：, 1210bxxxxxabann 内内插插入入若若干干个个分分点点，在在abxyoix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba为为，长长度度区区间间个个小小分分成成把把，任任取取一一点点上上在在每每个个iiixx ,1 iiixfA )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx i 5/29iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为,)(1Axfinii 时时，

12、即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细0,max ,21 nxxx 有，小矩形面积和有，小矩形面积和。：即即有有iniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形面面积积计计算算公公式式6/292 2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 设设某某物物体体作作变变速速直直线线运运动动，已已知知速速度度 v=v(t) 是是时时间间间间隔隔 T1, T2 上上 t 的的一一个个连连续续函函数数，且且 0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程. 思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度以把整段时间分割成若干小段，每小段上速度以其中

13、某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的近似，其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的近似，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值限细分过程求得路程的精确值7/29（1）分割：）分割：212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度iinitvs )(1 ,max 21nttt 记记iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：许多问题都会遇到这类形式的许多问题都会遇到这类形式的和式极限和式极限。8

14、/29设设 f 在在,ba上上有有定定义义。 记记,max21nxxx ，在在,ba中中任任意意插插入入分分点点 把把,ba分成小区间，分成小区间，记记1 iiixxx，), 2 , 1( i， 任任取取,1iiixx ， 作作乘乘积积 iixf )( ), 2 , 1( i（二）（二） 定积分的定义定积分的定义定义定义9/29并求和并求和 iinixfS )(1 ，bxxxxxann 1210 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量.,积分区间ba也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上上 点点 i怎怎样样的的取取法法， 只要

15、只要 ， 总总有有 S趋趋于于确确定定的的极极限限 I， 就就称称 f 在在 a,b 上上可积可积，并，并称称 I 为为f 在在a,b上的上的定积分定积分， 记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和如果如果不论对不论对 a, ,b 怎样的分法怎样的分法， 10/29注：注： badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i的的取取法法是是任任意意的的. 而而与与积积分分变变量量的的字字母母的的选选择择无无关关. . （3）定定积积分分与与被被积积函函数数在在积积分分区区间间上上有有限限个个点点处处的的定定义义无无关关. 11/29若

16、若 f 在在,ba上连续或分段连续，上连续或分段连续， 1 1、可积的、可积的充分充分条件条件2 2、可积的、可积的必要必要条件条件若若 f 在在,ba上可积，上可积， 则则 f 在在,ba上可积。上可积。 则则 f 在在 存在定理存在定理,ba上上有有界界。12/29, 0)( xf baAdxxf)(为曲边梯形的面积；为曲边梯形的面积；, 0)( xf baAdxxf)(为曲边梯形的面积的负值。为曲边梯形的面积的负值。（三）定积分的几何意义（三）定积分的几何意义一般地一般地。数数和和，即即之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代及及直直线线轴轴、曲曲线线为为介介于于面面积积有有向向bxax

17、xfyxdxxfba ,)( )( 13/29证证 由定积分的定义， 是常数，积分和式 所以 特别的，当A=1时， 。 ( )f xA111( )(),nnniiiiiiifxA xAxA babaAdx 001lim()lim()().niiifxA baA babadxba例例1 1 试证明 ，其中A为常数。()baAdxAb a 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小虑积分上下限的大小（四）定积分的性质（四）定积分的性质补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdx

18、xf)()(.说明说明:15/29 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k 为为常常数数). 性质性质2 2 性性质质 1 与与 2 合合为为（定定）积积分分的的线线性性: .)()()()( bababadxxghdxxfkdxxhgxkf （k、h 为为常常数数). badxxkf)(iinidfxkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 线线性性.)( badfdxxfk*证性质证性质2：证毕证毕16/29 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(. 补

19、充补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,（证明略）（证明略）对对bca ，有有 性质性质3 3（关于积分区间的可加性关于积分区间的可加性）17/29dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . 性质性质4 4如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf， 推论推论1 1（比较定理比较定理）则则dxxfba )( dxxgba )(. . 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ， dxxfba )(dxxfba )(. )(ba 性质性质5 5（保号性保号性）（证明略）（证明略）推论推论2 218/29解解,0, 2 , xxexd

20、xex 02,02dxx dxex 20.20dxx 19/29设设 M 及及 m 分分别别是是f在在a,b上上的的最最大大值值及及最最小小值值， （证明略）（证明略）此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围则则 )()()(abMdxxfabmba . . 性质性质6 6 （估值不等式估值不等式）解解, , 0时时当当 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx20/29如如果果)(xf Ca,b，则则存存在在 ,ba，使使得得 证证.)(1Mdxxfabmba ,baCf 由介值定理知，由

21、介值定理知，dxxfba )()(abf . . 性质性质7 7（积分中值定理积分中值定理）积分中值公式积分中值公式).()()(abMdxxfabmba 于于是是，有有., mMbaf和和别别记记为为有有最最大大值值和和最最小小值值，分分在在存存在在 a,b，使使 ,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf 即即证毕证毕 .22/29在在,ba上上至至少少存存在在一一点点 ， 几何解释：几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的一个矩

22、形的面积。的一个矩形的面积。注注 积分中值定理将对积分值的讨论转化为积分中值定理将对积分值的讨论转化为对被积函数的讨论。对被积函数的讨论。23/29 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，我们称上连续，我们称 为函数为函数f(x)在在a,b上的平均值上的平均值. (P108 5 )baxxfabd)(1 如已知某地某时自如已知某地某时自0至至24时天气温度曲线为时天气温度曲线为f(t), t为时间，则为时间，则 表示该地、该日的平均气温表示该地、该日的平均气温.240d)(241ttf 如已知某河流在某处截面上各点的水深为如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河

23、流在该截面处水面之宽度为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流，则该河流 在该截面处的平均水深为在该截面处的平均水深为 .ax 0axxha0d)(1yO6-7x2yx2yx * *例例4 4试用定积分表示图试用定积分表示图6-76-7中阴影中阴影部分的面积。部分的面积。解解 阴影部分的面积是阴影部分的面积是x x轴以上，轴以上， ，曲边，曲边 以下的面积以下的面积与曲边与曲边 以下面积之差，由定积以下面积之差，由定积分的几何意义及性质分的几何意义及性质2 2，图中阴影部，图中阴影部分的面积分的面积A A为为 01xyx11122000().Axdxx dxxx dx2yx思考题思考题 定定积积

24、分分性性质质中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积，则则)()(xgxf 在在,ba上上也也可可积积。这这一一性性质质之之逆逆成成立立吗吗？为为什什么么？28/29思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 在在,ba上可积，不能断言上可积，不能断言)(),(xgxf在在,ba上都可积。上都可积。 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxf0, 1)( 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxg1, 0)(显显然然)()(xgxf 在在1 , 0上上可可积积，但但)(),(xgxf在在1 , 0上上都都不不可可积积。 例例29/29三、小结三、小结定积分的实质定积分的实

25、质：特殊和式的极限特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和积零为整积零为整取取极限极限精确值精确值定积分定积分求近似：以直（不变）代曲（变）求近似：以直（不变）代曲（变）取极限取极限3可积的充分条件与必要条件。可积的充分条件与必要条件。4 4定积分的性质。定积分的性质。5 5典型问题典型问题: : () 估计积分值；估计积分值；()（不计算）比较积分大小（不计算）比较积分大小27/29一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数)(xf 在在 ba ,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定积分的

26、值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关 . .3 3、 定积分的几何意义是定积分的几何意义是_ . .4 4、 区间区间 ba ,长度的定积分表示是长度的定积分表示是_ . .二、二、 利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积 . .三、三、 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分 baxdx，)(ba . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案作 业 预习：预习：5.2 微积分学基本定理微积分学基本定理 P108 15一微积分学基本定理一微积分

27、学基本定理 NewtonNewton和和leibnizleibniz独立创立微积分之前，已有独立创立微积分之前，已有积分和微分的概念，它们起源不同，出现的时间有积分和微分的概念，它们起源不同，出现的时间有先后，解决的问题也不同，但先后，解决的问题也不同，但NewtonNewton和和leibnizleibniz几几乎同时发现了它们的联系乎同时发现了它们的联系微积分学基本定理，微积分学基本定理，从而创立了从而创立了CalculusCalculus，这是里程碑式的成果。，这是里程碑式的成果。第第2 2节节 微积分学基本定理微积分学基本定理一、变上限积分与对积一、变上限积分与对积分上限变量求导数分上

28、限变量求导数二、二、微积分基本定理微积分基本定理第第2 2节节 微积分学基本定理微积分学基本定理一、变上限积分与对积分上限变量求导数 设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x( )，积分 存在，且对于给定的x( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.bxaxaxxfd)(bxaxaxxfd)(注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为.d)(xattfxx x类似地可有类似地可有“变下限积分变下限积分”,)()(bxdttfxG,bax

29、xyO ab。x 以免混淆分变量写成在变限积分中不可将积注,1。dttfdttfaxxa因此只讨论变上限积分由于注,)()(22 变限上积分的性质变限上积分的性质1) 连续性连续性定理定理9.9.,)()(,上连续在则上可积在若badttfx，bafxa上在则可变上限积分上连续在若,ba，baf且且处处可导处处可导，.,),()()(baxxfdttfdxdxxa 2) 原函数存在定理原函数存在定理(微积分学基本定理微积分学基本定理)注注 )()()()(xxfxxf )()()()(xxdttfdxdxF 如如果果)(tf连连续续，)(x 、)(x 可可导导，（1）)()()()()(xfd

30、ttfxFdttfxFxaax 则则（2）)()()()()()()()(xxfdttfxFdttfxFxaxa 则则要性微积分学基本定理的重注(i) 解决了原函数的存在性问题解决了原函数的存在性问题(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系沟通了导数与定积分之间的内在联系(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据为寻找定积分的计算方法提供了理论依据精僻地得出精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数上的连续函数一定存在原函数,且且, ba 是是 的一个原函数这一基本结论的一个原函数这一基本结论.)(x )(xf为微分学和积分学架起了桥梁为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学因此被

31、称为微积分学基本定理基本定理.)(x 定理指出定理指出 是是 的一个原函数的一个原函数,而而 又是变上限又是变上限)(xf)(x 积分积分,故故 baaadxxfadxxfb)()(,)()( . )()()( baabdxxf 补充定理（原函数存在定理）补充定理（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分

32、学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.上一页下一页( )tf te解解 (1) (1) 是连续函数，由定理是连续函数，由定理1 1得得0.xtxde dtedx220022xuttuxdddue dte dtexxedxdudx.20;xtde dtdx0;xtde dtdx例例1 1 求求(1) (2)(1) (2)(2) (2) 设设 ，由复合函数求导法则得，由复合函数求导法则得2ux. d)1ln(dd12xttx例2 求).1ln(d)1ln(dd3 . 6212xttxx有根据定理 解定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）二、牛顿莱布尼茨公式( )|( )( )( )bba

33、af x dxF bxFFa或或(F(x)叫 做 f(x)的 原 函 数 , f(x)就 是 F(x)的 导 函 数 ) 如果如果f(x)f(x)是区间是区间a,ba,b上的连续函数上的连续函数, ,并且并且F F(x)=f(x),(x)=f(x),则则baf x dxF bF a( )( )( )()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( (1) 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量. (3)当当ba 时时，)()()(aFbFdxxfba 仍仍

34、成成立立. (2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题的的问题.例例3 3 计算下列定积分计算下列定积分 2 21 11 1(1)dx(1)dxx x解解（）（）1 1(lnx) =(lnx) =x xlnlnbab bb ba aa a1 1公公式式1 1: : d dx x = =l ln nx x| |x x3 31 1(2) 2xdx(2) 2xdx3221|3183 32 21 1( (2 2) ) 2 2x xd dx x = = x x2 21 1=lnx| =ln2-ln1=ln2=lnx| =ln2-ln1=ln22 21 11 1dx

35、dxx x( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函数是关健函数是关健 练习：练习： 1 10 01 10 01 13 30 02 23 3-1-1(1) 1dx = _(1) 1dx = _(2) xdx = _(2) xdx = _(3) x dx = _(3) x dx = _(4)x dx = _(4)x dx = _nxn+1n+1b bb ba aa ax x公公式式2: dx =|2: dx =|n+1n+111/21/415/4复习复习: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. dx)x(g)x(fba babadx)

36、x(gdx)x(f性质性质2. badx)x(kf badx)x(fk例例 4 4计算下列定积分计算下列定积分 原式原式33221111()dxdxdxdxxx333322221111=3x3x=3x3x解解:3 32 22 21 11 1(3x -)dx(3x -)dxx x211)xx 3 32 2( (x x ) ) = =3 3x x , , ( (3311176(31 )()313x3 333 331111= x |= x |( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a 练习：练习： _(1)xe1 12 20 02 22 21 12 22 2-1-12 21 1

37、(1) (-3t +2)dt(1) (-3t +2)dt1 1(2) (x+) dx = _(2) (x+) dx = _x x(3) (3x +2x-1) dx = _(3) (3x +2x-1) dx = _(4)dx = _(4)dx = _23/619e2-e+1( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a例例 5 5计算下列定积分计算下列定积分 20 0(2)cosxdx(2)cosxdx0 0(1)sinxdx(1)sinxdx解解（1）(s )sinco xx 00sin(s )|cos( cos0)1 12xdxco x 思考思考:( )a的几何意义是什么0

38、 0sinxdx?sinxdx?22( )( )bc0 00 0sinxdx = _sinxdx = _sinxdx = _sinxdx = _0120 0( (2 2) )c co os sx xd dx x2200cossin|sinsin01 012xdxx (sin )cosxx解解思考思考:2( )a的几何意义是什么0 0c co os sx xd dx x? ?2( )( )bc0 00 0c co os sx xd dx x = = _ _ _ _ _ _ _ _c co os sx xd dx x = = _ _ _ _ _ _ _ _00.d102xx例6 求的一个原函数，是

39、被积函数因为xx233 解.31333d 0133103102xxx莱布尼茨公式，有根据牛顿例7求.d11112xx11112arctand11xxx莱布尼茨公式，有根据牛顿的一个原函数，是被积函数因为 11arctan 2xx 解.2 )4(4) 1arctan(1arctan例例8 8 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解：解：解：解： 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxd

40、x原原式式. 6 xyo12上一页下一页例例9 9 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 xyo2xy xy 122 上一页下一页例例10 10 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积.解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 上一页下

41、一页例11 求.darctanlim200 xxxtt必达法则，有型的极限问题，利用洛这属于00 xttxttxxxxx)(darctandd darctan200200limlim 解xxx)()(arctan21lim0 xxx2arctan lim0.211112120limxx3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系上一页下一页 设设)(xf在在,ba上上连连续续

42、，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 思考：思考： 应该说定积分的思想最早产生于中国，三国时候应该说定积分的思想最早产生于中国，三国时候（263 年），我国科学家刘徽就提出了年），我国科学家刘徽就提出了“割圆术割圆术”方法，方法，他把圆的面积用正多边形面积来近似代替，算出了他把圆的面积用正多边形面积来近似代替，算出了 （称徽（称徽 率）。刘徽所说的率）

43、。刘徽所说的“割只弥细，所失弥割只弥细，所失弥小，割之又割，以之不可割，则与圆合体而无所失矣小，割之又割，以之不可割，则与圆合体而无所失矣”14. 3返回 刘 徽 祖冲之，这正是定积分的核心思想。南北朝时我国古代数学家祖冲之（这正是定积分的核心思想。南北朝时我国古代数学家祖冲之（429-500）在）在缀术缀术一书一书 中又求得中又求得 在在 与与 之间之间 ”，比欧洲最早得出这，比欧洲最早得出这个近似值的德人鄂图早个近似值的德人鄂图早1100余年余年1415926.31415927.3 英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了，三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位，1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大