工业机器人第三章

1、第三章第三章 机器人运动学机器人运动学已知关节变量已知关节变量 ，求末端执行器位姿，求末端执行器位姿TnqqqQ,.,11?E本章要解决的问题：本章要解决的问题： 已知已知 ，求，求?QE3.1 杆件、关节、标架、杆件变换杆件、关节、标架、杆件变换一、基本概念（图一、基本概念（图31）图图 3-11、（Link):操作机器人的每个运动单元，称操作机器人的每个运动单元，称为为图图 3-10L2LnL1L1J2JnJ:0L机座，固定不动，称为机座，固定不动，称为0号杆件；号杆件；:1L与机座相联的第一个杆件；与机座相联的第一个杆件；:2L与第一个杆件相联的后一个杆件；与第一个杆件相联的后一个杆件；

2、与一般机构不同，在谈起机器人时，常说机器人是多少个与一般机构不同，在谈起机器人时，常说机器人是多少个自由度的，而不说是几杆机构自由度的，而不说是几杆机构！开式链机器人用此标法，并联机器人有专用方法开式链机器人用此标法，并联机器人有专用方法。2、（Joint):连接相邻两个杆件的运动副，称为连接相邻两个杆件的运动副，称为习惯上，习惯上，:1J连接连接 与与 ；0L1L:2J连接连接 与与 ；1L2L关节分类：关节分类：考虑到运动精度以及技术实现等原因，操作机器人一般考虑到运动精度以及技术实现等原因，操作机器人一般只用两种形式的关节！只用两种形式的关节！只能单自由度回转而不能移动的低副；只能单自由

3、度回转而不能移动的低副；只能单自由度移动而不能回转的低副；只能单自由度移动而不能回转的低副；3、（Frame):在机器人学中，常将在机器人学中，常将称为。称为。4、（DOF egree- f- reedom): 机器人末端执行器所具有的独立运动能力，称为机器人机器人末端执行器所具有的独立运动能力，称为机器人的的5、（Mobility):机器人所具有的关节数，称为机器人的机器人所具有的关节数，称为机器人的自由度与活动度间的关系？（人自腰部以上到手腕为多少？）自由度与活动度间的关系？（人自腰部以上到手腕为多少？）二、基本参数二、基本参数1、（图（图32）： ，杆件，杆件i上两条轴线间公法线长度，称

4、为上两条轴线间公法线长度，称为ia： ，杆件，杆件i上两条轴线在垂直于公法线平面内的上两条轴线在垂直于公法线平面内的夹角，称为（）夹角，称为（）iiia图图 3-2i用这两个参数就可以确定相邻两条轴用这两个参数就可以确定相邻两条轴线的相互位置！；线的相互位置！；杆件结构确定了，这杆件结构确定了，这2 2个参数为常量；个参数为常量；i=0 及及i=n 时的参数呢？（仅时的参数呢？（仅1根轴线）根轴线） 待标架建立后才待标架建立后才能确定！能确定！若杆件的两根轴线平行，杆件参数是多少？若杆件的两根轴线平行，杆件参数是多少？（扭角：（扭角：纵向左右扭！）纵向左右扭！）杆件参数可能是负值吗？杆件参数可

5、能是负值吗？2、（图（图33）1i1id图图 3-3i1i2iJ1iJiJ：关节：关节 上上相邻两条公法线在垂直于相邻两条公法线在垂直于 轴线平面内的夹角，称轴线平面内的夹角，称为为1i1iJ1iJ：关节：关节 上相邻两上相邻两条公法线沿条公法线沿 轴线测得的距轴线测得的距离，称为离，称为1id1iJ1iJ（ 轴上两条公法线间的最短距轴上两条公法线间的最短距离）离）1iJ如同杆件参数一样，关节参数也为非负值！如同杆件参数一样，关节参数也为非负值！对回转关节：对回转关节： 是常量，是常量， 是变量；是变量；1id1i对棱柱关节：对棱柱关节： 是变量，是变量， 是常量；是常量；1id1ii=0 及

6、及i=n 时的参数呢？时的参数呢？ 待标架建立后才能确定！待标架建立后才能确定！关节参数物理含义？关节参数物理含义？ 决定了相邻两个杆件间相互位置；决定了相邻两个杆件间相互位置；11 ,iid若相邻若相邻3根轴线平行，可直接可以看出关节角即是根轴线平行，可直接可以看出关节角即是i+1杆杆 相对于相对于i 杆转过的角度；杆转过的角度； （图（图3-4）01idiL1iL图图 3-4在机器人中常用回转关节，若在机器人中常用回转关节，若 意味着相邻两个杆件不意味着相邻两个杆件不上下交错，将可能导致关节角上下交错，将可能导致关节角小于小于360。01id人臂结构如何？人臂结构如何？三、三、Denavi

7、t-Hartenberg标架（简称标架（简称D-H标架）标架）1、杆件上标架的建立、杆件上标架的建立杆件标架建立方法不一样，位姿杆件标架建立方法不一样，位姿描述含义与结果也不一样！描述含义与结果也不一样！为统一起见，均采用本讲义为统一起见，均采用本讲义D-HD-H方法（其它方法？）方法（其它方法？）1.1 中间杆件标架中间杆件标架 （i=1,2,n-1)（图（图3-5）(1) ：与：与 轴线重合，正方向按照机器人轴线重合，正方向按照机器人确定确定iZiJ ：与：与 杆件公法线重合，由杆件公法线重合，由 指向指向 iXiLiJ1iJ0iaiiiZZX1（3） ：按照右手法则确定；：按照右手法则确

8、定；iYiOiXiZ（4） ： 与与 交点。交点。图图 3-5iiJiZ1iJiXiO（左臂）、（左臂）、（右臂）。使机器人初（右臂）。使机器人初始转动角度为正值！始转动角度为正值！特殊情况：特殊情况：当当 ，即，即 与与 相交时，相交时， 取在交点处；取在交点处；0iaiZ1iZiO当当 时，时， 取在使取在使 处；处；1 iiZZiO01id杆件标架的建立需要两根特殊的线：关节轴线、公法线！杆件标架的建立需要两根特殊的线：关节轴线、公法线！杆件的标架位于杆件前一个关节轴线上！杆件的标架位于杆件前一个关节轴线上！基座、末杆只有基座、末杆只有1 1根轴线，其标架需按照特殊的方法建立！根轴线，其

9、标架需按照特殊的方法建立！1.2 机座标架机座标架 0机座标架机座标架 与机座固联，用来描述机器人各个杆件及末端与机座固联，用来描述机器人各个杆件及末端执行器的位姿；执行器的位姿； 0 的建立可随意，但为了方便起见，一般规定：的建立可随意，但为了方便起见，一般规定：当第一个当第一个关节变量为零值时，关节变量为零值时， 与与 重合重合。 0 1 0因此，有：因此，有：0 , 000a当第一个关节为回转关节时，还有：当第一个关节为回转关节时，还有：01d当第一个关节为棱柱关节时，还有：当第一个关节为棱柱关节时，还有：011.3 末杆标架末杆标架 n机器人末杆一端与前一个杆件相联，另一端是机器人末杆

10、一端与前一个杆件相联，另一端是用以连接末端工具，因此只有用以连接末端工具，因此只有1根轴线。根轴线。其标架建立原则与机座标架相类似：其标架建立原则与机座标架相类似：为了便于计算为了便于计算！(1) ：与：与 轴线重合轴线重合nZnJ(2) ：当其关节变量为：当其关节变量为0时，时， 与与 重合。重合。nX1nXnX机座标架看杆机座标架看杆1，末杆标架看的是，末杆标架看的是n-1杆！杆！ n1n二者不同之处：二者不同之处： 与与 原点不重合！原点不重合！具体地：具体地：nJ0n1nXnX当当 为回转关节且为回转关节且 时，取时，取 与与 重合重合因此因此0ndnJ0nd1nXnX当当 为棱柱关节

11、且为棱柱关节且 时，取时，取 与与 重合重合因此因此0n1.4 末端执行器标架末端执行器标架 E末端执行器不同，其标架不同，详见教科书。末端执行器不同，其标架不同，详见教科书。 末端执行器标架与末杆标架是平移关系末端执行器标架与末杆标架是平移关系！同一台机器人可以使用不同的末端执行器，为此，在样本中同一台机器人可以使用不同的末端执行器，为此，在样本中一般只给出杆件标架参数。末端执行器标架视情况而定。一般只给出杆件标架参数。末端执行器标架视情况而定。2、采用采用D-H标架，用来描述机器人标架，用来描述机器人各杆件标架间各杆件标架间相对位姿关相对位姿关系的参数，称为系的参数，称为为何要采用为何要采

12、用D-HD-H参数？参数？如果要确定坐标系间相对位姿关系，需要几个参数？如果要确定坐标系间相对位姿关系，需要几个参数？共有共有D-H参数（图参数（图3-6）！）！图图 3-6iiXiZiO1iX1iZ1iO:ia 从从 到到 ，沿，沿 的距离；的距离；iZ1iZiX 从从 到到 ，绕，绕 的角度；的角度；:iiZ1iZiX 从从 到到 ，沿，沿 的距离；的距离；:1idiX1iX1iZ 从从 到到 ，绕，绕 的角度；的角度；:1iiX1iX1iZD-H参数仍然借用杆件参数、关节参数仍然借用杆件参数、关节参数的参数的，但有正负号了！但有正负号了！仅用仅用4个参数！个参数！3、对一台机器人讲，可有

13、如下坐标系：对一台机器人讲，可有如下坐标系： :0 机座标架（参考坐标系）；机座标架（参考坐标系）； 杆件杆件1标架；标架；:1 杆件杆件n标架；标架；:n 末端执行器坐标系；末端执行器坐标系； :E ； :W研究机器人运动学时，一般只讨论机器人本身杆件标架！研究机器人运动学时，一般只讨论机器人本身杆件标架！所涉及的所涉及的有：有：TTTnn11201 ., , ,通式为：通式为：Tii1习惯上，习惯上，写成写成 形式形式! !iiA1变换过程（？尝试一下变换过程（？尝试一下D-H参数！）：参数！）：变换顺序（？）：变换顺序（？）：（1）绕）绕 旋转旋转 ，使得，使得 ；1iX1iiiZZ 1

14、（3）绕）绕 旋转旋转 ，使得，使得iZiiiXX 1（4）沿）沿 移动移动 ，使得，使得 与与 重合。重合。iZid1ii（通式，学生做）：（通式，学生做）：100 ), 0 , 0(),()0 , 0 ,(),(111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiicdsdacscssscccsscdTranszRotaTransxRotA仅包含一个变量（回转关节：关节角。棱柱关节：偏距）！仅包含一个变量（回转关节：关节角。棱柱关节：偏距）！（2）沿）沿 移动移动 ；使得；使得 与与 重合重合 ； 1iX1ia1iZiZ仅仅需要仅仅需要4 4次变换即可！次变换即可！（D-H

15、参数的优点！参数的优点！4个参数即可确个参数即可确定相对位姿！定相对位姿！样本、论文中通常只给这样本、论文中通常只给这4 4个参数！个参数！）一、一、机器人末杆标架相对于机座的齐次变换矩阵为：机器人末杆标架相对于机座的齐次变换矩阵为：nnnAAAAT13221100.简记为：简记为：nnAAAT.21上式即为上式即为机器人机器人二、二、 1、解存在域、解存在域 在在外，无解！外，无解！ 在工作空间内，？在工作空间内，？使用时首先使用时首先要选择合适的要选择合适的机器人，且安机器人，且安装位置要恰当！装位置要恰当！2、求解分析（以、求解分析（以6DOF机器人为例！？）机器人为例！？）6216.

16、AAAT已知：已知：10066zyxpppRT分析：分析：（1）方程右端每个杆件矩阵中含有）方程右端每个杆件矩阵中含有1个变量，共有个变量，共有6个未知数；个未知数；（2）矩阵相等，其每个对应元素相等，共有）矩阵相等，其每个对应元素相等，共有个有效等式。个有效等式。如何从如何从12个等式中挑出个等式中挑出6个个来？来？ 要求解的方程为要求解的方程为三角函数方程），如何求解？三角函数方程），如何求解？3、求解方法、求解方法（1）数值法。任意）数值法。任意6自由度串联机器人都有自由度串联机器人都有。缺点：。缺点：求解时间不固定，不适合控制应用（？）。求解时间不固定，不适合控制应用（？）。（2）解析

17、法。可以得到）解析法。可以得到适合控制应用（？）。适合控制应用（？）。4、解析解存在条件、解析解存在条件不是任意情况的机器人都有闭式解！不是任意情况的机器人都有闭式解！必要条件：必要条件：0i或或90i物理含义？物理含义？由于运动学反解是控制的基础，因此操作机器人一般都要由于运动学反解是控制的基础，因此操作机器人一般都要满足此必要条件！（在结构上进行了限制！）满足此必要条件！（在结构上进行了限制！）充分条件（充分条件（Pieper条件）：条件）：机器人机构中有机器人机构中有3个相邻的关节轴线相交于一点或平行。个相邻的关节轴线相交于一点或平行。若若3根相邻的关节轴线相交于一点，其结构将很紧凑。常

18、将根相邻的关节轴线相交于一点，其结构将很紧凑。常将此形式的机构称为此形式的机构称为（或（或），放在机器人末端使用！），放在机器人末端使用！典型操作机器人形式：典型操作机器人形式：操作臂手腕操作臂手腕实现位置实现位置实现姿态实现姿态带球腕的机器人还有特殊解法，后面将讨论！带球腕的机器人还有特殊解法，后面将讨论！ 解析解存在的充要条件？至今还未给出！解析解存在的充要条件？至今还未给出！5、重解问题、重解问题对于给定的一个位姿，常常有多组关节变量相对应，这种现对于给定的一个位姿，常常有多组关节变量相对应，这种现象称为。象称为。示例（图示例（图3-7）图图 3-7都可行。哪一组最好？都可行。哪一组最好

19、？（必须作出选择！）（必须作出选择！）最小能量约束，关节运动范围限制，最小能量约束，关节运动范围限制，6、基本思想：基本思想： 关节变量以三角函数形式出现；关节变量以三角函数形式出现； 若能将等式一端化为某一关节变量的三角函数，另一端若能将等式一端化为某一关节变量的三角函数，另一端为常量，则可以用反三角函数法求出待求变量。为常量，则可以用反三角函数法求出待求变量。小结：反解时需解决的问题：小结：反解时需解决的问题：求解方法问题，解析解存在条件问题，求解方法问题，解析解存在条件问题， 6个独立方程选个独立方程选择问题，超越方程问题，重解问题，择问题，超越方程问题，重解问题，不用数值计算法；解前验

20、证条件；与下一个问题一起解决！关不用数值计算法；解前验证条件；与下一个问题一起解决！关键是反三角函数问题；应用附加约束条件，例如最小能量约束键是反三角函数问题；应用附加约束条件，例如最小能量约束等；等；求解关键：如何能化成上述情况求解关键：如何能化成上述情况！采用的是逆向思维方法进行求解！采用的是逆向思维方法进行求解！基本过程：基本过程：（2）方程两端同时左乘以）方程两端同时左乘以 ，得：，得：11A（1）先试探一下可否根据运动学基本方程解出某些变量；）先试探一下可否根据运动学基本方程解出某些变量；若不能，则继续步骤（若不能，则继续步骤（2）；）；65432611AAAAATA上式左端只含有杆

21、件上式左端只含有杆件1的关节变量；若在方程右端能找到一的关节变量；若在方程右端能找到一个对应的常数项，则可以求出杆件个对应的常数项，则可以求出杆件1的关节变量了。解得后，的关节变量了。解得后，再看一下能否解出其它变量，能解出，解之；否则继续左乘再看一下能否解出其它变量，能解出，解之；否则继续左乘下一个杆件矩阵的逆，依次类推，直到解得全部变量。下一个杆件矩阵的逆，依次类推，直到解得全部变量。用左乘的方法将变量依次隔离出来，因此，称为用左乘的方法将变量依次隔离出来，因此，称为。有些学者建议一开始就进行左乘分离！（名副其实）有些学者建议一开始就进行左乘分离！（名副其实）矩阵乘法操作小窍门！（从右端开

22、始！？减少计算量）矩阵乘法操作小窍门！（从右端开始！？减少计算量）例题：例题：),(),(),(),(2zRotyRotzRotEuler100),(2zzzyyyxxxaonaonaonEuler已知：已知：解：解：1000000100csscsssccscsscccssccssccsscccaonaonaonzzzyyyxxx解法解法1：cazzaarccosscaxsaxarccoscsnzsnzarccos结果出来了，结果出来了，可以吗？可以吗？存在的问题：存在的问题：例如：例如：caz（1）反三角函数多值问题。）反三角函数多值问题。当当 时，其反函数值至少有两个（限定为时，其反函数值

23、至少有两个（限定为1转时）：转时）：0za900090及及（2）反三角函数值精度问题：当取一些值时，误差较大。）反三角函数值精度问题：当取一些值时，误差较大。例如：例如：9 . 0za94. 0za与与0arccosza但对于一些定位精度要求较高的机器人来说，可能造成较但对于一些定位精度要求较高的机器人来说，可能造成较大的位置误差。大的位置误差。不宜用反正弦或反余弦函数求关节角度值！不宜用反正弦或反余弦函数求关节角度值！解法解法2：tgaaxy),(2tanxyxyaaaaaarctgstgaazy),(2tansaaasaaarctgzyzytgnozz),(2tanzzzznoanoarc

24、tg0s解法解法2可行吗？可行吗？反正切、反余切采用了反正切、反余切采用了2 2个参数求角度值，其结果唯一。个参数求角度值，其结果唯一。反正切、反余切灵敏度高，误差小！反正切、反余切灵敏度高，误差小！要采用反正切或反余切计算关节角度值！要采用反正切或反余切计算关节角度值！7、带球腕机器人运动学反解、带球腕机器人运动学反解球腕运动学特点分析：球腕运动学特点分析：球腕：球腕：3个关节轴相交于一点。个关节轴相交于一点。球腕球腕3个杆件的标架原点重合在一起。个杆件的标架原点重合在一起。球腕球腕3 3个关节变量不影响末杆的位置！（只影响姿态）个关节变量不影响末杆的位置！（只影响姿态）末杆位置完全由前末杆

25、位置完全由前3 3个杆件确定。个杆件确定。带球腕机器人运动学反解方法：带球腕机器人运动学反解方法：（1）将）将 、 、 相乘，由这三个矩阵相乘得到的位置相乘，由这三个矩阵相乘得到的位置值即是整个机器人的位置值。据此，可以解得值即是整个机器人的位置值。据此，可以解得1A2A3A321 , ,qqq（2） 求出后，求出后， 变为常量，将它们分离出，根变为常量，将它们分离出，根据据 可以进一步求出可以进一步求出321AAA321 , ,qqq65461321)(AAATAAA654 , ,qqq将将6 6个联立方程变成个联立方程变成2 2组组3 3元联立方程，求解难度自然降低了！元联立方程，求解难度

26、自然降低了！带球腕机器人运动特点：带球腕机器人运动特点： 球腕一般放在机器人末端；球腕一般放在机器人末端； 前三个自由度用于实现位姿，后三个用于调整姿态；前三个自由度用于实现位姿，后三个用于调整姿态； 反解简单；反解简单； 示教方便，便于应用！示教方便，便于应用！拟人式机器人（图拟人式机器人（图3-8）？）？图图 3-8 拟人式机器人拟人式机器人3.3 机器人工作空间机器人工作空间一、概念：一、概念：机器人反解存在的区域，称为机器人反解存在的区域，称为 为机器人可达位姿的集合。为机器人可达位姿的集合。：在工作空间中，机器人的末端执行器能够从机构允在工作空间中，机器人的末端执行器能够从机构允许的各个方向到达的位姿点的集合，称为许的各个方向到达的位姿点的集合，称为：机器人末端执行器至少能以某一姿态到达的区域，机器人末端执行器至少能以某一姿态到达的区域，称为称为灵活工作空间灵活工作空间可达工作空间工作空间可达工作空间工作空间对机器人应用有意义的空间：灵活工作空间！对机器人应用有意义的空间：灵活工作空间！机器人样本中给出的工作空间：机械接口的位姿空间机器人样本中给出的工作空间：机械接口的位姿空间二、示例：二、示例：平面平面2杆杆2DOF机器人（图机器人（图39）设设360021图图 3-9 示例示例121l2l半径为半径为2l的圆面的圆面原点原点无无外径为外径为 ，内径为，内