应用运筹学库存控制

1、国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制国际视野 创新能力 创业精神 社会责任应用运筹学应用运筹学浙江大学管理学院浙江大学管理学院杜红杜红 博士博士 副教授副教授国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制库存控制背景l 库存问题提出u供需不平衡是导致库存的根源u库存涉及企业系统所有输入、转换和输出各要素，其中也包括信息l 持有库存的原因u应付各种变化，起到应急的缓冲作用u减少季节性需求波动，使生产过程均衡、平稳u工序间在制品库存维持生产过程的连续性u适量库存可最大限度缩短对

2、顾客的相应时间国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制库存控制背景l 库存模型：l 库存模型的基本问题：u如何使库存相关的总成本最小？应该库存什么商品？补充库存时，每次的补充量是多少？应该间隔多长时间来补充库存？库存库存补充供应补充供应需求需求（自产或购进）（自产或购进）（生产或卖出）（生产或卖出）国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制库存控制背景l 库存问题基本概念u需求：生产消费需求，从存储系统中减少需求量D: 单位时间的需求（需求率）连续输出与间断输出均匀输出与非均匀输出确定输出与随机输出u供应量Q：从供应商或生产中补充到存储系统

3、提前时间：提前备货（订货）的时间拖后时间：订货推迟时间经济批量：平均成本最低时每次订货量Q0国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制库存控制背景u成本C：持有成本HC：每存储单位物质单位时间存储费用订货成本RC：每订一次货的订货费用，与量无关购置成本UC：购买单位商品的代价（价格）缺货成本AC : : 不允许缺货时，缺货损失费无限大 u目标函数：单位时间（或货物）平均成本或费用最小变量是单位时间内订货次数和每一次的订货量各类成本和需求的单位时间必须保持一致价格不变时购置成本对最优解没有影响不允许缺货时，缺货损失费也可不考虑国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章

4、第七章 库存控制库存控制库存控制背景u存储策略：什么时间补充？补充多少？T0循环策略：计划期T时间内每隔T0时间补充一次，每次 补充一个批量Q，补充后库存水平达到S。（s，S）策略：s为最低库存量，存储量X低于s时补充， 补充量Q=S-X，使存储水平达到S。（T0，s，S）策略：每经过T0时间检查存储量X，存储 量X低于s时补充，补充量Q=S-X，使存储 水平达到S。国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制库存控制背景u单位时间平均总成本订货量周期关系u离开经济订货量 成本曲线在经济订货量附近非常浅平，在实际中可以在这附近选择一个合理的数量作为订货规模，实际成本将会

5、与最低成本非常接近。VCQ、T总成本总成本持有成本持有成本订货成本订货成本Q0 ,T0国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制库存问题求解的一般步骤l 区分确定性库存问题和随机性库存问题l 分析问题的供需特性；l 分析系统的成本构成，主要包括：订货费、存储费、缺货费、购买费用等；l 确定问题的存储策略，建立问题的数学模型；l 求使平均费用最小的存储策略（最优存储量、最佳补充时间、最优订货量等）国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定型库存模型l 模型一：不允许缺货、瞬时到货模型，又称基本经济批量（EOQ）模型；l 模型二：不允许缺货、

6、逐渐补充库存模型，又称经济生产批量模型；l 模型三：允许有计划缺货、瞬时到货模型；l 模型四：允许有计划缺货、逐渐补充库存模型；l 模型五：价格有折扣的EOQ模型。国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（一）l 模型一：不允许缺货、瞬时到货模型 基本假设：u用户的需求是连续均匀的，需求率D为常数；u当存储降至0时，可以立即得到补充u缺货损失费为无穷大，不允许缺货u每次订货量不变，记为Q，订货成本RC不变u单位存储费不变，即HC为常数。Q存储量存储量T2T3TtQ/24T国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型

7、（一）l 不允许缺货模型 D :单位时间需求量（消耗速度） RC:每次订货成本 HC:单位产品单位时间存储费用 平均存货水平 Q/2 使单位时间总平均费用最小的 单位时间内次数N0=D/Q0 订货周期T0=Q0/DHCDRCQ单位产品年存储成本年需求量单位订货成本经济订货量20TQ斜率斜率-DQ/2EOQ: Economic ordering quantity国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制经济批量公式推导：l 每次订货量Q, Q=DTl T时间内平均存货量为Q/2l 每次订货成本RC，单位购买价格UC： T时间内的持有成本：HCTQ/2 总成本CRC+HC

8、TQ/2UCQl 单位时间总平均成本VC C/T RCD/Q + HCQ/2UCDl VC对Q求导，并令导数为0，得到Q0l 此时，持有成本订货成本TQ斜率斜率-DQ/2国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（一）l不允许缺货模型举例 某企业按合同每年需提供某企业按合同每年需提供D D个产品，个产品，不许缺货。假设每一周期企业需不许缺货。假设每一周期企业需装配费装配费RCRC元，存储费每年每单位元，存储费每年每单位产品为产品为HCHC元，问全年应分几批供元，问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者之货才能使装配费、存储费两者之和最少。和最少。国际视

9、野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制本例求解（按年计算最小成本）：l 设全年分N次供货，每批生产量Q=D/N 生产周期为1/N年（每隔1/N年供货一次）l 每个周期内平均存储量Q/2，存储费用为： HCQ/21/N(年)l 全年存储费：HCQ/2 全年装配费：RCN=RCD/Q 全年总费用：C(Q)=HCQ/2+RCD/Ql 求C(Q)的最小值，可得到最佳批量Q0、批次N0、周期T0 HCDRCQ20RCDHCN20DHCRCT20DHCRCC 20国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（一）l 例 加入一个固定提前期 某商

10、店经售甲商品，成本单价500元，年存储费用为成本的20，年需求量为365件，需求为均匀，甲商品的一次定购费用为20元，可以一次性到货，但需要提前10天订货，求经济批量(EOQ)和最低成本（变动成本）。TQ斜率斜率-DQ/2LTHC=50020100RC=20D=365EOQ(Q0)=12.08C0=(HCQ0/2)21208再订货水平再订货水平ROL=LTD =10/365365=10ROL如果如果 LTT ，ROL=?ROL=LTD已订货但尚未到货的量已订货但尚未到货的量LT国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（二）l 模型二：不允许缺货，生产需

11、一定时间 （生产系统；经济生产批量） 基本假设： 除供货（生产）需要一定时间外，其余与模型一相同 设供货（生产）批量为Q，所需时间为t，速度P=Q/t 需求速度为D(DD） 基本假设： 0,T 为一个订货周期；为一个订货周期； 0,t2存储量为存储量为0； t1,t3为生产时间，其中：为生产时间，其中： t1,t2 除满足需求外，还需除满足需求外，还需 补足补足0,t1时间内的缺货；时间内的缺货； t2,t3时间内满足需求后的时间内满足需求后的 货物进入存储，存储量以货物进入存储，存储量以 (P-D)的速度增加，的速度增加，S为储量，为储量， t3时刻达到最大，停止进货；时刻达到最大，停止进货

12、； t3,T存储量以需求率存储量以需求率D减少减少国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制l 模型四：允许缺货、生产需要一定时间： )()(20DPPACHCACDHCRCT)()(20DPPACACHCHCRCDQPDPACHCACHCRCDS)()(20PDPACHCACDRCHCC)()(20国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制模型14回顾：l 模型一：不允许缺货，生产时间很短HCDRCQ20DHCRCT20TQ斜率斜率-DQ/2DRCHCC20HCDRCS20S:最大库存最大库存单位时间内平均变动成本单位时间内平均变动成本国际

13、视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制模型14回顾：l 模型二：不允许缺货，生产需要一定时间DPPHCDRCQ20DPPDHCRCT20TS斜率斜率-D斜率斜率P-Dt0S/2QPDPDRCHCC20PDPHCDRCS20国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制模型14回顾：l 模型三：允许缺货，生产时间很短ACACHCHCRCDQ)(20ACACHCDHCRCT)(20)(20ACHCACHCRCDS)(20ACHCACDRCHCC国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制模型14回顾l 模型四：允许缺货、生产需

14、要一定时间： )()(20DPPACHCACDHCRCT)()(20DPPACACHCHCRCDQPDPACHCACHCRCDS)()(20PDPACHCACDRCHCC)()(20国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制模型14总结：l 模型一：l 模型二：l 模型三：l 模型四：HCRCTQTS00002121HCRCTS0021HCRCTS0021HCRCTS0021存储量存储量St3TtS-Q0t2t1国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（模型五）l 价格有折扣的存储问题 货物单价随订购量而变化，其余与模型一相同

15、 记单价为K(Q)， C(Q)为平均单位货物费用 如K(Q)按三个数量等级变化QQQQQQQKKKQK22113210)(K(Q)QQ2Q1K3K2K1国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（五）当订购量为Q时，一个周期内所需费用为：QQKRCDQQHC)(21QKRCDQQHC321QKRCDQQHC121QKRCDQQHC221:), 01有QQ:),21有QQQ:2有QQ K(Q)QQ2Q1K3K2K1国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（五）平均每单位货物所需费用为： C1(Q)、C2(Q)、C3

16、(Q)不考虑定义域的导函数相等，可解得Q0。 请思考：为什么不用单位时间？此时Q0是否为经济批量？（定购批量不同，周期不一样，Q0不一定是经济批量。）),21)(2122QQQKQRCDQHCQC23321)(QQKQRCDQHCQC), 021)(111QQKQRCDQHCQC国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（五）平均每单位货物所需费用为：2221)(KQRCDQHCQC3321)(KQRCDQHCQCC(Q)QQ2Q1C1(Q)C2(Q)C3(Q)1121)(KQRCDQHCQC国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库

17、存控制确定性存储模型（五）l 如果Q0Q1 计算出C1(Q0)，C2(Q1)和C3(Q2)， 求minC1(Q0), C2(Q1), C3(Q2) 相应的Q值为经济批量Q*l 如果Q1Q0 Q2 计算出C2(Q0)和C3(Q2)， 求minC2(Q0), C3(Q2) 相应的Q值为经济批量Q*l 如果Q0 Q2 则取Q*为Q0国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（五）l 例7.5 价格有折扣的EOQ模型计算 某企业每年需某种元件5000个，每次订购费50元，保管费每件每年1元，不允许缺货。元件单价K随采购数量不同而有变化： 求经济批量？ QQQK1

18、50015009 . 10 . 2)(元元国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制l 利用EOQ公式计算Q0：l 分别计算每次订购707个和1500个的单位成本l 因为C(1500)C(707)，因此Q*=1500 （个）（个）7071500050220HCDRCQ个）元/(1414. 22707505000707121)707(C个）元/(0833. 29 . 115005050001500121)1500(CKQRCDQHCQC21)(国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（五）l *例7.6 持有成本随价格变动 某产

19、品价格为500元，每件一年的存储费为价格的20，每次订货费为200元，据预测每年的需求量为300件。生产厂商为促销规定：如果一次定购量达到或超过50件，每件售价降至480元；如果一次订购量达到或超过100件，每件售价可降至475元。请决定最优订货批量。 （HC随价格变化，三条成本曲线形状不同）国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（五）l 例7.6求解： D=300（件/年） RC=200（元/次） Q50时，K1=500 （元/件） HC=K120100 (元/件.年) Q0=34.6435（件） 50Q100时， K2=480 （元/件） HC=

20、K22096 (元/件.年) Q0=35.3535（件） Q100时， K3=475 （元/件） HC=K32095 (元/件.年) Q0=35.5436（件）国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制确定性存储模型（五）l 例7.6求解： Q50时，Q0=34.6535（件） 经济批量Q*=35 （件） 50Qq）, 机会损失期望值为： 总的损失期望值为：qrrPrqh0)()(1)()(qrrPqrk10)()()()()(qrqrrPqrkrPrqhqEC国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制随机性存储模型（一）l 对EC (q)求

21、最小值： 设Q为最佳值并且通常为整数，则必有: 1） EC(Q)EC(Q+1) 2） EC(Q)EC(Q1) 可得到最优数量Q应满足: 10)()()()()(qrqrrPqrkrPrqhqECQrQrrPhkkrP010)()(国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制随机性存储模型（一）hkkrPhkkrPkrPhkrPQrkrPrQhrPQrkrPrQhQrQrQrQrQrQrQr100010201)(）也能得到：2同理从)(即：0)()（简化后得到：)()1()()1()()()()(）可得到：1从国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库

22、存控制l 利用 求解例7.7 ： k=7, h=4, k/(k+h)=0.637 p(0)=0.05 p(1)=0.10 p(2)=0.25 p(3)=0.35 p(4)=0.15 p(5)=0.10 p(0)+p(1)+p(2)=0.400.637 因此，Q=3 （张）QrQrrPhkkrP010)()(3020)(637. 0477)(rrrPrP国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制随机性存储模型（一）l 离散型概率分布时有： 上式等价于：l 连续型概率分布时有：QrQrrPhkkrP010)()()()(QrPhkkQrPhkkQrP)(国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制随机性存储模型（一）l 例7.8：某书店拟在年前出售一批新年挂历。每售出一本可赚20元，如在年前不能出售，必须削价处理，由于削价，一定可以售完，但此时每本挂历要亏16元，根据以往经验，市场需求近似服从均匀分布，如图所示，其最低需求为550本，最高需求为1100本，问该店应订购多少本新年挂历，使其损失期望为最小？5501100Q国际视野 创新能力 创业精神 社会责任第七章第七章 库存控制库存控制随机性存储模型（一）l 例7.8 求解： 已知k=20,h=16 P(rQ)=20/36=5/9 在550,1