应用基本不等式求最值

1、应用基本不等式求最值应用基本不等式求最值江西师大附中江西师大附中 黄润华黄润华一、复习回顾一、复习回顾基本不等式：基本不等式： (当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)2ababab2222abab22,2a bRabab0,0,2ababab 已知已知 都是正数，都是正数，（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时，和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时，积积 有最大值有最大值yx,yxyxyx P2yx 241Sxyxy极 值 定 理极 值 定 理和定积最大，积定和最小和定积最大，

2、积定和最小4 ,2520, lglg.x yxyuxy例 设为正实数，且求的最大值25 0,0,25102xyxyxyxy解：1010,10.xyxy25.xy当且仅当时，等号成立252025xyxy5,2.xy解得：lglglg()lg101.uxyxy15 (0),2.yxxyx例 已知证明：11(2)00,()()xxyxxxx 当时，1 (1)02,1 1.xyxxxxx证明： 当时，当且仅当，即时，等号成立1(1)()2,1.()1()2,2.()xxxxyx 由可知当且仅当时等号成立即二、应用基本不等式求最值二、应用基本不等式求最值一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等必须有自变

3、量值能使函数值取到必须有自变量值能使函数值取到 = 号号.各项必须为各项必须为正正;含变数的各项和或积必须为含变数的各项和或积必须为定值定值;(1)利用基本不等式求函数最值的步骤利用基本不等式求函数最值的步骤:二定二定三相等三相等二、应用基本不等式求最值二、应用基本不等式求最值12 0,( )3.xf xxxx若的最小值为；此时例1122120,( )3.xf xxxx若的最大值为；此时-12-2 0 x 解：一正一正1212( )32312f xxxxx1232.xxx当且仅当即时，等号成立正解正解: :5225log,2.logxxx当且仅当即时，等号成立,0,02ababab 时常用一不

4、正二、应用基本不等式求最值二、应用基本不等式求最值225 ( )2log(01).logf xxxx求函数的范围例2 2222552log22 log22 5.loglogf xxxxx错解：错解：201,log0.xx 2222552log2( log)22 5.loglogf xxxxx 225log2 5.logxx解解:(2)(2)先变形再利用基本不等式求函数最值先变形再利用基本不等式求函数最值: :变二二不不定定, ,需需形形二、应用基本不等式求最值二、应用基本不等式求最值(31 0).1yxxxx函数的最小值为，此时例0,10.xx 11(1)111yxxxx2 11. 110.1

5、xxx 当且仅当即时，等号成立 2(1)4 1. ( 1).1xf xxx 求函数练的最小值习 2312. (1).1xxf xxx 求函数的最小值错解错解: :(2)(2)先变形再利用基本不等式求函数最值先变形再利用基本不等式求函数最值: :二、应用基本不等式求最值二、应用基本不等式求最值225 .44xyx求函数的最小值例222254 144xxyxx22144xx22214.4xx当且仅当时，等号成立(3)(3)取不到等号时用函数单调性求最值取不到等号时用函数单调性求最值: :正解正解: :1(2)yttt 则min52,0,.2txy当即时,常三不等用单调性二、应用基本不等式求最值二、

6、应用基本不等式求最值225 .44xyx求函数的最小值例222254 144xxyxx22144xx24,tx令下面题中的解法正确吗？为什么？下面题中的解法正确吗？为什么？. 221,11,2121:;1,21122222 xxxxxxxxx有有最最小小值值时时即即当当且且仅仅当当解解的的最最小小值值求求时时、已已知知.,2,4. 4, 4424:.4, 32等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当原原式式有有最最小小值值解解的的最最小小值值求求、已已知知 xxxxxxxxxx221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx错因：错因：解答中两次运用基本不等式中取解答中两次运用

7、基本不等式中取“=”=”号号过渡，而这两次取过渡，而这两次取“=”=”号的条件是不同的，故结果号的条件是不同的，故结果错错. .解：解：三、典型题解析三、典型题解析11,21,.5 x yxyxy例 已知正数满足求的最小值114 2.xy即的最小值为正解：正解：2232 2 .yxyxxy当且仅当即时，等号成立122yxxy而222221yxmin32 2yyx11yyxxyx22yxxy23“1”代换代换法法11,21,.5 x yxyxy例 已知正数满足求的最小值三、典型题解析三、典型题解析阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的

8、地方.1121.abRabab1.已知 ，且，求的最小值12211,222)11()2(221221,babababbaaRba，解法一：.2411,1222)11)(2(11,12的的最最小小值值为为、及及解解法法二二：由由baababbababaRbaba 辨析辨析. 6911211,31, 12,1211babababaabba又成立时，当且仅当解法三：正确解法正确解法“1”代换法代换法.1112的最小值的最小值，求，求，且，且，已知已知babaRba 正解：正解：223当且仅当当且仅当baab2即即:ba2时，等号成立时，等号成立122baba而222221ab即此时即此时223min

9、zba11bbaaba22baab23正确解法正确解法“1”代换法代换法.1112的最小值的最小值，求，求，且，且，已知已知babaRba 构造构造和为定值和为定值，利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值例6、已知 ，求 的最大值10 x21xx2221(1)xxxx20110 xx 2211.22xx2221.2xxx 当且仅当即时，等号成立211.2xx的最大值为解：解：小结：小结：基本不等式的应用基本不等式的应用1.基本不等式可证明简单的不等式基本不等式可证明简单的不等式2.应用基本不等式求最值的问题应用基本不等式求最值的问题(1)利用基本不等式求函数最值的步骤利用基本不等式求函数最

10、值的步骤:一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等,0,02ababab 一不正常用(2)先变形再利用基本不等式求函数最值先变形再利用基本不等式求函数最值:(3)取不到等号时用函数单调性求最值取不到等号时用函数单调性求最值:,二不定 需变形,三不等 常用单调性2、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。练习：练习：1、当、当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。21xx1)0, 0(232yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（ ）A、10 B、 C、 D、4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的

11、是（ ）A、 B、C、 D、) 0,(55xRxxxy)101 (lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5 yxyx333664318DC利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式21.,1( ,),() .aba bx yRxyxyab已知是正数，且求证：()()abbxayxyxyabxyyx证明：22()bx ayababyx.bxaybyxyxa当且仅当即时，等号成立2.0,0,0,0,4.abcdadbcbcadbdac已知求证：()()adbcbcadac adbcbd bcadbdacabcd证明：2222()()a cdb cdabcabdabcd224.abcdabcdabcd4442222223.().abca b