线性代数教案-第一章---线性空间

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 线性空间一、 教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中.数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为

2、公理的某些性质.1 线性空间的定义及例定义1.1.1 设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系:1.1.1 封闭公理公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为xy.公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为ax.加法运算和数乘运算合称线性运算.1.1.2 加法公理公理3 (交换律) 对于任意x,yV,有 .公理4(结合律) 对于任意x,y,

3、zV,有 .公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为的零元素,对于任意xV,有 .公理6 (负元素存在性)对于任意xV,V中存在记为的x的负元素,使 .1.1.3 数乘公理公理7(结合律) 对于任意xV,任意实数a和b,有 .公理8 (加法分配律)对于任意x,yV及任意实数a,有 .公理9(实数相加分配律)对于任意xV,任意实数a和b,有 .公理10(单位元素存在性)对于任意 xV,有 .以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实

4、线性空间,但所得结果在复线性空间中也成立.从线性空间的公理体系容易推得以下结论:(1)零元素是唯一的.(2)任意元素的负元素是唯一的.将差定义为.(3)如果,则或.(4)；(5)若axay且,则xy.(6)若axbx且,则ab.(7).(8),一般地有:n个x相加等于nx.定义1.1.2 设V是一个线性空间,S是V的一个非空子集.如果S对于V中定义的加法和数乘也构成一个线性空间,则称S为V的子空间.推论:线性空间V的非空子集S成为V的子空间的充分必要条件是:S中加法和数乘两种运算满足封闭公理.定义1.1.3 设S是线性空间V的一个非空子集.集合xxS；R；k是任意正整数被称为S中元素的有限线性

5、组合.由于这是V的一个子空间,故又被称为S生成的子空间,记为L(S)2 线性空间中的相关集和独立集定义1.2.1 设S是线性空间V的一个子集合.如果S中存在由不同元素构成的有限集,以及不全为零的一组数,使x (1.2.1)则S称是相关集(又称线性相关集).当不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素的一种非平凡表示.若S不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于S中任意选定的不同元素,等式x蕴涵了,则S是独立集.定理1.2.1 设S是线性空间V中k个元素构成的独立集,L(S)是S生成的子空间.则L(S)中任何k1个元素构成的集合是相关的.3 基 维数与坐标定义1.3.1 设S

6、是线性空间V中的一个有限集.若S是独立集且V由S生成,则称S是V的一组有限基.若V有一组有限基或V只含零元素,则称V为有限维空间；否则称为无限维空间.定理1.3.1 设V是有限维线性空间,则V的任何一组有限基与别的有限基所含元素个数相同.定义1.3.2 若线性空间V有一组由n个元素组成的基,则称整数n为V的维数,记为dimV.若,则规定dimV.R的维数是n(这是称R为n维向量空间的缘由),是其一组基,被称为R的常用基.定理1.3.2 设V是n维线性空间,则(a)V中任何独立集必是V的某组基的子集；(b)V中任何由n个元素组成的独立集必是V的一组基.定义1.3.3 在维线性空间V中,给定确定了

7、元素顺序的一组基,则对任意xV,有 x.(称x可表为这组基的线性组合,或称x可被这组基线性表示)其中系数是由元素x及这组基唯一确定的.这组系数就被称为x在基下的坐标,记为.4 内积 欧氏空间 范数定义1.4.1 设V是实线性空间.如果对于V中任意元素x和y,对应着唯一的实数,记为(x,y),满足以下4条公理:公理1(对称性) , 公理2(加性) ,任意zV,公理3(齐性) ,任意cR,公理4(正定性) 0,当且仅当x时,则称是x,y的内积.并称V是一个欧几里德(Euclid)空间,简称欧氏空间.定义1.4.2 在欧氏空间中,非负实数被称为元素x的范数,记为. 为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的

8、概念,需要下面的定理.定理1.4.1(柯西许瓦兹(CauchySchwarz)不等式) 在欧氏空间中,有 .这里x,y是该空间中任意元素.当且仅当x与y相关时,上式取等号.定义1.4.3 在欧氏空间中,任意两非零元素x和y之间的夹角(0)按下式定义.注意:正是柯西许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性.关于范数,本书将作较深入的讨论.定理1.4.2 在欧氏空间中,范数具有以下性质:(1) 0,当且仅当,(正定性)；(2) (正齐性)；(3) (三角不等式).这里, x,y是该空间任意元素,c是任意实数.5 欧氏空间中的正交性定义1.5.1 设是V一个欧氏空间.对于任意x,yV,如果,则称x与y正交

9、.又:设S是V的一个子集,若对于任意相异的x,yS有,则称是S一个正交集.若一个正交集中任何元素的范数均为1,则称它是一个标准正交集.显然,零元素与V中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素.下面的定理表明了正交和独立之间的关系.定理1.5.1 在欧氏空间V中,一个不含零元素的正交集是独立集.若dimVn，则任何一个包含n个非零元素的正交集是V的一组基.定理1.5.2 设V是有限维欧氏空间, dimVn，是V的一组正交基.对于任意xV,若x关于基S的坐标是,则 ,.若进一步假设S是一组标准正交基,则 ,.定理1.5.3 设V是一个维欧氏空间,是V的一组标准正交基.对于任意x,yV,若设x

10、,y在这组基下的坐标分别是,则有 (1.5.1) . (1.5.2)定理1.5.4 设是欧氏空间V中的一个有限或无限序列,表示由该序列前个元素生成的子空间.那么,V中存在序列,对于可能取到正整数,具有以下性质:(1) 元素与中任意元素正交；(2) ；(3)除去数量因子,序列是唯一的(即若另有序列满足性质(1)和(2),则有实数使,).,.这里给出的由一组独立集来构造由非零元素组成的正交集的过程,称为施密特(Schmidt)正交化过程.而且,生成的子空间与生成的子空间完全相同.而当是有限维欧氏空间的一组基时,就是一组正交基.而且,每一个除以它的范数,就得到一组标准正交基. 定理1.5.5 任何有

11、限维欧氏空间均存在标准正交基.它可由任何一组基经施密特正交化过程然后单位化而得到.6 同 构定义1.6.1 设V,W是两个非空集合.若给定一个法则T,使V中任何元素x都有W中唯一确定的元素y与之对应,则称T是V至W的一个映射,记为T: VW. y被称为x在T下的像,记为.x被称为y在T下的原像.称V为T的定义域.称V中全体元素在T下的像集合为T的值域,记为T(V).据此定义知, V中元素x在T下的像是唯一的,但W中元素y在T下未必有原像,若有也未必唯一.定义1.6.2 设T是V至W的映射.若T(V)W,则称为满射. 据此定义知,T为满射的充分必要条件是:对任意yW,存在xV,使yT(x).但这

12、样的x未必唯一.定义1.6.3 设T是V至W的映射.若V中相异的元素在映射T下的像也相异,即若有,则必有,则称T为单射.据此定义知,若蕴涵,则T为单射.定义1.6.4 若V至W的映射T既是满射又是单射,则称T为双射,又称为1-1映射.下面给出两个线性空间同构的定义.定义1.6.5 设V,均是线性空间.如果存在一个V至的1-1映射T,对任意x,yV及任意实数,满足性质:(1),(2).则V和是同构的.这样的映射T被称为V至的同构映射.通常把满足上述性质(1)和(2)的任何映射称为线性映射.所谓同构映射,就是一个线性1-1映射.定理1.6.1 任何维线性空间与是同构的.定义1.6.6 设V,均是欧氏空间,如果存在V至的线性1-1映射T, 对任意x,yV,满足性质 , (1.6.1)则称V和是同构的.这样的映射T被称为V至的同构映射.由(1.6.1)式可以推得:对任何xV,有.故具有(1.6.1)式性质的映射又称为保范映射.因此,欧氏空间间的同构映射,必是一个保范的线性1-1映射.由于内积可用坐标表达(见定理1.5.3),故任何维欧氏空间与是同构的.二、 教学内容及学时分配：第一节 线性空间的定义 2课时第二节 线性空间中的相关集和独立集 2课时第三节 基 维数与坐标 2课时第四节 内积 欧氏空间 范数 2课时第五节 欧氏空间中的正交性 2课时三、