导数平均变化率与瞬时变化率

1、【同步教育信息】一. 本周教学内容：导数平均变化率与瞬时变化率w二. 本周教学目标：1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵2、通过函数图象直观理解导数的几何意义三. 本周知识要点：（一）平均变化率1、情境：观察某市某天的气温变化图2、一般地,函数f（x）在区间x1，x2上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”（二）瞬时变化率导数1、曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线割线PQ的

2、斜率为，即当时，无限趋近于点P的斜率2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.2）确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为ss（t），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+t，现在问从t0到t

3、0+t这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为ss（t0+t）s（t0）（t称时间增量）平均速度根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+t，这段时间是t. 时间t足够短，就是t无限趋近于0当t0时，位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t t0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率，当t0时，平均速度无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t t0时的瞬时加速度3、导数设函数在（a,b）上有定义，若无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x处可导，并称该常数A为

4、函数在处的导数，记作几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作【典型例题】例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积（单位：），计算第一个10s内V的平均变化率解：在区间0，10上，体积V的平均变化率为 即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为例2、已知函数，分别计算在区间3，1，0，5上函数及的平均变化率解：函数在3，1上的平均变化率为在3,1上的平均变化率为函数在0，5上的平均变化率为在0，5上的平均

5、变化率为例3、已知函数，分别计算函数在区间1，3，1，2，1，1.1，1，1.001上的平均变化率解：函数在区间1，3上的平均变化率为函数在1，2上的平均变化率为函数在1，1.1上的平均变化率为函数在1，1.001上的平均变化率为例4、物体自由落体的运动方程ss（t）gt2，其中位移单位m，时间单位s，g9.8 m/s2. 求t3这一时段的速度.解：取一小段时间3，3+t，位置改变量sg（3+t）2g32（6+t）t，平均速度g（6+t）当t无限趋于0时，无限趋于3g29.4 m/s例5、已知质点M按规律s2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），（1）当t2，t0.01时，求.（

6、2）当t2，t0.001时，求.（3）求质点M在t2时的瞬时速度.分析：s即位移的改变量，t即时间的改变量，即平均速度，当t越小，求出的越接近某时刻的速度.解：4t+2t（1）当t2，t0.01时，42+20.018.02 cm/s（2）当t2，t0.001时，42+20.0018.002 cm/s（3） t0， （4t+2t）4t428 cm/s 例6、曲线的方程为yx2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：斜率为2切线的斜率为2切线的方程为y22（x1），即y2x【模拟试题】1、若函数f（x）2x2+1，图象上P（1,3

7、）及邻近点Q（1+x,3+y）， 则（ ）A. 4 B. 4x C. 4+2x D. 2x2、一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（ ）A. 从时间到时，物体的平均速度； B. 在时刻时该物体的瞬时速度； C. 当时间为时物体的速度； D. 从时间到时物体的平均速度3、已知曲线y2x2上一点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线方程.4、求曲线yx2+1在点P（2，5）处的切线方程5、求y2x2+4x在点x3处的导数6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是ss（t）t2（位移单位：m，时间单位：s），求小球在t5时的瞬时速度7、质点M按规律s2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t2时的瞬时速度【试题答案】1、B 2、B3、解：（1）时，k点A处的切线的斜率为4.（2）点A处的切线方程是y24（x1）即y4x24、解：时，k切线方程是y54（x+2），即y4x3.5、解：y2（3+x）2+4（3+x）（232+43）2（x）2+16x，2x+16时，y|x3166、解：时，瞬时速度v（10+t）10 m/s.瞬时速度v2t2510 m/s.7、解：时，瞬时速度v（8+2t）8cm/s【励志故事