导数的综合应用68195

1、提能专训(十九)导数的综合应用一、选择题1(2013·兰州一中12月月考)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，) D(，3)(0,3)D解题思路：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)f(x)g(x)为奇函数，当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以h(x)在(，0)为单调增函数，h(3)h(3)0，所以当x0时，h(x)0h(3)，解得x3，当x0时，h(x)0解得

2、3x0，由于h(x)关于原点对称，所以x0时h(x)0的x取值范围为(0,3)故选D.2(2013·哈尔滨第九中学第五次月考)若f(x)x22x4ln x，不等式f(x)0的解集记为p，关于x的不等式x2(a1)xa0的解集记为q，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A(2，1 B2，1C D2，)D解题思路：对于命题p： f(x)x22x4ln x， f(x)2x2， f(x)0 x2.由p是q的充分不必要条件知，命题p的解集(2，)是命题q不等式解集的真子集，对于命题q：x2(a1)xa0(xa)(x1)0，当a1时，解集为(，a)(1，)，显然符合题意；当a1时，

3、解集为(，1)(a，)，则由题意得2a1.综上，实数a的取值范围是2，)故选D.3(2013·哈尔滨第九中学第五次月考)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，.若数列(nN*)的前n项和等于，则n()A7B6C5D4B解题思路：由f(x)g(x)f(x)g(x)，得0，即yax为R上的减函数，所以0a1，由，得aa1，即2a25a20，解得a2或a.又0a1，所以a，故x，数列(nN*)即(nN*)，其前n项和为1n，整理得n，解得n6.故选B.4(河南适应测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(，0时，f(x)exex2a，

4、则函数f(x)在x1处的切线方程为()Axy0 Bexy1e0Cexy1e0 Dxy0B命题立意：本题考查了函数的奇偶性及函数的导数的应用，难度中等解题思路： 函数f(x)是R上的奇函数， f(x)f(x)，且f(0)1a0，得a1，设x0，则x0，则f(x)f(x)(exex21)exex21，则f(1)1，求导可得f(x)ex2ex，则f(1)e， f(x)在x1处的切线方程y1e(x1)，即得exy1e0，故选B.易错点拨：要注意函数中的隐含条件的挖掘，特别是一些变量的值及函数图象上的特殊点，避免出现遗漏性错误5设二次函数f(x)ax24bxc，对xR，恒有f(x)0，其导数满足f(0)

5、0，则的最大值为()A. B. C0 D1C解题思路：本题考查基本不等式的应用因为f(x)0恒成立，所以a0且16b24ac0.又因为f(x)2ax4b，而f(0)0，所以b0，则2，又因4ac28b，所以2，故220，当且仅当4ac，ac4b2，即当ab，c4b时，取到最大值，其值为0.故选C.技巧点拨：在运用均值不等式解决问题时，一定要注意“一正二定三等”，特别是要注意等号成立的条件是否满足6(2013·浙江瑞安质检)已知函数f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)f(x)g(x)，则()Ah(1)h(0

6、)h(1)Bh(1)h(1)h(0)Ch(0)h(1)h(1)Dh(0)h(1)h(1)D解题思路：本题考查函数及导函数的图象取特殊值，令f(x)x2，g(x)x3，则h(0)h(1)h(1)故选D.二、填空题7(2013·山西大学附中期中考试)对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心根据这一发现，则函数f(x)x3x23x的对

7、称中心为_解题思路：由f(x)x3x23x，得f(x)x2x3，f(x)2x1，由f(x)0，解得x，且f1，所以此函数的对称中心为.8(2013·云南师大附中月考试题)已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示给出关于f(x)的下列命题：x1045f(x)1221函数f(x)在x2时取极小值；函数f(x)在0,1是减函数，在1,2是增函数；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为5.其中所有正确命题的序号为_解题思路：由导函数图象可知，在1,0)上，f(x)0，f(x)递增；在

8、(0,2)上，f(x)0，f(x)递减；在(2,4)上，f(x)0，f(x)递增；在(4,5)上，f(x)0，f(x)递减由以上可知，f(x)在x2时取得极小值，故命题正确；函数f(x)在0,2上为减函数，故命题错误；因为f(2)的取值不确定，若f(2)a，则函数yf(x)a只有2个零点，所以命题错误；因为f(0)f(4)2，而函数的定义域为1,5，故函数的最大值为2，t的最大值为5，故命题正确综上，正确的命题序号为.9设函数f(x)(x1)ln(x1)若对所有的x0都有f(x)ax成立，则实数a的取值范围为_(，1解题思路：令g(x)(1x)ln(1x)ax，对函数g(x)求导数g(x)ln

9、(1x)1a，令g(x)0，解得xea11.当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，有g(x)0，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax.当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11有g(x)g(0)，即f(x)ax，所以，当a1时，不是对所有的x0都有f(x)ax成立综上，实数a的取值范围(，1三、解答题10(2013·信息优化卷)已知函数f(x)ln x，其中a为大于零的常数(1)若函数f(x)在1，)上单调递增，求a的取值范围；(2)求函数f(x)在区间1

10、,2上的最小值；(3)求证：对于任意的nN*且n>1，都有ln n>恒成立解析：(1)由题意得f(x)(x>0，a>0)由已知得f(x)0在1，)上恒成立，即a在1，)上恒成立， 当x1，)时，1， a1，即a的取值范围为1，)(2)当a1时， f(x)0在1,2上恒成立，即f(x)在1,2上为增函数， f(x)minf(1)0；当0<a时， f(x)0在1,2上恒成立，即f(x)在1,2上为减函数 f(x)minf(2)ln 2；当<a<1时，令f(x)0，得x(1,2) 对于任意x有f(x)<0，对于任意x有f(x)>0， f(x)mi

11、nfln1.综上可知：当0<a时，f(x)minln 2；当<a<1时，f(x)minln1；当a1时，f(x)min0.(3)证明：由(1)知函数f(x)1ln x在1，)上为增函数，当n>1时， >1， f>f(1)，即ln nln(n1)>对于任意的nN*且n>1恒成立， ln nln nln(n1)ln(n1)ln(n2)(ln 3ln 2)(ln 2ln 1)>，即对于任意的nN*且n>1，都有ln n>恒成立11(2013·胶东高三二次模拟)已知函数f(x)xax2ln(1x)，其中aR.(1)若x2是f(

12、x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在0，)上的最大值是0，求a的取值范围命题意图：本题考查导数与函数的极值、单调性、最值等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查函数与方程、分类整合等数学思想方法(1)根据可导函数在一定点处取得极值的必要条件是其导数等于零，得出关于a的方程即可求出a，再根据极值点两侧导数值异号进行检验；(2)讨论导数的符号，就参数a的取值情况进行分类讨论即可；(3)根据函数的单调性和极值点，以及函数最大值的概念分情况解决解析：(1)f(x)，x(1，)依题意，得f(2)0，解得a.经检验，a时，符合题意(2)当a0时，f(x)，x(1，)

13、故f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)当a>0时，令f(x)0，得x10，x21，当0a1时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)f(x)的单调增区间是，单调减区间是(1,0)，.当a1时，f(x)的单调减区间是(1，)当a>1时，1<x2<0，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1) f(x)的单调增区间是，单调减区间是，(0，)当a<0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间

14、是(1,0)综上，当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)；当0<a<1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是(1,0)，；当a1时，f(x)的单调减区间是(1，)；当a>1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是，(0，)(3)由(2)知a0时，f(x)在(0，)上单调递增，由f(0)0知不合题意当0<a<1时，f(x)在(0，)的最大值是f，由1>0，f(x)在区间上递增可知，f>f(0)0知不合题意当a1时，f(x)在(0，)单调递减，可得f(x)在0，)上的最大值是f(0)0，符合题意f(x)在0，)上的最大值是0时，

15、a的取值范围是1，)12(2013·河南焦作一模)设函数f(x)xln x(x>0)(1)求函数f(x)的最小值；(2)设F(x)ax2f(x)(aR)，讨论函数F(x)的单调性；(3)斜率为k的直线与曲线yf(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，求证：x1<<x2.解析：(1)f(x)ln x1(x>0)，令f(x)0，得x.当x时，f(x)<0；当x时，f(x)>0.当x时，f(x)minln.(2)F(x)ax2ln x1(x>0)，F(x)2ax(x>0)当a0时，恒有F(x)>0，F(x)

16、在(0，)上是增函数；当a<0时，令F(x)>0，得2ax21>0，解得0<x<；令F(x)<0，得2ax21<0，解得x>.综上，当a0时，F(x)在(0，)上是增函数；当a<0时，F(x)在上单调递增，在上单调递减(3)证明：k.要证x1<<x2，即证x1<<x2，即证1<<，令t，则只要证1<<t，由t>1知ln t>0，故等价于证ln t<t1<tln t(t>1)(*)设g(t)t1ln t(t1)，则g(t)10(t1)，故g(t)在1，)上是增函数，

17、当t>1时，g(t)t1ln t>g(1)0，即t1>ln t(t>1)设h(t)tln t(t1)(t1)，则h(t)ln t0(t1)，故h(t)在1，)上是增函数，当t>1时，h(t)tln t(t1)>h(1)0，即t1<tln t(t>1)由知(*)成立，得证13(2013·陕西长安一中高三4月模拟)已知函数f(x)ln xpx1.(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围；(3)证明：(nN，n2)解析：(1)已知f(x)的定义域为(0，)，f(x)p， x0，当p0时，f(x)0， f(x)在(0，)上单调递增， f(x)无极值点；当p0时，f(x)0， x