导数专题(含答案

1、导数专题一. 导数计算1）与的关系函数： 就是导函数在x=处的函数值, 2）几种常见函数的导数公式3）求导法则， 例1）、( )2）、，若，则（ ）A. B. C. D. 3）已知函数的导函数为，且满足，则A B C D4）函数的导数为_；OX二. 导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率说明:导数的几何意义可以简记为“k=”,强化这一句话“斜率导数，导数斜率”导数的物理意义：s=s(t)是物体运动的位移函数，物体在t=时刻的瞬时速度是。可以简记为=例1、已知函数的图象在点处的切线方程是，则。2、若函数的导函数在区间a,b上是增函数，则函数在区间a,b上的图像可能是（ ）aboyxoyxa

2、boyxaboyxab3. 已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是 ( )A. 10m /s B. 9m/s C. 4m /s D. 3m /s三 导数大题中的基本题型1、导数与曲线的切线要点:斜率就是导数,导数就是斜率即切点是曲线与切线的公共点求曲线的切线方程的基本步骤: 求; 找切点或设切点 求切线的斜率或切点(当斜率和切点都不知道,借助斜率公式) 利用点斜式求切线方程.特别警示求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.例(1)曲线在点（1，-1）处的切线方程为。(2)已知

3、曲线y=的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A4B3 C2D(3)过原点作曲线的切线，则切线方程为. (4)已知曲线，求过点P的切线方程。 解：上， （1）当为切点时， 所求切线方程为（2）当不是切点时，设切点为，则，又切线斜率为，所以，解得，此时切线的斜率为1，切线方程为，综上所述，所求切线为或。2导数与单调性1)求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区注意：单调区间必须用区间表示定义域例(1) 函数是减函数的区间为( )AB C D（0，2） （2）函数：f(x)=3+xlnx的

4、单调递增区间是 ( ) A B. (e,+) C D. 2)利用导数判断函数的单调性1)证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f(x).(2)确认f(x)在(a，b)内的符号.(3)作出结论：f(x)0时f(x)为增函数；f(x)0时 f(x)为减函数.例（1）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是B（2）设函数 则（ ）A有最大值 B有最小值 C是增函数D是减函数3）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，的解集为。 3)已知函数的单调性求参数范围方法:常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式

5、中的等号不能省略，否则漏解从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数（是二次型）例1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（1）解 由已知=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0.（2）解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1<

6、x<1,3x2<3,只需a3.当a=3时，=3(x2-1),在x(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.2）函数在区间上为单调函数，则ABCD3、导数与函数的极值和最值1)求可导函数yf(x)极值的步骤：1.求函数yf(x)的导数f(x)并因式分解(或通分)；2.求方程f(x)0的根；3.列出在定义域内x变化时f(x)和f(x)的变化情况4下结论【例】1)设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求极值2)函数有极值的充要条件是 （ ）A B C D5已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是6已知

7、函数 既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是2)求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤(1) 求函数的导数f(x)(2) 求方程f(x)=0在区间(a,b)内的解。(3) 列表求区间(a,b)内极值(极大值或极小值)(4) y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值特别警示碰到下列三种情况注意分类讨论当方程不知是否有解方程的根不知谁大谁小方程的根不知道是否在定义域范围内【例】1已知函数. （）求的单调递减区间；（）求在区间上的最大值和最小值解：（）令（）令f(x)的最大值为23，最小值为-4.2函数 （的最大值是3 已知是实数，函数（）若，求的值及

8、曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最大值（）由易得a=0，从而可得曲线在处的切线方程为KS*5U.C#（）先求出可能的极值点x1=0，x2=，再讨论极值点与区间0,2端点的位置关系令，得当即时，在上单调递增， ；当即时，在上单调递减， ；当即时，在上单调递减，在上单调递增，函数f(x)（0x2)的最大值只可能在x=0或x=2处取到，因为f(0)=0，f(2)=84a，令f(2)f(0)，得a2，所以综上，4某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）

9、。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得则，令，即，解得当时，；当时，因此，当时，取得最小值，元.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。3)已知函数的极值求参数的值要点:在取得极值C则有 碰到参数多解须检验特别警示:若点；但反过来不一定，如函数处，【例】1函数y = f ( x ) = x3ax2bxa2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。15. 已知函数f(x)=x33x29xa. （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(

10、x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：（I） f(x)3x26x9令f(x)<0，解得x<1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)>f(2)因为在（1，3）上f(x)>0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为74、

11、利用导数研究方程的根(函数的零点或两图象的交点方法：做草图具体步骤(1)求并因式分解 (2)解方程 (3)在定义域范围列表 (4)求出极值例1方程 A、0 B、1 C、2 D、32设函数若方程有且仅有一个实根，求的取值范围解：, 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ;故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或3已知函数若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）因为在处取得极大值，所以所以由解得由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范

12、围是五、导数与不等式的证明要证不等式 只须证 只须证转化为求（一般利用导数求）例已知函数，证明：证：函数的定义域为1x（1，0）时，0，当x（0，）时，0，因此，当时，即0 令则x（1，0）时，0，当x（0，）时，0 当时，即 0，综上可知，当时，有 1. 已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间；(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）由，得，函数的单调区间如下表：­极大值¯极小值­所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得。2.(05重庆文)设函数R.（1）若处取得极值，求常数a的值；（2）若上为增函数，求a的取值范围.3.函数的定义域为（为实数）. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值.解：（1）当时,2分当且仅当,即时取等号3分函数的值域为； 4分（2）当时，函数在上单调递增，