小波变换在数字图像处理中的应用

1、小波变换在数字图像处理中的应用小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支,素有“数学显微镜”的美称. 它是继1822 年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域,解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题. 小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理,具有良好的局部化性质,能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性,具有极强的自适应性,因此在图像处理中具有极好应用价值. 本文主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术,并运用Matlab 软件对图像进行分解,然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩的目的. 分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩

2、的效果. 先引入文中的有关基本理论.1 基本理论小波是指函数空间) 中满足下述条件的一个函数或者信号 ,这里, = R - 0 表示非零实数全体.对于任意的函数或者信号f ( x) ,其小波变换定义为 ,因此,对任意的函数f ( x) ,它的小波变换是一个二元函数.另所谓多分辨分析是指设 Vj ; j Z 是上的一列闭子空间,其中的一个函数,如果它们满足如下五个条件,即(1) 单调性:Vj < Vj + 1 , P j Z ;(2) 惟一性: ;(3) 稠密性: ;(4) 伸缩性: , ;(5) Riesz 基存在性:存在,使得构成 的Riesz 基. 称为尺度函数. 那么,称是上的一个

3、多分辨分析.若定义函数,;则由多分辨分析的定义, 容易得到一个重要结果, ,即函数族 是空间Vj 的标准正交基. 关于多分辨分析,在这里以一个三层的分解进行说明, 多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解,而高频部分则不予考虑. 分解具有关系;另外强调一点,这里只是以一个层分解进行说明,如果要进行进一步分解,则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分,以下再分解,依次类推. 在理解多分辨分析时,必须牢牢把握一点,即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器. 多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解,使频率的分辨率变得越来越

4、高.而关于Mallat 算法是将上的多分辨分析记为,尺度方程和小波方程为和,其中,系数关系是,对任意的整数j 和k ,沿用记号,和对于任意信号引入记号称为f ( x) 的尺度系数和小波系数,同时,将f ( x) 在闭子空间和上的正交投影记为和,这样根据空间正交值和分解关系可得因此,信号的尺度变换系数和小波变换系数之间的关系现在可以写成2 小波变换在图像压缩中的应用二维离散小波变换后的系数分布 ,构成了信号f ( x , y) 的二维正交小波分解系数, 它们每一个都可被看做一幅图像,给出了f ( x , y) 垂直方向的高频分量的小波分解系数, 给出了f ( x , y ) 水平方向的高频分量的小波分解系数, 给出了f ( x , y) 对角方向高频分量的小波分解系数, 给出了f ( x , y) 的低频分量的小波分解系数. 由此可见,若用,分别表示,经21 亚抽样后的变换系数(简称为子图像) ,则任一图像都可以分解为之间的3J + 1 个离散子图像: ,其中SJ 是原图像的一个近似, 则是图像在不同方向、不同分辨率下的细节;如果原图像有个像素,则子图像,个像素,因而分解后总的像素数为.可见,分解后总的像素数不变.二维数字信号也即数字图像, 对它的处理是基于图像的数字化来实现的. 图像的数字化结果就是一个巨大数字矩阵,图像处理就在这个矩阵上完成. 所以,可将二维