导数的定义及几何意义

1、导 数一.知识梳理1导数的概念及几何意义. 2求导的基本方法定义法：=公式法：（c 为常数）; = (nN) ; = 3导数的应用求曲线切线的斜率及方程；研究函数的单调性、极值、最值；研究函数的图象形态、性状；导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用二基础训练1.(04湖北高考)函数有极值的充要条件是 ( )A. B. C.a<0 D.2（04江苏高考）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-193.(05南通示范高中联考)a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根 B 1个根

2、C 2个根 D 3个根4. (05南通四县市联考)设函数y=f(x)在其定义域上可导,若的图象如图所示,下列判断:f(x)在(-2,0)上是减函数; x=-1时, f(x)取得极小值;x=1时, f(x)取得极小值;f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数. 其中正确的是 A B C D 5.(05宿迁三模) 函数f(x) =-x3+3x2+ax+c在(-,1上是单调减函数,则a的最大值是A -3 B-1 C1 D36（05湘.19）设t0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与y=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线(I)用t表示a，b，c；()

3、若函数y=f(x)-g(x)在(-l，3)上单调递减，求 t的取值范围三典型例题例1. （05全国. 21）设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a（I）求f(x)的极值；（）当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点例2(05苏州一模)已知f(x)=x3+ax+b定义在区间-1，1上，且f(0) =f(1)，设xl，x2-1，1，且x1x21)求证：|f(x1)-f(x2)|< 2|x1-x2|；2)若0<xl<x21，求证：|f(x1)-f(x2)|<1 例3 （03天津高考）已知抛物线和，如果直线L同时是和的切线，称L是和的公切线，公切线上两个

4、切点之间的线段，称为公切线段。a取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。导数巩固练习1.(05苏,锡，常,镇一模)已知函数f(x) =2x3-x2+m (m为常数)图象上点A处的切线与直线x-y+3=0的夹角为450,则点A的横坐标为 ( )A .0 B .1 C .0或 D. 1或2.(05南通一模)已知函数f(x) =x3+bx2+cx+d在区间-1,2上是单调减函数,那么 ( )A. 有最大值 B. 有最大值- C. 有最小值 D.有最小值-3（04苏州一模）若函数在区间上的最大值，最小值分别为M，N，则M-N的值为 ( )

5、A.2 B.4 C.18 D.204(04徐州一模)抛物线y=x2+x+2与圆x2+y2=r2(r>0)的一个交点为P，且它们在交点P处的切线互相垂直，则r的一个值是 ( ) (A) (B) (C)2 (D) 5.(05重庆高考)曲线y=x3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴,直线x=a所围成的三角形的面积为,则a= 6.（05江西卷(7)）已知函数y=x图象如图所示(其中是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中， y=f(x)的图象大致是 ( ) A B C D7(05闽.20)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0，2)，且在点M(-l, f(-1)处的切线方程

6、为6x-y+7=0 (I)求函数y=f(x)的解析式； ()求函数y=f(x)的单调区间8已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c为常数).(I) 若f(x)在x=1和x=3处取的极值,试求b、c的值；(II) 若f(x)在x(-,x1)、(x2,+)上单调递增且在x(x1,x2)上单调递减,又满足x2-x11,求证：b22(b+2c)；(III)在(2)的条件下,若tx1，试比较t2+bt+c与x1的大小,并加以证明.参考答案基础训练:1.C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.解: (I)因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)=0， g(t)=0。f(t

7、)=0，即t3+at=0。因为t0,所以a=-t2 ;g(t)=0，即bt2+c=0，所以c=ab又因为f(x),g(x)在点(t，0)处有相同的切线，所以 =而=3x2+a, =2bx，所以3t2+a=2bt将a=-t2，代入上式得b=t， ,因此c=ab=-t3,故a=-t2，b=t，c=-t3。 ()y= f(x)-g(x)=x3- tx2- t2x +t3 =3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t) 当= (3x+t)(x-t)<0时，函数y= f(x)-g(x)单调递减由<0，若t>0，则-<x<t；若t<0，则t<x<-.由题意，

8、函数y= f(x)-g(x)在(-l，3)上单调递减，则(-l，3)( -，t)或 (-l，3) (t，-)所以t3或-3即t-9或t3.又当-9<t<3时，函数y= f(x)-g(x)在(-l，3)上不单调递减所以t的取值范围为（-，-93，+）典型例题：例1分析：历经多年的高考命题实践，对“导数”的考查已从“导数”的简单应用，如求曲线切线的斜率、研究函数的单调性、极值、最值，拓展到利用导数研究不等式、函数图象的性态、方程根的分布与个数等问题，问题()即是利用导数研究函数图象性态的问题， ()也可等价变形为一个方程根的分布（个数）问题：“当a在什么范围内取值时，方程f(x)=0有

9、且仅有一个根”。解：(I) =3x2-2x-1若=0，则x=-或1，当x变化时，f(x)变化情况如下表：x(-，-)-(-,1)1(1，+)+0-0+f(x)增极大值减极小值增所以f(x)的极大值是f(-)=+a, 极小值是f(1)=a-1()函数f (x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知x取足够大的正数时，有f (x)>0，x取足够小的负数时有f(x)<0所以曲线，y=f(x)与x轴至少有一个交点结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值寺+a<0，即a(-，-)时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，+)上

10、；当f(x)的极小值a-1>0，即a(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(-，-)上 所以当a(-，-)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点例2分析：对于一些代数不等式，人们习惯运用基本不等式和不等式的基本性质进行证明，但有时技巧性很强，增加了问题解决的难度如果能凭借导数这个先进工具，将不等式的证明转化为求函数的最值或值域问题，那么不等式的证明就会变得简单明了证:1)略;2)由f(O)=f(1)知a=-1，所以f(x)=x3-x+b设g(x)=x3-x，则=3x2-1由>0得x<-或x>， 所以g(x)在(0，)上递减，在,1

11、上递增当x(0,1)时,g(x)min=g()=-，且g(0)=g(1)=0， -g(x)0 当0<xl<x21时，有|f(x1)-f(x2)|=|g(x1)-g(x2)|g(x1)|+|g(x2)|< 2=<1例3分析：传统的解析几何中涉及切线的问题，常规的处理办法是用“”法来解决的，但有时计算量较大，容易出错如果能灵活运用导数的几何意义去解决，则问题的解决往往变得简单，清楚解： 的导数为曲线在点的切线方程是即 的导数曲线在点的切线方程是即 如果直线L是过P和Q的公切线，则都是L的方程，所以，消得若 即时，解得此时点P与Q重合，即当时，和有且仅有一条公切线为。证明：由

12、可知，当时，和有两条公切线，设一条公切线上切点为，其中P在上，Q在上，则有 ， ，所以线段PQ的中点为 ，同理，另一条公切线的中点也是，所以公切线段PQ和互相平分。巩固练习1.C 2.B 3.C 4C 5.±1 6.c 7解：(I)由f(x)的图象经过P(0，2)，知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，=3x2+2bx+c由在M(-l,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=l，=6 解得b=c=-3故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2()=3x2-6x-3，令=O，解得x1=1-，x2=l+当x<1-，或x>

13、;l+时，>0；当1-<x<l+时，<0.故f(x)=x3-3x2-3x+2在(一，1-)内是增函数，在(1-，l+)内是减函数，在(1+，+)内是增函数8 (I) f/(x)=x2+(b-1)x+c , 据题意知,1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根, 1-b=1+3=4, c=1×3=3,即b=-3, c=3 (II) 由题意知,当x(-,x1)、(x2,+)时, f/(x)0；当x(x1,x2)时, f/(x)0. 所以x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根,则x1+x2=1-b, x1x2=c.b2-2(b+2c)= b2-2b-4c=1-(x1+x2)2-21-(x1+x2)-4x1x2=(x1+x2)2-1x