实验五 矩阵运算与方程组求解

1、实验一 一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图性的方法与技巧. 基本命令1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot: Plotfx,x,min,max,选项Plot有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入Plotx2,x,-1,1,AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor1,0,0,PlotPoints->30则输出在区间上的图

2、形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高与宽之比为1. 如果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor1,0,0使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形更加精细.Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形, 只要用集合的形式f1x,f2x,代替fx.2.利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot:ParametricPlotgt,ht,t,min,max,选项其中是

3、曲线的参数方程. 例如,输入ParametricPlotCost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio->1则输出单位圆的图形.3. 利用极坐标方程作图的命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图, 则要先打开作图软件包. 输入<<GraphicsGraphics执行以后, 可使用PolarPlot命令作图. 其基本格式为PolarPlotrt,t,min,max,选项例如曲线的极坐标方程为要作出它的图形. 输入PolarPlot3 Cos3 t, t,0,2 Pi便得到了一条三叶玫瑰线.4. 隐函数作图命令ImplicitPlot这里同样要先打开作图

4、软件包, 输入<<GraphicsImplicitPlot.m命令ImplicitPlot的基本格式为ImplicitPlot隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项例如方程确定了y是x的隐函数. 为了作出它的图形, 输入ImplicitPlot(x2+y2)2=x2-y2,x,-1,1输出图形是一条双纽线.5. 定义分段函数的命令Which命令Which的基本格式为Which测试条件1, 取值1, 测试条件2, 取值2,例如输入wx_=Whichx<0,-x,x>=0,x2虽然输出的形式与输入没有改变, 但已经定义好了分段函数:现在可以对分段函数求函数值, 也可作出函数

5、的图形.实验举例初等函数的图形例1.1 给定函数(a) 画出在区间上的图形;(b) 画出区间上与的图形.输入命令fx_=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2);g1=Plotfx,x,-4,4,PlotStyle->RGBColor1,0,0;则输出在区间上的图形.输入命令g2=PlotSinxfx,x,-4,4,PlotStyle->RGBColor0,1,0;Showg1,g2;则输出区间上与的图形.注: Show命令把称为g1与g2二个图形叠加在一起显示. 二维参数方程作图例1.2 画出以下参数方程的图形.(1) (2) 分别输入以下命令:ParametricPlot

6、5Cos-11/5t+7Cost,5Sin-11/5t+7Sint,t,0,10Pi,AspectRatio->Automatic;ParametricPlot(1+Sint-2 Cos4*t)*Cost,Sint,t,0,2*Pi, AspectRatio->Automatic,Axes->None;则分别输出所求图形.用极坐标命令作图例1.3 作出极坐标方程为的对数螺线的图形.输入命令<<GraphicsGraphics执行以后再输入PolarPlotExpt/10,t,0,6 Pi则输出为对数螺线的图形.隐函数作图例1.4 作出由方程所确定的隐函数的图形(笛

7、卡儿叶形线).输入命令<<GraphicsImplicitPlot.m执行以后再输入ImplicitPlotx3+y3=3x*y,x,-3,3输出为笛卡儿叶形线的图形.分段函数的作图例1.5 作出分段函数的图形.输入命令hx_:=Whichx<=0,Cosx,x>0,ExpxPlothx,x,-4,4则输出所求图形.注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件.例1.6 作出分段函数的图形.输入命令fx_:=x2Sin1/x/;x!=0;fx_:=0/;x=0;Plotfx,x,-1,1;则输出所求图形.作函数图形的动画例1.7 作出函数的图形

8、动画, 观察参数c对函数图形的影响.输入命令DoPlotx2+Sinc x,x,-3,3,PlotRange->-1,5,c,1,5,1/3;则输出所求动画图形.实验习题1. 把正切函数和反正切函数的图形及其水平渐近线和直线用不同的线型画在同一个坐标系内.2. 作出双曲正切函数的图形.3. 输入以下命令PlotSinx,Sin2 x,Sin3 x,x,0,2 Pi, PlotStyle->RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1理解选项的含义.4. 为观察复合函数的情况,分别输入以下命令:PlotSqrt1+x2,x,-6,6,PlotSt

9、yle->Dashing0.02,0.01PlotSinCosSinx,x,-Pi,PiPlotSinTanx-TanSinx/x2,x,-5,5PlotEx,ArcTanx,EArcTanx,x,-5,55. 观察函数的叠加, 输入以下命令:a1=Plotx,x,-5,5,PlotStyle->RGBColor0,1,0a2=Plot2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle->RGBColor1,1,0a3=Plotx+2 Sinx,x,-5,5,PlotStyle->RGBColor1,0,0Showa1,a2,a36. 分别用ParametricPlot和P

10、olarPlot两种命令, 作出五叶玫瑰线的图形.7. 用ImplicitPlot命令作出椭圆的图形.8. 选择以下命令的一部分输入, 欣赏和研究极坐标作图命令输出的图形.PolarPlotCost/2,t,0,4 PiPolarPlot1-2 Sin5 t,t,0,2 PiPolarPlotCost/4,t,0,8 PiPolarPlott*Cost,t,0,8,PiPolarPlott(-3/2),t,0,8 PiPolarPlot2 Cos3 t,t,0,PiPolarPlot1-2 Sint,t,0,2 PIPolarPlot4-3 Cost,t,0,2 PiPolarPlotSin3

11、 t+Sin2 t2,t,0,2 PiPolarPlot3 Sin2 t,t,0,2 PiPolarPlot4 Sin4 t,t,0,2 PiPolarPlotCos2 t+Cos4 t2,t,0,2 PiPolarPlotCos2 t+Cos3 t2,t,0,2 PiPolarPlotCos4 t+Cos4 t2,t,0,2 Pi,PlotRange->All实验2 极限与连续（基础实验）实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形特征,理解闭区间上

12、连续函数的几个重要性质.基本命令1.画散点图的命令ListPlot:ListPlotx1,y1,x2,y2,xn,yn,选项或者ListPloty1,y2,yn,选项前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列的散点图;后一形式的命令, 默认自变量依次取正整数作出点列为的散点图.命令ListPlot的选项主要有两个:(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来;(2) PlotStyle->PointSize0.02, 表示散点的大小.2.产生集合或者数表的命令Table:命令Table产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入Tablej2,j,1,6则产生前6个正

13、整数的平方组成的数表1,4,9,16,25,36.3.连加求和的命令Sum:命令Sum大致相当于求和的数学符号. 例如, 输入Sum1/i,i,100/N执行后得到的近似值.与Sum类似的还有连乘求积的命令Product.4. 求函数多次自复合的命令Nest:例如, 输入NestSin,x,3则输出将正弦函数自己复合3次的函数SinSinSinx5.求极限的命令Limit:其基本格式为Limitfx,x->a其中f(x)是数列或者函数的表达式, x->a是自变量的变化趋势. 如果自变量趋向于无穷, 用x->Infinity.对于单侧极限, 通过命令Limit的选项Direct

14、ion表示自变量的变化方向.求右极限, 时, 用Limitfx,x->a,Direction->-1;求左极限,时, 用Limitfx,x->a,Direction->+1;求时的极限, 用Limitfx,x->Infinity,Direction->+1;求时的极限, 用Limitfx,x->Infinity,Direction->-1。注:右极限用减号, 表示自变量减少并趋于a,同理,左极限用加号, 表示自变量增加并趋于a . 实验举例作散点图例2.1 分别画出坐标为的散点图, 并画出折线图.分别输入命令t1=Tablei2,i,10; g1

15、=ListPlott1,PlotStyle->PointSize0.02;g2=ListPlott1,PlotJoined->True;Showg1,g2;t2=Tablei2,4i2+i3,i,10;g1=ListPlott2,PlotStyle->PointSize0.02;g2=ListPlott2,PlotJoined->True;Showg1,g2;则分别输出所求图形.数列极限的概念例2.2 通过动画观察当时数列的变化趋势.输入Cleartt;tt=1,1/22,1/32;Dott=Appendtt,N1/i2;ListPlottt,PlotRange->

16、;0,1,PlotStyle->PointSize0.02,i,4,20则输出所求图形动画. 从图中可以看出所画出的点逐渐接近于x轴.例2.3 研究极限输入Printn, " ", Ai, " ",0.4-Ai;Fori=1, i<=15, i+,Aii=N(2 i3+1)/(5 i3+1),10;Bii=0.4-Aii; Printi, " ", Aii, " ", Bii则输出nAi0.4-Ai10.50.120.4146340.014634130.4044120.0044117640.401869

17、0.0018691650.4009580.00095846660.4005550.00055504270.400350.0003496580.4002340.00023428390.4001650.000164564100.400120.000119976110.400090.0000901442120.4000690.0000694364130.4000550.000054615140.4000440.0000437286150.4000360.0000355534观察所得数表. 第一列是下标n. 第二列是数列的第n项它与0.4越来越接近. 第三列是数列的极限0.4与数列的项的差, 逐渐接近

18、0.再输入fn=Table(2 n3+1)/(5 n3+1),n,15;ListPlotfn,PlotStyle->PointSize0.02则输出散点图. 观察所得散点图, 可见表示数列的点逐渐接近于直线注:命令For的格式见项目二中实验1的基本命令.递归数列例2.4 设从初值出发, 可以将数列一项一项地计算出来. 这样定义的数列称为递归数列. 输入f1=NSqrt2,20;fn_:=NSqrt2+fn-1,20;f9则已经定义了该数列, 并且求出它的第9项的近似值为1.9999905876191523430.输入fn=Tablefn,n,20得到这个数列的前20项的近似值(输出结果略

19、). 再输入ListPlotfn,PlotStyle->PointSize0.02输出为图2.2. 观察该散点图, 表示数列的点越来越接近于直线函数的极限例2.5 在区间上作出函数的图形, 并研究 和 输入命令Clearf;fx_=(x3-9x)/(x3-x);Plotfx,x,-4,4;则输出的图形. 从图可猜测 不存在.例2.6 观察函数当时的变化趋势.取一个较小的区间1, 10, 输入命令fx_=Sinx/x2;Plotfx,x,1,20;则输出在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上, 逐次取更大的区间, 可以更有力地说明当时,作动画: 分别取区间画出函数的图

20、形, 输入以下命令:i=3;Whilei<=20,Plotfx,x,10,5*i,PlotRange->10,100,-0.008,0.004;i+则输出17幅图, 点黑右边的线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数当时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势.两个重要极限例2.7 研究第二个重要极限输入Limit(1+1/n)n,n->Infinity输出为e. 再输入Plot(1+1/x)x,x,1,100则输出函数的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限无穷大例2.7 考虑无穷大. 分别输入Plot(1+2 x)/(1-x),x

21、,-3,4Plotx3-x,x,-20,20则分别输出两个给定函数的图形. 在第一个函数的图形中,时函数的绝对值无限增大,在第二个函数的图形中,时函数的绝对值在无限增大. 输入Limit(1+2x)/(1-x),x->1Mathematica输出的是. 这个结果应该是右极限.例2.8 输入Plotx*Sinx,x,0,20 Pi则输出所给函数的图形.观察图中函数的变化趋势. 这个函数无界, 但是, 当时, 这个函数不是无穷大. 即趋向于无穷大的函数当然无界, 而无界函数并不一定是无穷大.连续与间断例2.9 观察无穷间断. 输入PlotTanx,x,-2Pi,2Pi则输出函数的图形. 从图

22、可见,是所给函数的跳跃间断点.例2.10 观察振荡间断. 输入PlotSin1/x,x,-Pi,Pi则输出函数的图形. 从图可见,是所给函数的跳跃间断点.再输入LimitSin1/x,x->0则输出为Interval-1,1. 表示函数极限不存在,且在-1与1之间振荡. 实验习题1. 设数列计算这个数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.2. 定义数列可以证明:这个数列的极限是计算这个数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.3. 作函数及自复合函数4. 计算极限5. 讨论极限实验3 导数（基础实验）实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌

23、握用Mathematica求导数与高阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.基本命令1.求导数的命令D与求微分的命令DtDf,x给出f关于x的导数, 而将表达式f中的其它变量看作常量. 因此, 如果f是多元函数, 则给出f关于x的偏导数.Df,x,n给出f关于x的n阶导数或者偏导数.Df,x,y,z,给出f关于x,y,z,的混合偏导数.Dtf,x给出f关于x的全导数, 将表达式f中的其它变量都看作x的函数.Dtf给出f的微分. 如果f是多元函数, 则给出f的全微分.上述命令对表达式为抽象函数的情形也适用, 其结果也是一些抽象符号.命令D的选项No

24、nConstants->指出内的字母是x的函数.命令Dt的选项Constants->指出内的字母是常数.2.循环语句Do基本格式为Do表达式, 循环变量的范围表达式中一般有循环变量, 有多种方法说明循环变量的取值范围. 最完整的格式是Do表达式, 循环变量名, 最小值, 最大值, 增量当省略增量时, 默认增量为1. 省略最小值时, 默认最小值为1.例如,输入DoPrintSinn*x,n,1,10则在屏幕上显示Sinx,Sin2x,Sin10x 等10个函数.实验举例导数的概念例3.1 作函数的图形和在处的切线.输入Clearf;fx_=2x3+3x2-12x+7;plotf=Pl

25、otfx,x,-4,3,DisplayFunction->Identity;plot2=Plotf ' -1*(x+1)+f-1,x,-4,3, PlotStyle->GrayLeve10.5,DisplayFunction->Identity;Showplotf,plot2,DisplayFunction->$DisplayFunction执行后便在同一个坐标系内作出了函数的图形和它在处的切线.求函数的导数与微分例3.2 求函数的一阶导数. 并求输入DSina*x*Cosb*x,x/.x->1/(a+b)则输出函数在该点的导数例3.3 求函数的1阶到11

26、阶导数.输入Clearf;fx_=x10+2*(x-10)9;Dfx,x,2则输出函数的二阶导数类似可求出3阶、4阶导数等等. 为了将1阶到11阶导数一次都求出来, 输入DoPrintDfx,x,n,n,1,11则输出或输入TableDfx,x,n,n,11则输出集合形式的1至11阶导数(输出结果略).求隐函数的导数例3.4 求由方程确定的隐函数的导数.方法1 输入deq1=D2x2-2x*yx+yx2+x+2yx+1=0,x这里输入yx以表示y是x的函数. 输出为对原方程两边求导数后的方程deq1:1+4 x-2 yx+2y' x-2 xy' x+2 yxy' x =

27、 0再解方程, 输入Solvedeq1,y ' x则输出所求结果方法2 使用微分命令. 输入deq2=Dt2 x2-2x*y+y2+x+2y+1=0,x得到导数满足的方程deq2:1+4x-2y+2 Dty,x-2x Dty,x+2y Dty,x= =0再解方程, 输入Solvedeq2,Dty,x则输出注意前者用yx, 而后者用Dty,x表示导数.如果求二阶导数, 再输入deq3=Ddeq1,x;Solvedeq1,deq3,y' x,y'' x/Simplify则输出结果求参数方程确定的函数的导数例3.5 求由参数方程确定的函数的导数.输入DEt*Sint,

28、t/DEt*Cost,t则得到导数再输入D%,t/DEt*Cost,t/Simplify则得到二阶导数中值定理例3.6 对函数观察罗尔定理的几何意义.因为由罗尔定理, 存在, 使得(1) 画出与的图形, 并求出与输入fx_=x*(x-1)*(x-2);g1=Plotfx,x,-1,3,PlotStyle->RGBColor1,0,0;g2=Plotf'x,x,-1,3;Showg1,g2;NSolvef'x=0,x (2)画出及其在点与处的切线.输入t1x_=f0.42265; t2x_=f1.57735;Plotfx,t1x,t2x,x,-1,3;例3.7 函数在区间1

29、,2上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在使可以验证这个结论的正确性. 输入Clearf;fx_:=1/x4;SolveDfx,x=f2-f1,x/N输出中有5个解:x->-1.08137-0.785663i,x->1.33665,x->0.413048+1.27123i,x->0.413048-1.27123i,x->-1.08137+0.785663i其中的实数解就是满足拉格朗日中值定理的, 约为1.33665. 实验习题1. 验证拉格朗日定理对函数在区间0,1上的正确性.2. 证明:对函数应用拉格朗日中值定理时, 所求得的点总是位于区间的正中间.3. 求下

30、列函数的导数:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .4. 求下列函数的微分: (1) ;(2) .5. 求下列函数的一、二阶导数: (1) (2) 6. 求下列函数的高阶导数:(1) (2) 7. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:(1) (2) 8. 求由下列参数方程确定的函数的导数:(1) (2) 实验4 导数的应用（基础实验）实验目的理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法. 理解曲线的曲率圆和曲率的概念. 进一步熟悉和掌握用Mathematica作平面图形的方法和技巧. 掌握用Mathematica求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的

31、方法.基本命令1.求多项式方程的近似根的命令Nsolve和Nroots命令Nsolve的基本格式为Nsolvefx= =0,x执行后得到多项式方程的所有根(包括复根)的近似值.命令NRoots的基本格式为NRootsfx= =0,x,n它同样给出方程所有根的近似值. 但是二者表示方法不同. 在命令NRoots的后面所添加的选项n, 要求在求根过程中保持n位有效数字; 没有这个选项时, 默认的有效数字是16位.2.求一般方程的近似根的命令FindRoot命令的基本格式为FindRootfx= =0,x,a,选项或者FindRootfx= =0,x,a,b,选项其中大括号中x是方程中的未知数, 而

32、a和b是求近似根时所需要的初值. 执行后得到方程在初值a附近, 或者在初值a与b之间的一个根.方程的右端不必是0, 形如的方程也可以求根. 此外, 这个命令也可以求方程组的近似根. 此时需要用大括号将多个方程括起来, 同时也要给出各个未知数的初值. 例如,FindRootfx,y= =0,gx,y= =0,x,a,y,b由于这个命令需要初值, 应先作函数的图形, 确定方程有几个根, 以及根的大致位置, 或所在区间, 以分别输入初值求根.命令的主要选项有:(1) 最大迭代次数:MaxIterations->n, 默认值是15.(2) 计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecisio

33、n->n, 默认值是16位.3.求函数极小值的近似值的命令FindMinimum命令的基本格式为FindMinimumfx,x,a, 选项执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值.这个命令的选项与FindRoot相同, 只是迭代次数的默认值是30.如果求函数的极大值的近似值, 可以对函数用这个命令. 不过, 正确的极大值是所得到的极小值的相反的数.使用此命令前, 也要先作函数的图形, 以确定极值的个数与初值.4.作平面图元的命令Graphics如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元, 可以直接用命令Graphics, 再用命令Show在屏幕上显示. 例如, 输入g1=Graph

34、icsLine1,-1,6,8Showg1,Axes->True执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段. 实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项. 如果要作出过已知点的折线, 只要把这些点的坐标组成的集合放在命令Line 之内即可. 如输入ShowGraphicsLine0,0,1,2,3,-1,Axes->True输出为图4.1.图4.1实验举例求函数的单调区间例4.1 求函数的单调区间.输入f1x_:=x3-2x+1;Plotf1x,f1 ' x,x,-4,4,PlotStyle->GrayLeve10.01,Dashing0.01

35、则输出图4.2.图4.2图4.2中的虚线是导函数的图形. 观察函数的增减与导函数的正负之间的关系.再输入Solvef1 ' x=0,x则输出即得到导函数的零点. 用这两个零点, 把导函数的定义域分为三个区间. 因为导函数连续, 在它的两个零点之间, 导函数保持相同符号. 因此, 只需在每个小区间上取一点计算导数值,即可判定导数在该区间的正负, 从而得到函数的增减. 输入f1' -1f1' 0f1' 1输出为1,-2,1. 说明导函数在区间上分别取+,-和+. 因此函数在区间和上单调增加, 在区间上单调减少.求函数的极值例4.2 求函数的极值.输入f2x_:=x/

36、(1+x2);Plotf2x,x,-10,10则输出图4.3.图4.3观察它的两个极值. 再输入Solvef2' x=0,x则输出x->-1,x->1即驻点为用二阶导数判定极值, 输入f2'' -1f2'' 1则输出1/2与-1/2. 因此是极小值点,是极大值点. 为了求出极值, 再输入f2-1f21输出-1/2与1/2. 即极小值为-1/2, 极大值为1/2.求极值的近似值例4.3 求函数的位于区间内的极值的近似值.输入f4x_:=2 (Sin2 x)2+5x*(Cosx/2)2/2;Plotf4x,x,0,Pi则输出图4.4.图4.4观察

37、函数图形, 发现大约在附近有极小值, 在和有极大值. 用命令FindMinimum直接求极值的近似值. 输入FindMinimumf4x,x,1.5则输出1.94461,x->1.62391即同时得到极小值1.94461和极小值点1.62391. 再输入FindMinimum-f4x,x,0.6FindMinimum-f4x,x,2.5则输出-3.73233,x->0.864194-2.95708,x->2.24489即得到函数的两个极小值和极小值点. 再转化成函数y的极大值和极大值点. 两种方法的结果是完全相同的.证明函数的不等式例4.4证明不等式其中先作图, 输入Clea

38、rF;Fx_:=ArcTanx+1/x;PlotFx,Pi/2,x,4,20,AxesOrigin->4,Pi/2-0.00012,PlotStyle->GrayLeve10.0,Dashing0.01,0.01则输出图4.5.图4.5当x趋向于无穷时, 直线是函数的渐近线. 下面用单调性证明不等式. 输入LimitFx,x->Infinity则输出再研究单调性, 输入ClearGGx_:=DFx,xSolveGx=0,x则输出 即当时, 函数无驻点. 再输入NG2则输出-0.05即当时,于是函数单调减少, 趋向于. 因此,当时, 有实验习题1. 作函数及其导函数的图形, 并求函数的单调区间和极值.2. 作函数及其导函数的图形, 并求函数的单调区间和极值. 注: 为了避免负数开方出现复数, 输入时可把函数y定义为yx_:=(