定积分概念与性质

1、第一节 定积分概念与性质教学目的：使学生了解定积分概念，掌握定积分的性质。一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间a,b中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<×××<

2、xn-1<xn=b,把a,b分成n个小区间x0,x1, x1,x2, x2,x3,×××, xn-1,xn,它们的长度依次为Dx1= x1-x0, Dx2= x2-x1,×××, Dxn= xn-xn-1. 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间xi-1,xi上任取一点x i, 以xi-1,xi为底、f (xi)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2,×××,n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即A&#

3、187;f (x 1)Dx1+f (x 2)Dx2+×××+ f (xn)Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=maxDx1, Dx2,×××, Dxn, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间

4、隔T 1,T 2上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S. 求近似路程: 我们把时间间隔T 1,T 2分成n 个小的时间间隔Dti, 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti. 把物体在每一小的时间间隔Dti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1,T 2内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔T 1,T 2内任意插入若干个分点T 1=t0<t 1<t2<××

5、;×<tn-1<tn=T 2,把T 1,T 2分成n个小段t 0,t 1, t 1,t 2,×××, tn-1,t n ,各小段时间的长依次为Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1,×××, Dtn=tn-tn-1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1, DS 2,×××, DS n. 在时间间隔ti-1,t i上任取一个时刻ti (ti-1<ti<ti), 以ti时刻的速度v(ti)来代替ti-1,t i上各个时刻的速度, 得到部分路程DSi

6、的近似值, 即 DSi= v(ti) Dti(i=1, 2,×××,n).于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即; 求精确值: 记l= maxDt 1, Dt 2,×××, Dtn, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b把区间a,b

7、分成n个小区间:x0,x1, x1,x2, x2,x3,×××, xn-1,xn, 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2,×××,n). (2)任取x iÎxi-1,xi, 以xi-1,xi为底的小曲边梯形的面积可近似为(i=1, 2,×××,n); 所求曲边梯形面积A的近似值为. (3)记l=maxDx1, Dx2,×××, Dxn, 所以曲边梯形面积的精确值为. 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1,T 2上t的连续函数,且v(t)

8、79;0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S. (1)用分点T1=t0<t1<t2<×××<tn-1<tn=T2把时间间隔T 1,T 2分成n个小时间段: t0,t1, t1,t2,×××, tn-1,tn , 记Dti=ti-ti-1(i=1, 2,×××,n). (2)任取tiÎti-1,ti, 在时间段ti-1,ti内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti(i=1, 2,×××,n); 所求路程S 的近似值为. (3)记l=m

9、axDt1, Dt2,×××, Dtn, 所求路程的精确值为.二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a,b上有界, 在a,b中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b,把区间a,b分成n个小区间x0,x1, x1,x2,×××, xn-1,xn ,各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1,×××, D

10、xn=xn-xn-1.在每个小区间xi-1,xi上任取一个点xi (xi-1<xi<xi), 作函数值f (xi)与小区间长度Dxi的乘积f (xi) Dxi (i=1, 2,×××,n) , 并作出和.记l= maxDx1, Dx2,×××, Dxn, 如果不论对a,b怎样分法, 也不论在小区间xi-1,xi上点xi 怎样取法, 只要当l®0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a,b上的定积分, 记作,即 .其中f (x)叫做被积函数,f (x)dx叫做被积表达式,x叫做

11、积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, a,b叫做积分区间. 定义 设函数f(x)在a,b上有界, 用分点a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b把a,b分成n个小区间: x0,x1, x1,x2,×××, xn-1,xn , 记Dxi=xi-xi-1(i=1, 2,×××,n). 任xiÎxi-1,xi (i=1, 2,×××,n), 作和. 记l=maxDx1, Dx2,×××, Dxn

12、, 如果当l®0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a,b的分法和xi的取法无关, 则称这个极限为函数f(x)在区间a,b上的定积分, 记作,即 . 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为. 变速直线运动的路程为. 说明: (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即. (2)和通常称为f (x)的积分和. (3)如果函数f (x)在a,b上的定积分存在, 我们就说f (x)在区间a,b上可积. 函数f(x)在a,b上满足什么条件时,f (x)在a,b上可积呢？ 定理1 设f (x)在区间a,b上连续, 则f (x) 在a,b上可积.定理2 设f (

13、x)在区间a,b上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x) 在a,b上可积. 定积分的几何意义: 在区间a,b上, 当f(x)³0时, 积分在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形的面积; 当f(x)£0时, 由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;. 当f (x)既取得正值又取得负值时, 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方, 而其它部分在x轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x轴上方的图形面积赋以正号, 在x轴下方的图形面积赋以负号,

14、 则在一般情形下, 定积分的几何意义为: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分: 例1. 利用定义计算定积分. 解 把区间0, 1分成n等份, 分点为和小区间长度为(i=1, 2,×××,n-1),(i=1, 2,×××,n) . 取(i=1, 2,×××,n), 作积分和. 因为, 当l®0时,n®¥, 所以. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求. 解: 函数y=1-x在区间0, 1

15、上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以.三、定积分的性质 两点规定: (1)当a=b时,. (2)当a>b时,.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即. 证明:.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即. 这是因为.性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式成立. 例如, 当a<b

16、<c时, 由于,于是有.性质4 如果在区间ab上f (x)º1 则.性质5 如果在区间a,b上 f (x)³0, 则(a<b).推论1 如果在区间a,b上 f (x)£g(x) 则(a<b). 这是因为g (x)-f (x)³0, 从而,所以.推论2 (a<b). 这是因为-|f (x)| £f (x) £ |f (x)|, 所以,即 | .性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值, 则(a<b). 证明 因为 m£f (x)£M, 所以,从而.性质7 (定

17、积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续, 则在积分区间a,b上至少存在一个点x , 使下式成立:.这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6 ,各项除以b-a 得,再由连续函数的介值定理, 在a,b上至少存在一点x, 使,于是两端乘以b-a得中值公式. 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论a<b还是a>b, 积分中值公式都成立.第二节 微积分基本定理教学目的：使学生掌握变上限积分及其导数； 使学生掌握牛顿莱布尼兹公式（微积分基本定理，基本公式）一、变上限积分及其导数 设函数f(x)在区间a,b上连续, 并且设x为a,b上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间a,x

18、上的定积分称为积分上限的函数. 它是区间a,b上的函数, 记为F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函数f(x)在区间a,b上连续, 则函数F(x)在a,b上具有导数, 并且它的导数为F¢(x)(a£x<b). 简要证明 若xÎ(a,b), 取Dx使x+DxÎ(a,b).DF=F(x+Dx)-F(x),应用积分中值定理, 有DF=f (x)Dx,其中x在x 与x+Dx之间,Dx®0时,x®x. 于是F¢(x). 若x=a, 取Dx>0, 则同理可证F+¢(x)=f(a); 若x=b, 取Dx<0

19、, 则同理可证F-¢(x)=f(b).例1求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）。例2计算（1）；（2）；（3）例3求. 解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则,.提示: 设, 则.定理2 如果函数f(x)在区间a,b上连续, 则函数F(x)就是f (x)在a,b上的一个原函数. 定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.二、牛顿-莱布尼茨公式定理3 如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数, 则.此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式. 这是因为F(x)和

20、F(x)=都是f(x)的原函数,所以存在常数C, 使 F(x)-F(x)=C (C为某一常数).由F(a)-F(a)=C及F(a)=0, 得C=F(a),F(x)-F(x)=F(a).由F(b)-F(b)=F(a), 得F(b)=F(b)-F(a), 即. 证明: 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数F(x)=也是f(x)的一个原函数. 于是有一常数C, 使 F(x)-F(x)=C (a£x£b).当x=a时, 有F(a)-F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a); 当x=b 时,F(b)-F(b)=F(a),所以F(

21、b)=F(b)-F(a), 即. 为了方便起见, 可把F(b)-F(a)记成, 于是. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 例4. 计算. 解: 由于是的一个原函数, 所以. 例5 计算. 解 由于arctan x是的一个原函数, 所以. 例6. 计算. 解:=ln 1-ln 2=-ln 2. 例7. 计算正弦曲线y=sin x在0,p上与x轴所围成的平面图形的面积. 解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积=-(-1)-(-1)=2. 例8. 设f(x)在0, +¥)内连续且f(x)>0. 证明函数在(0,+¥)内为单调增加函数. 证明:

22、,. 故.按假设, 当0<t<x时f (t)>0, (x-t)f (t)> 0 , 所以,从而F¢(x)>0 (x>0), 这就证明了F (x) 在(0,+¥)内为单调增加函数.第三节定积分换元积分法与分部积分法教学目的：使学生熟练掌握定积分换元积分法与分部积分法教学重点：定积分换元积分法一、换元积分法定理 假设函数f(x)在区间a,b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a,j(b)=b; (2)j(t)在a,b(或b,a)上具有连续导数, 且其值域不越出a,b,则有. 这个公式叫做定积分的换元公式.证明 由假设知,f

23、(x)在区间a,b上是连续, 因而是可积的;f j(t)j¢(t)在区间a,b(或b,a)上也是连续的, 因而是可积的. 假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)¢=F¢j(t)j¢(t)= f j(t)j¢(t), 所以Fj(t)是f j(t)j¢(t)的一个原函数, 从而=Fj(b)-Fj(a)=F(b)-F(a).因此 . 例1 计算(a>0). 解 .提示:,dx=a cos t. 当x=0时t=0, 当x=a时. 例2 计算. 解 令t=cos x, 则.提示: 当x

24、=0时t=1, 当时t=0.或 . 例3 计算. 解 .提示:. 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|=-cos x. 例4 计算. 解 .提示:,dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3. 例5 证明: 若f (x)在-a,a上连续且为偶函数, 则. 证明 因为,而 ,所以 . 讨论: 若f(x)在-a,a上连续且为奇函数, 问？ 提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) =0, 从而 . 例6 若f (x)在0, 1上连续, 证明 (1); (2). 证明 (1)令, 则. (2)令x=p-t, 则,所以 . 例7 设函数, 计算. 解 设x-

25、2=t, 则.提示: 设x-2=t, 则dx=dt; 当x=1时t=-1, 当x=4时t=2.二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续导数u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢=u¢v+uv¢得uv¢=uv-u¢v,等式两端在区间a,b上积分得, 或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:. 例1 计算. 解 . 例2 计算. 解 令, 则. 例3 设, 证明 (1)当n为正偶数时,; (2)当n为大于1的正奇数时,. 证明 =(n-1)In- 2-(n-1)In,由此得.,而,因此,. 例3 设(

26、n为正整数), 证明,. 证明 =(n-1)In- 2-(n-1)In,由此得.,.特别地 ,.因此 ,.课堂练习：1求2设，求。 第四节 广义积分教学目的：使学生熟练掌握无穷区间上的广义积分及无界函数的广义积分教学重点：无穷区间上的广义积分教学过程：一、无穷区间上的广义积分定义1 设函数f(x)在区间a,+¥)上连续, 取b>a. 如果极限 存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,+¥)上的广义积分, 记作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间a,+¥)上的广义积分就没有意义, 此时称广义积分发散. 类似地, 设

27、函数f(x)在区间(-¥,b 上连续, 如果极限(a<b)存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间(-¥,b 上的广义积分, 记作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 则称广义积分发散.设函数f(x)在区间(-¥,+¥)上连续, 如果广义积分和都收敛, 则称上述两个广义积分的和为函数f(x)在无穷区间(-¥,+¥)上的广义积分, 记作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上式右端有一个广义积分发散, 则称广义积分发散.定义1¢ 连续函数f(x)在区间a,+¥)上的广义积分定义为. 在广义积分的

28、定义式中, 如果极限存在, 则称此广义积分收敛; 否则称此广义积分发散. 类似地, 连续函数f(x)在区间(-¥,b上和在区间(-¥,+¥)上的广义积分定义为.广义积分的计算: 如果F(x)是f(x)的原函数, 则.可采用如下简记形式:.类似地 ,.例1 计算广义积分.解.例2 计算广义积分 (p是常数,且p>0).解.提示:.例3讨论广义积分(a>0)的敛散性.解当p=1时,.当p<1时,.当p>1时,.因此, 当p>1时, 此广义积分收敛, 其值为; 当p£1时, 此广义积分发散. 二、无界函数的广义积分定义2 设函数f

29、(x)在区间(a,b上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e>0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分, 仍然记作, 即.这时也称广义积分收敛.如果上述极限不存在, 就称广义积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间a,b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e>0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在a,b)上的广义积分, 仍然记作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称广义积分发散.设函数f(x)在区间a,b上除点c(a<c<b)外连续, 而在点c的邻域内无界. 如果两个广义积分与都收敛, 则定义.否则, 就

30、称广义积分发散. 瑕点: 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界, 那么点a称为函数f(x)的瑕点, 也称为无界定义2¢ 设函数f(x)在区间(a,b上连续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a,b上的广义积分定义为. 在广义积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此广义积分收敛; 否则称此广义积分发散. 类似地,函数f(x)在a,b)(b为瑕点)上的广义积分定义为.函数f(x)在a,c)È(c,b (c为瑕点)上的广义积分定义为.广义积分的计算: 如果F(x)为f(x)的原函数, 则有.可采用如下简记形式:.类似地, 有,当a为瑕点时,;当b为瑕点时,.当c (a

31、<c<b )为瑕点时,.例4计算广义积分.解因为, 所以点a为被积函数的瑕点. 例5讨论广义积分的收敛性. 解函数在区间-1,1上除x=0外连续, 且.由于,即广义积分发散, 所以广义积分发散. 例6讨论广义积分的敛散性. 解当q=1时,.当q>1时,.当q<1时,.因此, 当q<1时, 此广义积分收敛, 其值为; 当q³1时, 此广义积分发散.第五节 定积分的应用教学目的：使学生理解定积分的元素法；熟练掌握直角坐标系下平面图形的面积及旋转体的体积的计算方法。教学重点：平面图形的面积及旋转体的体积的计算方法。 定积分的元素法 再看曲边梯形的面积:设y=f

32、 (x)³0 (xÎa,b). 如果说积分,是以a,b为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数就是以a,x为底的曲边梯形的面积. 而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DA»f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以a,b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以a,b为积分区间的定积分:. 一般情况下, 为求某一量U,先将此量分布在某一区间a,b上, 分布在a,x上的量用函数U(x)表示, 再求这一量的元素dU(x), 设dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx为被积表达式, 以

33、a,b为积分区间求定积分即得. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为. 类似地, 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为. 例1计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积.解 (1)画图. (2)确定在x轴上的投影区间: 0, 1.(3)确定上下曲线: .(4)计算积分. 例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4

34、所围成的图形的面积.解 (1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间: -2, 4.(3)确定左右曲线: .(4)计算积分.例3求椭圆所围成的图形的面积.解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为0,a. 因为面积元素为ydx,所以.椭圆的参数方程为:x=a cos t,y=b sin t,于是.2极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线r=j(q)及射线q=a,q=b围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为.曲边扇形的面积为.例4. 计算阿基米德螺线r=aq (a >0)上相应于q从0变到2p的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解:

35、 . 例5. 计算心形线r=a(1+cosq) (a>0) 所围成的图形的面积.解: .二、体 积1旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体. 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f (x)、直线x=a、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 设过区间a,b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x), 当平面左右平移dx后, 体积的增量近似为DV=pf (x)2dx,于是体积元素为dV=pf (x)2dx, 旋转体的体积为.例1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线

36、、直线x=h及x轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为.所求圆锥体的体积为.例2.计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 体积元素为dV=py 2dx,于是所求旋转椭球体的体积为.例3 计算由摆线x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)的一拱, 直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为=5p2a 3.所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y). 则=6p3a 3. 2平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为a,b, 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx, 立体的体积为.例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角a. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴, 底面上过圆中心、且垂直