实验五MATLAB的科学计算

1、实验五 MATLAB在高等数学中的科学计算一、 实验目的了解MATLAB在高等数学相关领域中的应用二、 实验地点：A404三、 实验日期：四、 实验内容（一）matlab在解析几何中的应用1、利用Matlab描绘三维空间图形解析几何教学中，图形是很重要的，空间概念的建立，各种曲面的研究，各种方程的建立都离不开图形，而空间图形既难画又费时。借助Matlab的绘图功能，可以快捷、准确地绘出图形，使教学变得形象、直观、生动，有利于学生观察三维空间图形的形状，掌握图形的性质。例1：作出球面 x2+y2+z2=a2 和圆柱面x2+y2-ax=0 的交线 维维安尼( Viviani )曲线此题通过联立球面

2、方程x2+y2+z2=a2和圆柱面方程x2+y2-ax=0而得出维维安尼曲线的参数方程：      x=acos2t     y=acost * sint  (0t<2 )  z=asint利用Matlab编制以下程序，可绘出维维安尼曲线的形状，如图1所示：clear;t=0:pi/30:2*pi;a=4;x=a*(cos(t).2;y=a*cos(t).*sin(t);z=a*sin(t);plot3(x,y,z)pause(1)grid on图1 从不同角度观察维维安尼曲线也

3、可在同一直角坐标系中绘出球面与柱面相交的情形，这更利于我们观察维维安尼曲线的形状。编制的Matlab程序如下：%柱面的Matlab程序t=0:.1:pi;x=4*(cos(t).2);y=4*cos(t).*sin(t);n=size(x,2);for i=-5:.01:5    z=i*ones(1,n);plot3(x,y,z)pause(0.01)    hold onend%球面的Matlab程序u=0:.1:pi;v=-pi:.2:pi/2;U,V=meshgrid(u,v);x=4*sin(U).*cos(V);y=4*s

4、in(U).*sin(V);z=4*cos(U);mesh(x,y,z)grid onhold off运行结果如图2所示：                                图2 从不同角度观察球面与柱面相交而得的维维安尼曲线2、利用Matlab判定空间图形间的位置关系

5、0;   掌握空间图形的位置关系是解析几何学习中的难点之一，学生的空间想象能力不强，准确地把握空间图形之间的位置关系更加困难，在同一直角坐标系下形象地显示出各个空间图形是解决这一问题的关键。借助Matlab可准确地显示三维空间图形的位置关系。例2：  判断平面 2x-y-3z+11,球   (x-3)2+(y+5)2+(z+2)2=602,椭球 (x+30)2/402+(y-20)2/1002+(z-100)2/102=1之间的位置关系。此题通过计算来判断平面、球、椭球三者之间的位置关系较为繁琐，利用Matlab在三维直角坐标系中同时绘出球、椭

6、球与平面，既可直观地显示它们之间的位置关系，也可帮助我们验证计算结果。球、椭球与平面的Matlab程序为：   u=-100:100;x,y=meshgrid(u);z=(2*x-y+11)/3;u=0:pi/20:pi;v=0:pi/20:2*pi;U,V=meshgrid(u,v);x1=60*sin(U).*cos(V)+3;y1=60*sin(U).*sin(V)-5;z1=60*cos(U)-2;x2=40*sin(U).*cos(V)-30;y2=100*sin(U).*sin(V)+20;z2=10*cos(U)+100;mesh(x,y,z);hold on

7、surf(x1,y1,z1);surf(x2,y2,z2);view(-40,16)   运行结果如图3 所示。由图H 可知，平面与球相交、与椭球相离，球与椭球相离。图3 平面、球、椭球的位置关3、利用Matlab研究旋转曲面的性质解析几何学习中，旋转曲面的性质仅仅通过教师的讲解和板书的静态演示很难让学生掌握，利用Matlab演示旋转曲面的形成过程则可突破这一教学难点。   例3 演示将椭圆 y2/a2+z2/b2=1(a>b)&&x=0绕短轴（即z 轴)旋转所得的扁形旋转椭球面的形成过程。因a, b为常数，不妨取a=20,b=2，

8、利用Matlab编制以下程序可实现旋转椭球面形成过程的动态演示： a=20;b=2;t=0:pi/30:2*pi;n=length(t);y=20*cos(t);z=2*sin(t);x=0*ones(1,n);plot3(x,y,z)grid onpause(1)for i=0:pi/60:pi;    x=y.*sin(i);    y1=y.*cos(i);    plot3(x,y1,z)    pause(1)    grid on&#

9、160;   hold on    view(-20,60)end hold off 运行结果如图4 所示。本程序直观形象地演示了椭圆绕 Z 轴旋转而形成椭球面的过程，生动地揭示了旋转椭球面的本质。 4、利用Matlab演示动点轨迹的形成动点的轨迹问题是解析几何教学中的又一个难点，而描绘动点轨迹的形成过程是传统教学无法实现的。使用Matlab制作动画，可以轻易实现空间动点轨迹的形成过程。例4： 一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的转动，

10、这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线。试建立圆锥螺线的方程。此题取圆锥顶点为原点，轴线为Z轴，并设圆锥角为2，旋转角速度为，直线速度为，动点的起始位置在原点，可得圆锥螺线的方程为x=tsin*cost && y=tsin*sint &&z=tcos  && (0t<)不防取=3，=2，=/60，t0,60, 利用Matlab软件编制以下程序，则可演示圆锥螺线的形成过程：t=0:.01:60;a=pi/60;u=2;v=3;x=v*sin(a)*cos(u.*t).*t;y=v*sin(a)*sin(u.*t).*t;z=v*t.*

11、cos(a);comet3(x,y,z)   （二）数值定积分求面积例：用数值积分法求由y=-x2+115,y=0,x=0与x=10围成的图形面积，并讨论步长和积分方法对精度的影响。用矩形法和梯形法分别求数值积分并作比较，步长的变化用循环语句实现。设x向量的长度为n，即将积分区间分为n-1段，各段长度为（i=1,2n-1）。算出各点的（i=1,2n+1），则矩形法数值积分公式为梯形法的公式为比较两个公式，它们之间的差别只是0.5（）。程序及注释clf,for dx=2,1,0.5,0.1 %设不同步长x=0:.1:10;y=-x.*x+115; %取较密的函数样本

12、plot(x,y);hold on %画出被积曲线，并保持x1=0:dx:10;y1=-x1.*x1+115; %求取样点上的y1n=length(x1);s=sum(y1(1:n-1)*dx; %用欧拉法求积分，末尾要去掉一点q=trapz(y1)*dx; %用梯形法求积分stairs(x1,y1);plot(x1,y1) %画出欧拉法及梯形法的积分区域dx,s,qpause(30);hold off %显示步长及两种积分方法所得的面积end结果及分析ans =2 910 810ans =1 865 815ans =0.5000 841.2500 816.2500ans =0.1000 821.6500 816.6500步长dx