多维随机变量及其分布

1、 第三章 多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S=w，若随机变量X1(w),X2(w),Xn(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),Xn(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,Xn）。二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题：1（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2分别研究各个分量X,Y的概率分布边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal 3X与Y的相互关系；4（X,Y）函数的分布。§3.1 二维随机变量的分布一离散型随机变量1联合分布

2、律定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj),i，j=1,2,取这些值的概率为pij=P(X,Y)=(xi,yi)=pX=xi,Y=yii,j=1,2,(3.1)称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下： Y X y1 y2 yjX的边缘分布率X1p11 p12 p1j P1·.X2p21 p22 p2jP2·MMMMMxipi1 pi2 pij Pi·MMMMMY的边缘分布率P

3、3;1 p·2M p·j 1性质： (1) pij ³ 0，i, j=1,2, (2) =1 2边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为pij=PX=xi,Y=yi i, j=1,2, 分量X和Y的分布律分别为pi.=PX=xi i=1,2,满足pi.³0S pi.=1p.j= pY=yij=1,2,p.j³0S p.j=1 我们称pi.和p.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。 二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： pi.=PX=xi=PX=xi,S=PX=xi

4、,(Y=yj)=PX=xi,Y=yj=pij (3.4)同理可得 p.j =pij (3.5)例1:一整数X随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。解： YX123X的边缘分布率11/3001/3p1·21/61/601/3p2·31/91/91/91/3p3·Y的边缘分布率11/185/181/91P·1p·2p·3二联合分布函数与边缘分布函数1定义3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令 F(x,y)=PX£x,Y£y (

5、3.7)则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。2F(x,y)的性质：性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1<x2,对任意的实数y，则有 F(x1,y)£F(x2,y)；若y1<y2,对任意的实数x，则有 F(x,y1)£F(x,y2)。性质2 对于任意的实数x,y,均有 0£F(x,y)£1,F(x,y)=0,F(x,y)=0,F(x,y)=1。性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有F(x,y)=F(x0,y),F(x,y)=F(x,y0)。性质4 若x1<x2, y1&

6、lt;y2, 则 F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)³0 （X,Y）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为： F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=Px1<X£x2,y1<Y£y2例 2 P71,照书上讲。3边缘分布(X,Y)的分量X，Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，称它们为X，Y的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下：FX(x)=PX£x=PX£x,-<Y<+=F(x,+)，FY(y)=PY£y=P-<X<+,Y

7、£y=F(+,y)。例2：(第一版)设,求：(1) (X,Y)的边缘分布函数；(2)P(1x2,-1y3)。(3)P(X>2,Y>3)=1- P(X2,Y3)?三连续性随机变量 1联合概率密度 定义3.3 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y均有 F(x,y)=（3.12)则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。2f(x,y)有如下性质：性质1 f(x,y)³0 性质2 =1 性质3 若f(x,y)的连续点(x,y)处，有性质4 若随机点(X,Y)落于平

8、面上相当任意的区域D内记为(X,Y)D,则 P(X,Y)D=（3.16）注：在f(x,y)非0域与D公共部分积分有非0值。P71例2 例3：（第一版书上例3.3）设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=求(1)(X,Y) 的联合分布函数F(x,y); (2) PX>1(3)P(X,Y) D，其中D=(x,y):x+y£1; (4)PX2³Y解：注意的非零域为H（1），当时， 其他（2）PX>1=1- PX1=1-Fx(1)=1- F(1,+) = (3) P(X,Y)D= = (4) PX2³Y= = = =注是的概率密度，即=可知 PX2

9、9;Y=1-. 3边缘概率密度设二维连续型随机变量(X,Y) 联合分布函数、联合概率密度分别为F(x,y),f(x,y),分量X,Y的边缘分布函数分别为FX(x)、FY(y)。利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及(3.16)式，可得 FX(x)=F(x,+¥)= (3.17) FY(y)=F(+¥,y)= (3.18)记：fX(x)=为X的边缘概率密度函数；fY(y)= 为Y的边缘概率密度函数。例2： P74例3： P75 即下面的例5（第一版）,若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)=其中均为常数，且则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布,通常记为 (X

10、,Y)服从于N。求：(X,Y)的边缘概率密度 fX(x) ,fY(y)。解：令：且中e的指数部分改写为：是的积分函数，积分=1。即知：X服从于，同理：Y服从于结果表明：（1）二维正态分布，其边缘分布都是一维正态分布和 。而反之不然。（2）二维R.V.边缘分布是由联合分布唯一确定。（见第一版习题3.1）例4： （第一版 书上例3.4）设(X,Y)在圆域D=(x,y): x2+y2£ r2(r > 0)上服从均匀分布，其联合概率密度为 f(x,y)=求(1)P<X2+Y2£ (2)(X,Y)的边缘概率密度函数fX(x) ,fY(y)。§3.3 条件分布由条

11、件概率引出条件概率分布的概念。定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称 例1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。解：定义2 （不严格），设(X,Y)的概率密度为，记为在条件Y=y下X的条件概率密度，则P79 求条件边缘分布和密度公式的推导过程。公式3.4和3.5.例2 P79，例3 P80，§3.4 随机变量的独立性1概念：定义3.5 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),X,Y的边缘分布函数分

12、别为FX(x), FY(y)。若对任意的实数x,y，均有 F(x,y)=FX(x)·FY(y) (3.30)即 PX£x,Y£y=PX£x·PY£y则称X,Y相互独立。例1 电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位千小时）。已知X和Y的联合分布函数为：,(1) 问X与Y是否独立？解：独立。因为：2判断两个随机变量是否独立的定理定理3.1 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x1<x2,y1<y2,均有 Px1<X£x2,y1<Y£y2=

13、Px1<X£X2· P y1<Y£y2。定理3.1二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x,y,均有 PX>x,Y>y=PX>xPY>y 定理3.2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，边缘分布律分别为pij, pi. ,p.j, i,j=1,2,则 X,Y相互独立的充要条件是：对任意的i,j均有 pij=pi.p.j 即 PX=xi,Y=yj=PX=xi·PY=yj定理3.3 设连续型随机变量X,Y的概率密度分别为fX(x) ,fY(y)，则X,Y相互独立的充要条件是： fX

14、(x)fY(y)=f(x,y)其中：f(x,y)是（X,Y）的联合概率密度。例6：（续例3.5第一版）第二版P82，这里的结论很重要。设 (X,Y)服从于N，证明 X,Y相互独立的充要条件是：=0。证明：由第一版例3.5知（X,Y）的联合概率密度、X和Y的边缘概率密度分别为充分性若r=0，此时二元函数 fX(x)fY(y)=f(x,y)是(X,Y)的联合概率密度，所以X,Y相互独立；必要性若X,Y相互独立，则 f(x,y)=fX(x)fY(y)取x=m1、y=m2代入上式，即得于是r=0。例1 P83，挺怪一例子，好象是为了算概率而不是为了说明这段的内容。 3二维随机变量独立性概念的推广定义3

15、.6设(X1、X2、Xn)是n维随机变量，其联合分布函数和一维边缘分布函数分别为F(x1、x2、,xn)、,若对任意的实数x1、x2、xn均有 F(x1、x2、,xn)=·则称X1、X2、Xn相互独立。定义3.7 设X1、X2、Xn、是一列随机变量，若其中任意有限个随机变量是相互独立的，则称这一列随机变量是相互独立的。§3.5 多维随机变量函数的分布这一节是很重要的内容，一般概率统计的考试必有这些内容的考题。特别是本节例1，3，4以及Max(X,Y)，Min(X,Y)的分布等内容，很有代表性。一离散型随机变量（X，Y）的函数的概率分布例1：已知（X，Y）的分布律为：X Y

16、-1 1 2 -1 2 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20求：Z1=X+Y，Z2 =max（X，Y）的分布律。P5/202/206/203/203/201/20(X,Y)取值(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)Z1取值-201134Z2取值-112222二连续型随机变量（X，Y）的函数的概率分布1 已知（X，Y）f(x,y)，求Z=g（X，Y）的概率密度。（1） ZFZ(z)=P(Z£z)=Pg（X，Y）£z=,（2） ZfZ(z)= FZ(z)2已知（X，Y）f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度 定理3.4 若(X

17、,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)=或 fZ(z)=。证明：P85-86.讲P85.。 推论 若X,Y相互独立，它们的概率密度分别为fX(x)和fY(y)，则独立和Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=(3.36)或 fZ(z)=(3.37)例1 P86 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1),即。求Z=X+Y的概率密度。一般，设X，Y相互独立且，则Z=X+Y仍然服从正态分布，且有。此结论可以推广到n个独立正态随机变量之和的情况。即若，且它们相互独立，则它们的和仍然服从正态分布，且有更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。例2 P87例3 P88例3结论的推广，n个相互独立的分布变量之和仍服从分布。例(第一版)：设RV. X与Y相互独立，Xf(x)=, Yf(y)=, 求 Z=X+Y的分布密度函数。例：（书上例3.17）已知X,Y相互独立，均服从N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度。 例（第一版）：（书上例3.18）设X,Y相互独立，它们的概率密度分别为fX()=，fY(y)=,求Z=X+Y的概率密度。 3M=max（X，Y），N=min（X，Y）的概率分布定理3.6 若X,Y相互独立，它们的分布函数分别为FX(x)，FY(y),则(1) M=max(X,Y)的分布函