考研数学-基础笔记-汤家凤概率统计

1、精选优质文档-倾情为你奉上 阿尔法 alfa 贝塔 bita 伽马 gama 德耳塔 dêlta 艾普西龙 êpsilon 截塔 zita 艾塔 yita 西塔 sita 约塔 yota 卡帕 kapa 兰布达 lamda 米尤 miu 纽 niu 克西 ksai 奥密克戎 oumikelong 派 pai 若 rou 西格马 sigma 套 tao 斐 fai 喜 hai 宇普西龙 yupsilon 普西 psai 欧米伽 omiga第一章 概率论的基本概念§1.1随机试验E试验：1. 相同条件下可重复进行2. 结果多样的，实验前所有可能的结果是确定的3. 实验

2、前不确定具体的结果若E满足13，称E为随机试验§1.2样本空间、随机事件一、 样本空间E为随机试验，E的所有可能基本结果组成的集合，称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.例：抛筛子S = 1,2,3,4,5,6A = 2,4,6S、A都为结果，但A不是基本结果二、 随机事件试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。在每次实验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.SS，S称为必然事件.S，称为不可能事件.三、 事件间的关系与事件的运算(一) 关系AB若AB，则称事件A包含于事件B，事件A

3、发生必导致事件B发生.若AB且BA，则称事件A与事件B相等.AB事件 AB=xxA或xB 称为事件A与事件B的和事件. 当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AB发生.类似地，称k=1nAk为可列个事件A1，A2，An的和事件AB事件 AB=xxA且xB 称为事件A与事件B的积事件. 当且仅当A，B同时发生时，事件 AB 发生，也记作AB.类似地，称k=1nAk为可列个事件A1，A2，An的积事件A-B事件A-B=x|xA 且xB 称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生，B不发生时事件A-B发生.AB=称事件A与B是互不相容的，或互斥的BB=SBB=若AB=S且AB=，则称事件A与B互为逆

4、事件. 又称事件A与B互为对立事件.事件A、B中必有一个发生且仅有一个发生A的对立事件记为A. A=S-A.(二) 计算1) 交换律AB=BA ；AB=BA .2) 结合律ABC=(AB)C ;ABC=(AB)C .3) 分配律ABC=(AB)(AC) ;ABC=(AB)(AC) .4) 德摩根律AB= AB ；AB= AB .§1.3频率与概率一、 频率定义在相同的条件下，进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数 nA 称为事件A发送的频数，比值 nAn 称为事件A发生的频率，并记为fn(A).由定义，得下述基本性质1) 0fn(A)1；2) fnS=1；3) 若A1，A2，

5、Ak 是两个互不相容的事件，则fnA1A2Ak=fnA1+fnA2+fnAk二、 概率量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等P possibility 可能性定义设E是随机事件，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件：1) 非负性：AS，P(A)0；2) 规范性：对于必然事件S，有PS=1;3) 可列可加性：设A1,A2, 是两两互斥的事件，即对于AiAj=，ij，i,j=1,2,，有PA1A2=PA1+PA2+三、 概率基本性质1. P=0证

6、：取An= (n=1,2,)A1,A2, 两两互斥由PA1A2=PA1+PA2+即P=P+P+P=02. （有限可加性）设A1,A2,An 是两两互斥，则PA1An=PA1+PAn证：令An+1=An+2=A1,An, 两两互斥由PA1An=PA1+PAn+得PA1An=PA1+PAn3. （逆事件的概率）PA=1-P(A)证：A,A 互斥 => PA+A=PA+PAA+A=SPA+PA=1 => PA=1-P(A)4. （减法公式）PA-B=PA-P(AB)证：A=A-B+AB 且 A-B 与 AB 互斥PA=PA-B+AB=PA-B+P(AB)PA-B=PA-P(AB)5. （

7、加法公式）PAB=PA+PB-P(AB)证：A+B=A-B+AB+(B-A)且 A-B、AB、B-A两两互斥PA+B=PA-B+PAB+P(B-A)PA-B=PA-PAB PB-A=PB-PABPA+B=PA+PB-P(AB)附：PA+B+C=PA+PB+PC-PAB-PBC-PAC+P(ABC)§1.4等可能概型（古典概型）随机实验E1，E5，满足：1) 实验的样本空间只包含有限个元素；2) 实验中每个基本事件发生的可能性相同则这种实验称为等可能概型（古典概型）若事件A包含k个基本事件，则有PA=A包含的基本事件数S中基本事件的总数=kn例2一个口袋有6只球，其中4只白球，2只红球

8、。从袋中取球两次，每次随机地取一只，考虑两种取球方式：a) 第一次取一只球，再放回（放回抽样）b) 第一次取一只球，不返回（不放回抽样）求：1) 两只都是白球的概率2) 两只同色的概率3) 至少有一只是白球的概率解：设A表示事件“取到的两只都是白球”，B表示事件“取到的两只都是红球”，C表示事件“取到的两只球中至少有一只是白球”（a）放回抽样的情况PA=4×46×6=49PB=2×26×6=19PAB=PA+PB-PAB=49+19-0=59PC=PB=1-PB=1-19=89（b）放回抽样的情况PA=4×36×5=615PB=2&#

9、215;16×5=115PAB=PA+PB-PAB=615+115-0=715PC=PB=1-PB=1-115=1415§1.5条件概率一、 条件概率定义 设A，B是两个事件，且PB A)>0，称PB A)=P(AB)P(A)为事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率。例：64个白球2个红球 不放回A：第一次取白球B：第二次取红球PA=46，PAB=46×25P B A )=25Notes：条件概率P · A)符合概率定义中的三个条件（非负性、规范性、可列可加性）1) P(A-B | C)=P(A C-PAB C)2) P(A+B | C)=P(A

10、 C+PB C)-PAB C)3) P(A | C)=1-P(A C二、 乘法定理1. 设 PA>0，则有PAB=PB A)P(A)2. 设PA1>0，PA1A2>0，PA1An-1>0，则PA1A2An=PA1PA1A1PA3A1A1PAn|A1A2An-1三、 全概率公式和Bayes公式(一) 完备事件组S为样本空间，A1,A1,An 为时间，若1) A1,A1,An 互斥2) A1,A1,An=S(二) 全概率公式 *设 A1,A1,An 为完备组，为样本空间BS，B=B=A1+A1+AnB=A1B+A1B+AnB A1BA1, , AnBAn又 A1,A1,An

11、 互斥 A1B,A1B,AnB 互斥 PB=P(A1B)+P(A1B)+P(AnB) =P(A1)P(B | A1)+P(A1)P(B | A1)+P(An)P(B | An)即PB=i=1nP(Ai)P(B | Ai)例1：口袋有12球，有8个红，4个白的，每次取一球，不放回，不看颜色（看颜色结果已发生，再问第二次的结果就是条件概率）.1) 求第二次取红球的概率；2) 设第二次取红球，求第一次取白球的概率；解：第一阶段：（建立完备事件组）A1=第一次取红，A2=第一次取白PA1=812PA2=412第二阶段（某一个结果）：B=第二次取红PB A1)=711PB A2)=811第三阶段（解出结

12、果）：题，解：PB=PA1PB | A1+PA2PB | A2=812×711+412×811=812题，解：P(A2 | B)=PA2BPB=P(A2)P(B | A2)PB=412×=411例2：甲、乙、丙厂提供产品，比例60%，30%，10%，次品率是5%，7%，12% .1) 求次品率；2) 取次品，是甲厂的可能性解：第一阶段：（建立完备事件组）A1=甲厂产品，A2=乙厂产品，A3=丙厂产品PA1=0.6， PA2=0.3，PA3=0.1第二阶段（某一个结果）：B=次品PB A1)=0.05，PB A2)=0.07，PB A2)=0.12第三步（解出结果）

13、：题，解：PB=PA1PB | A1+PA2PB | A2+PA3PB | A3=0.6×0.05+0.3×0.07+0.1×0.12=0.063=6.3%题，解：P(A1 | B)=PA1BPB=P(A1)P(B | A1)PB=0.6×0.050.063(三) 贝叶斯（Bayes）公式P(Ak | B)=PAkBPB=P(Ak)P(B | Ak)i=1nP(Ai)P(B | Ai)Notes：如果问第二阶段某一个结果，则用全概率公式如果问第一阶段哪一步发生，则用Bayes公式§1.6独立性定义1 设A，B是两个事件，如果满足等式PAB=P(

14、A)P(B)则称事件A，B相互独立，简称A，B独立. A,BA,BA,BA,B，一对独立则其余独立 PA=0或 PA=1 => A,B独立定义2 设A，B，C是三个事件，如果满足等式（必须是4个）：PAB=P(A)P(B)PBC=PBP(C)PAC=PAP(C)PABC=PAPBP(C)则称事件A，B，C相互独立.不全满足反例：均匀的正四面体，四个面分别标1，2，3，1.2.3A=朝下为1，B=朝下为2，C=朝下为3PA=PB=PC=12PAB=PAC=PBC=14PABC=14PAB=P(A)P(B)PBC=PBP(C)PAC=PAP(C)PABCPAPBP(C)三个事件两两独立，但这

15、三个事件不一定是独立的独立的等价条件：Th1. 设PA>0，则A，B独立 <=> PB A)=P(B)Th2. 设0<PA<1，则A，B独立 <=> PB A)=A(B | A)第二章 随机变量及其分布§2.1随机变量定义 设随机试验的样本空间为S=e. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称X=X(e)为随机变量.（r.v. - random variable）例1：抛硬币，S=正面，反面x=1=正面x=0=反面例2：抛筛子，S=1,2,3,4,5,6x=i=朝上为 i (1i6)A=x3=1,2,3随机变量的取值范围即随机事

16、件§2.2离散型随机变量及其分布律阶乘：n!=1×2×3×(n-1)×n0!=1排列：Anm=nn-1n-2n-m+1=n!n-m!组合：Cnm=Anmm!=n!m!n-m!一、 离散型随机变量的定义1. 设X为r.v.（random variable），若X的可能取值为有限个或无限可列个，则称X为离散型 r.v.2. 分布律Xx1x2xnpp1p2pn注： pi0 (1in) p1+p2+pn=1例1：口袋有6球，4只新球，2只旧球，一次性任取2球，用x表示旧球数，求x的分布律。解：x的可能取值为0，1，2Px=0=C42×C20C

17、62=1×2×3×42(1×2)×11×2×3×4×5×62(1×2×3×4)=615Px=2=C40×C22C62=1×1×225×62=230=115Px=1=1-615-115=815 整理可得分布律：X012P1215815115二、 常见的离散型 r.v. 及分布律(一) （0-1）分布X01Pp1-p(二) 伯努利试验、二项分布设试验E只有两个可能结果：A,A，则称E为伯努利（Bernoulli）试验.设PA=p(

18、0p1)，此时PA=1-p，将E独立重复（放回）地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.PA=p(0p1)Xkn次中A出现 k 次 (k=0,1,2,n)（ 表示一个定义式，也可以表示成 ）PXk=Cnkpk(1-p)n-kXk=x=kX为离散型r.v.，若X的分布律为PX=k=Cnk·pk·(1-p)n-k,k=0,1,2,n称X服从二项分布，记XB(n,p)（当n=1时，就是(0-1)分布）例：从学校到火车站有3个 信号灯（只有红和绿），每个路口红灯的概率是25，且信号灯相互独立，用 X 表示遇到红灯的次数.，求X分布律解：XB(3,25)PX=k=C3k

19、25k(35)3-k,k=0,1,2,3(三) 泊松（Poisson）分布X-离散型r.v.，若X的分布律为PX=k=ke-k!，k=0,1,2,称X服从参数为的Poisson分布，记X()(四) 几何分布X-离散型r.v.，若X的分布律为PX=k=(1-p)k-1·p, k=1,2,3,称X服从几何分布，记XG(p)§2.3随机变量的分布函数一、 def设X为r.v. xRPxxF(x)称F(x)为r.v. x的分布函数二、 F(x)的性质1. 0F(x)1；2. Fx 单调不减；3. Fx 右连续；4. F-=0，F=1若F(x)满足以上14条件，则x也是分布函数注：1

20、. PX<a=Fa-0；2. PX=a=PXa-PX<a=Fa-Fa-0；3. Pa<Xb=PXb-PXa=Fb-F(a)；4. Pa<X<b=PX<b-PXa=Fb-0-F(a)例1：X 为离散型 r.v.，分布律为：X-123P141214求 F(x)； PX12, P32<X52, P2X3解： Fx=PXx当x<-1时，Fx=0；当-1x<2时，Fx=14；当2x<3时，Fx=34；（X可取-1，2）当x3时，Fx=1； Fx=0，x<-1 14，-1x<234，2x<3 1，x3 PX12=F12=14P3

21、2<X52=PX52-PX32=F52-F32=34-14=12P2X3=Px3-Px<2=F3-F2-0=1-14=34（F2-0表示取不到2，应该用-1x<2的取值范围）（离散型r.v.的图像是阶梯的，有间断连）§2.4连续型随机变量及其概率密度+一、 def设 X为r.v.，其分布函数为FX=PXx若f(x)0且可积，使Fx=-xf(t)dt则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度.注： f(x)0； -fxdx=1； Fx=-xf(t)dt，则Fx连续，不一定可导； fx=F'x, Fx在x处可导0, Fx在x处不可导例：（

22、一个r.v.只要提到“密度”，这个r.v.一定是连续型的）xfx=kx, 0x<32-x2,3x40, 其他求： k=? F(x) P1<x72解：1=-fxdx=03kxdx+342-x2dx =kx22|03-(2x-x24)|34=9k2+2-74=9k2+14解得k=16Fx=PXx=-xf(t)dtx<0时Fx=0 0x<3时Fx=0x16tdt=x2123x<4时Fx=0316tdt+3x2-t2dt=x212|03+(2x-x24)|3x=34+2x-x24-6-94=2x-x24-3 x4时Fx=1 Fx=0 , x<0 x212 , 0x&

23、lt;32x-x24-3 , 3x<41 , x4 P1<x72=Px72-P1x=F72-F1=7-4916-3-112=4148二、 常见的连续型r.v. +(一) 均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度fx=1b-a , a<x<b0 , 其他 则称X在区间a,b上服从均匀分布. 记为 XU(a,b)Fx=PXx=-xftdtX的分布函数：当x<a时，Fx=0当ax<b时，Fx=ax1b-adt=x-ab-a当xb时，Fx=1 Fx=0 ,x<a x-ab-a,ax<b1 ,xb (二) 指数分布若X的密度为fx=e-x ,x>0 0

24、 ,x0 (>0)称X服从参数为的指数分布. 记为 XE()Fx=-ftdtX的分布函数：当x<a时，Fx=0当x0时，Fx=0xe-tdt=-e-t|0x=1-e-x Fx=1-e-x ,x0 0 ,x<0 如：XE()，即fx=e-x ,x>0 0 ,x0Fx=1-e-x ,x0 0 ,x<0a>0，b>0PX>a+b | X>a=px>b左=PX>a, X>a+bPX>a=PX>a+bPX>a =1-PXa+b1-PXa=1-F(a+b)1-F(a)=1-(1-e-(a+b)1-(1-e-a)=e-

25、b右=1-PXb=1-Fb=1-1-e-b=e-b(三) 正态分布 +-C歌马，-谬，-小fail，-大fail若连续型随机变量X的概率密度为fx=12 e-(x-)222，-<x<其中,>0为常数，称X服从参数为,的正态分布或高斯分布，记为XN(,2)若XN(,2)，即fx=12 e-(x-)222若=0,=1，即X的密度为x=12e- x22称X服从标准正态分布，记为XN(0,1)若XN(0,1)，即x=12e- x22其分布函数：x=-tdt=12 -xe- t22dt注： XN(,2)，则PX=PX>=12（连续型随机变量取或不取等号一样） XN0,1，0=12

26、 XN0,1，a+-a=1 => -a=1-a XN,2，则 x-N(0,1) XN,2，则 Fx=x-Fx=-xftdt=-x12 e- x-222dt =12 -xe- 12t-2d(t-)t-=-x-e- 22d=x-即XN(,2)，则Fx=x-例1：XN(,2)，方程 y2-4y+X=0 有实根的概率为12，= ?解：=16-4X0 <=> X4PX4=12XN(,2)=4例2：XN(,2)，求阴影部分面积（求概率）解：P-3a<x-<3a=P-3<x-a<3=Px-a3-Px-a-3=3-3=3- 1-3 =23-1=99.74%例3：将一温

27、度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d，液体的温度X（以计）是一个随机变量，且XN(d,0.52).问： 若d=90，求X小于89的概率. 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？解：XN(90,0.52)X-900.5N(0,1)PX<89=PX89=PX-90-1 =PX-900.5-2=-2 =1-2=1-0.9772=0.0228（连续型r.v.加和不加等号一样）XN(d,0.52)X-d0.5N(0,1)PX80=PX>80=1-Px80 =1-PX-d0.580-d0.5=1-d-800.5 =d-800.50.99=(2.3

28、27) d-800.52.327 d>81.1635§2.5随机变量的函数的分布X分布已知，Y=(X)，求Y的分布（随机变量的函数的分布）注：Case1. X为离散型，Y一定为离散型例1：设r.v. X具有以下的分布律，求Y=X2+2的分布律.X-1012p0.250.250.250.25解：第一步：Y 可能取值为2，3，6第二步：PY=2=PX=0=14PY=3=PX=-1+PX=1=12PY=6=PX=2=14Y236p0.250.50.25Case2. X为连续型，Y=(X)一定为连续型例2：设随机变量 X 具有概率密度fXx=x8 , 0<x<40 , 其他

29、 求随机变量 Y=2X+8 的概率密度.解：FYy=PYy=P2X+8yy<8 时，FYy=0；y16 时，FYy=1；8y<16 时，FYy=PXy-82=-y-82f(t)dt=0y-82t8dt=t216|0y-82=(y-8)264 FYy=0 ，y<8 (y-8)264,8y<161 ,y16 fYy=y-832 ,8<y<160 ,其他 例3：XU(-2,2)（均匀分布），Y=X2+1，求 fYy.解：第一步XU(-2,2)，则fXx=14，-2<x<20，其他 第二步Fyy=PYy=PX2+1yy<1 时，Fyy=0；y5 时

30、，Fyy=1；1y<5 时，Fyy=P-y-1Xy-1=-y-1y-1f(x)dx=-y-1y-114dx=12y-1 Fyy=0 ，y<112y-1，1y<51 ，y5 fYy=14y-1，1<y<50 ，其他 例4：XN0,1，Y=X2，求 fY(y)解：第一步XN0,1，则fXx=12e- x22第二步Fyy=PYy=PX2yy<1 时，Fyy=0；y0 时，Fyy=PX2y=P-yXy=-yyfxdx =-yy12e- x22dx=220ye- x22dx Fyy= 0 ，y<0220ye- x22dx，y0第三步 fYy= 0 ，y012y-

31、12e- y2，y>0 定理 随机变量Xfxx (-<x<+)，(x)可导且'x>0（或'x<0），则Y=(x) 为连续型随机变量，其概率密度函数为fyy=fxhyh'y，<y< 0 ，其他其中h(x) 是 g(x) 的反函数=ming-,g()（两个中较小的一个）=maxg-,g() （两个中较大的一个）例5：Xfxx=x8，0<x<40，其他，Y=2X+8，求 fYy解：x=2x+8，'x=2>0hy=12(y-8)=min8,16=8，=max8,16=16fYy=fxhyh'y，<

32、y< 0 ，其他=y-816×12，8<y<16 0 ，其他 =y-832，8<y<16 0 ，其他例6：XN(,2)，Y=aX+b (a0)证：Y服从正态分布解：XN(,2)fXx=12 e-(x-)222x=ax+b，'x=a>0hy=Y-ba，h'y=1a=min(-),()=-，=max(-),()=fYy=fxhyh'y，-<y<=12 e-y-ba-222×1a=12 ae-y-(a+b)22(a)2 YN(a+b,a22) XN(,2)，Y=aX+b (a0)则 YN(a+b,a22)取a

33、=1a，b=-a即Y=X-N(0,1)第三章 多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量一、 二维随机变量定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是 S=e，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量 (X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量.定义 设 X,Y 是2-dim（dimensions 维度）r.v. ，对于任意实数x,y，二元函数：Fx,y=P(Xx)(Yy)PXx,Yy称为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数.（F(X,Y)）注：设F(x,y)为联合分布函数，则 0Fx,y1； F(x,y) 关于

34、x,y 不减； F(x,y) 关于 x,y 右连续； F-,-=F-,+=F+,-=0，F+,+=1二、 二维离散型随机变量及分布（有限个或无限可列个）联合分布律：YXy1y2ynx1p11p12p1nx2p21p22p2nxmpm1pm2pmnNotes：pij0，i=1mj=1npij=1例1设随机变量X在1,2,3,4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值. 试求 (X,Y) 的分布律.解：PX=1,Y=1=14×1=14PX=1,Y=2=PX=1,Y=3=PX=1,Y=4=0PX=2,Y=1=PX=2,Y=2=14×12=18PX=

35、2,Y=3=PX=2,Y=4=0PX=3,Y=1=PX=3,Y=2=PX=3,Y=3=14×13=112PX=3,Y=4=0PX=4,Y=1=PX=4,Y=2=PX=4,Y=3=PX=4,Y=4 =14×14=116(X,Y) 的分布律为YX12341140002181800311211211204116116116116三、 二维连续型随机变量（实现值在不可数集合里）设 (X,Y) 为 2-dim r.vFx,y=PXx, Yy若 fx,y0，使对任意 x,y 有Fx,y=-y-xf(u,v)dudv则称 F(X,Y) 是二维连续型随机变量fx,y 称为 (X,Y) 的联

36、合概率密度，简称为联合密度注： fx,y0 -dx-fx,y dy=1 设 (X,Y) 为 2-dim 连续型 r.v. ，则 Fx,y=-y-xf(u,v)dudv Fx,y 连续，不一定可偏导 fx,y=2Fxy，Fx,y二阶可偏导0，其他例1设二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度fx,y=2e-(2x+y)， x>0, y>00 ， 其他 （1）求分布函数 F(x,y) （2）求概率 PYX解：（1）Fx,y=-x-yf(x,y)dydx当 x<0 或 y<0 时，Fx,y=0当 x0 或 y0 时，Fx,y=0xdx0y2e-2x+ydy=0x2e-2xdx0

37、ye-ydy =0x-e-2x-2x'dx×-e-y|0y=0x-e-2xd-2x×-e-y|0y =-e-2x|0x×-e-y|0y =(1-e-2x)(1-e-y)即Fx,y=(1-e-2x)(1-e-y)， x>0, y>0 0 ， 其他 （2）PYX=yx fx,yd=0+dx0x2e-2x+ydy =0+2e-2xdx0xe-ydy=20+e-2x1-e-xdx =20+e-2x-e-3xdx =2-12e-2x|0+13e-3x|0+ =2-120-1+130-1 =212-13=13四、 n维随机变量§3.2边缘分布一、

38、 边缘分布律二维离散型随机变量 (X,Y) 作为一个整体，具有分布函数 F(x,y) 及联合分布律：YXy1y2ynx1p11p12p1nx2p21p22p2nxmpm1pm2pmn而 X, Y 都是随机变量，各自也有边缘分布律：Xx1x2xmPYy1y2ynPA1=Y=y1, A2=Y=y2, , An=Y=ynA1, A2, , An 为完备事件组（§1.5.3.1）B=X=x1PX=x1=PB=PB=PA1+A2+AnB =PA1B+A2B+AnB =PA1B+PA2B+PAnB（有限可加性） =PX=x1,Y=y1+PX=x1,Y=y2+PX=x1,Y=yn =p11+p12

39、+p1n则：PX=x1=p11+p12+p1np1 .PX=x1=p21+p22+p2np2 .PX=xm=pm1+pm2+pmnpm .同理可得：PY=y1=p11+p21+pm1p.1PY=ym=p1n+p2n+pmnp.nYXy1y2ynpi.x1p11p12p1np1 .x2p21p22p2np2 .xmpm1pm2pmnpm .p. jp.1p.2p.n1二、 边缘密度函数、边缘分布函数二维连续型随机变量(X,Y)，作为一个整体，具有联合密度函数f(u,v)及联合分布函数F(x,y)Fx,y=-ydu-xf(u,v)dvX, Y 的边缘密度函数为fXx=-f(x,y)dyfYy=-f

40、(x,y)dxX, Y 各自也有分布函数，记为 FXx, FY(y)，依次称为二维随机变量 (X,Y) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数FXx=-xfX(t)dtFYy=-yfY(t)dt例1(X,Y) 为2-dim连续型r.v.，联合密度函数fx,y=ae-3x+y ，x>0，y>0 0 ，其他 求：（1）a= ?（2）fXx , fYy解：（1）1=-dx-fx,ydy=a0e-3x dx0e-ydy =-a3e-3x |0×-e-y|0=-a30-1×-0-1=a3则 a=3即：fx,y=3e-3x+y ，x>0，y>0 0 ，其他 （2）

41、fXx=-f(x,y)dyx0时，fXx=0x>0时，fXx=03e-3x+y dy=3e-3x 0e-y dy=3e-3x ×-e-y|0=3e-3x fXx= 0 ，x03e-3x ，x>0fYy=-fx,ydx当y0时，当y>0时fYy=03e-3x+y dx=e-y 03e-3x dx=e-y fYy= 0 ，y0e-y ，y>0e-=0, e=例2(X,Y) 为2-dim连续型r.v.，联合密度函数fx,y=1，(x,y)D0，(x,y)D ，求：fXx , fYy解：fXx=-f(x,y)dy当x0或x1时，fXx=0当0<x<1时，f

42、Xx=02x1dy=2x fXx=2x ，0<x<1 0 ，其他 fYy=-fx,ydx当y2或y0时，fYy=0当0<y<2时，fYy=y211dx=1-y2 fYy=1-y2 ，0<y<2 0 ，其他 三、 常见的两个2-dim连续型r.v.(一) 均匀分布X,Yfx,y=1A，(x,y)D0 ，(x,y)D其中D为xOy面上的有限区域，A为D的面积称(X,Y)服从D上的均匀分布，记X,YU(D)(二) 二维正态分布X,Yfx,y=12121-2e-121-2 x-1212 - 2x-1y-212 + y-2222称(X,Y)服从参数为1, 2, 1,

43、2, 的二维正态分布记X,YN(1,2;12,22;)注：若X,YN(1,2;12,22;)，则XN1,12，YN(2,22)，反之不对§3.3条件分布 设 PA>0，则 PBA=P(AB)P(A)一、 条件分布律(X,Y) 为二维离散型随机变量PX=xi,Y=yj=pij(i=1, 2,m; j=1, 2,n)PY=yj | X=xi=PX=xi,Y=yjPX=xi=pijpi.为在确定 X=xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律PX=xi | Y=yj=PX=xi,Y=yjP Y=yj=pijp.j为在确定 Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律二、 条件概率密度(X,

44、Y) 为二维连续型随机变量设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)1. 当 X=x 时，fXx>0，则 Y 的条件密度为fY | X(y | x)=f(x,y)fXx2. 当 Y=y 时，fYy>0，则 X 的条件密度为fX | Y(x | y)=f(x,y)fYy注：(X,Y) 为二维连续型随机变量时求 X,Y 分布、数字特征时，需要联合密度函数 f(x,y) 题中给出f(x,y) 已知 fXx、fY | X(y | x)，则 fx,y=fXx×fY | X(y | x)例1XU(0,1) （均分分布）当 X=x 时（ 0<x<1 ），YU(0,x)(1)

45、求 f(x,y)(2) 求 fY(y) （边缘密度函数）解：(1)XU0,1=> fXx=1，0<x<10，其他 fY | X(y | x)=1x，0<y<x0，其他 fx,y=fY | X(y | x)×fXx=1x，0<x<1, 0<y<x0，其他 (2)fYy=-fx,ydx当 y0 或 y1 时，fYy=0当 0<y<1 时，fYy=y11xdx=lnx|y1=-lny fYy=-lny，0<y<10 ，其他 例2(X,Y)U(D)，D: x2+y21(1) 求 fXx；(2) 求 fY | X(y

46、 | x)解：(1)f(x,y)=1，(x,y)D0 ，其他 圆：S=r2，D 的面积为 fXx=-f(x,y)dy当 x>1 或 x<-1 时，fXx=0当 -1<x<1 时，fXx=-1-x21-x21dy=1 |-1-x21-x2=21-x2 fXx=21-x2，-1<x<10 ，其他 (2)fY | X(y | x)=fx,yfXx=121-x2，-1<x<1，-1-x2<y<1-x20 ，其他 §3.4相互独立的随机变量+若PAB=P(A)P(B)，称A,B独立 A,BA,BA,BA,B，一对独立则其余独立 若PA

47、=0或PA=1,则A,B独立Xx=A , Yy=BXx,Y<y=ABPXx=FXx, PYy=FYy（F-分布函数，f-密度函数）PXx,Yy=PXxPYy=F(x,y)=FXxFYy一、 X,Y独立的定义若Fx,y=FXxFYy，称X和Y是相互独立.二、 X,Y独立的等价条件(一) (X,Y)为2-dim离散型r.v.X,Y 独立 <=> pij=pi×pj (1im,1jn)（P-事件，p-概率）(二) (X,Y)为2-dim连续型r.v.X,Y 独立 <=> fx,y=fXxfYy注：二维随机变量 (X,Y)，若一个为连续型，另一个为离散型，则无法

48、判断独立性例1X,Yfx,y=2e-(2x+y)，x>0,y>00 ，其他 判断X,Y的独立性解：fXx=-fx,ydy当x0时，fXx=0当x>0时，fXx=02e-(2x+y)dy=2e-2x0e-ydy=2e-2x×-e-y|0=2e-2x fXx=2e-2x，x>0 0 ，x0fYy=-fx,ydx当y0时，fYy=0当y>0时，fYy=02e-(2x+y)dx=2e-y0e-2xdx=e-y×-e-2x|0=e-y fYy=e-y，y>0 0 ，y0 fx,y=fXxfYy X,Y 相互独立例2X,Yfx,y=2xe-y，0<x&l