一类平面非线性椭圆型方程反问题的唯一性

1、一类平面非线性椭圆型方程反问题的唯一性童重亮(复旦大学数学研究所,上海200433)摘要:利用线性化方法及线性化方程的相应结果,证明了对一类平面非线性椭圆型方程,由Dirichlet2Neumann映射可以唯一地确定其非线性项.关键词:非线性椭圆型方程;反问题;Dirichlet2Neumann映射中图分类号:O241文献标识码:AIsakov和Sylvester在文献1,2中研究了形如-u+a(x,u)=0xa(x,u).有关的主要条件为:|u|M(1)的非线性椭圆型方程的反问题,主要结果是由其对应的Dirichlet2Neumann映射a可以确定非线性项(x,u)9usupLpM,a(x,

2、0)=0,且(x,u)q3(x),9u其中-+q3的最小Dirichlet特征值大于0.如记u(x,f)是方程(1)的满足u|9=f的解,记)|R,u3(x)=infu(x,3)|R,u(x)=supu(x,E=(x,u)|u3(x)uu3(x),x.确切的说,文献1证明了非线性项a在E上的限制a|1条件与结论,设是具有光滑边界的平面单连通区域,四元函数a(x,y,h,k)定义于(x,y,h,k)|(x,y)(h,k)R2且a(x,y,h,k)满足下述条件:(i)aC(×R2),其中(0,1);(ii)对任何(x,y),a(x,y,h,k)关于h,k二阶连续可微,且a(x,y,0,0

3、)=0;收稿日期:2004204228),男,硕士研究生.作者简介:童重亮(1978本文由博士生导师陈纪修教授和谭永基教授推荐.第2期童重亮:一类平面非线性椭圆型方程反问题的唯一性281(iii)考察方程suph,k9h+9k2+i=09hi9k2-2iL().-u+a(x,y,ux,uy)=0(x,y),1如果对fH1/2(9)C(9),方程(2)有唯一解u(,f)H(),其中u满足(2)u|,f)9(=f,(3)此时,可定义Dirichlet2Neumann映射a:af=其中n是9的外法线方向.(×R2),且满足性质(ii),(iii),由简单由条件(i),可以证明方程(2)的解

4、是存在的,这是因为aC9n,9(4)的估计可知,存在常数c,使得|a(x,y,h,k)|c(|h|+|k|),(h,k)R2成立.由文献3中定理12.5,对fC(9),边值问题(2),(3)总有解对一切(x,y)uC3/22,()C().,作映射Fx,y以下,记当fC(9)时,边值问题(2),(3)的解为u=u(x,y,f).对(x,y)H(9)R2,f-(ux(x,y,f),uy(x,y,f),并记E=(x,y,h,k)|(h,k)Ran(Fx,y),(x,y).在本文中,我们将证明下面结论.定理1在条件(i),(ii),(iii)下,对方程(2)中的非线性项a,a|E可由a唯一确定.2线性

5、化方程的Dirichlet2Neumann映射下面总假设四元函数a满足第1节中的条件.对任何f0,fH2(),由嵌入定理,H2()<C(),故f0|9,f|9C(9).设u是非线性方程-u+a(x,y,ux,uy)=0(5)满足边界条件u9(x,y)=(f0+f)9(x,y)(6)的解.于是-(u-u0)+a(x,y,ux,uy)-a(x,y,u0x,u0y)=0.由a(x,y,h,k)关于(h,k)的可微性,即得-(u-u0)+p(x,y)(u-u0)x+q(x,y)(u-u0)y=0,(7)其中p(x,y)=q(x,y)(x,y,u=9k0101(x,y,u0x+t(u-u0)x,u

6、0y+t(u-u0)y)dt,9h0x(8)(9)+t(u-u0)x,u0y+t(u-u0)y)dt,且(u-u0)9(x,y)=f9(x,y).根据非线性项a的性质,由二阶线性椭圆型方程的极值原理及类似以上使用的线性化方法,易知方程(5)的满足(6)的解u0和u均是唯一的,且属于H().282复旦学报(自然科学版)第44卷引理1设fH2(),则当0时,002limu-u0H()=0,(10)(11)22=0,=limqlimp-q0-p0LL0其中p0(x,y)=q0(x,y)=(x,y,u0x,u0y),9h(x,y,u0x,u0y).9k(12)(13)证由于条件(iii),(psup+

7、q.LL)<+由文献3定理8.12可得22ufH2()+u-u0H()C-u0L.由文献3定理3.1,即最大值原理可得(usup-u0)(x,y)(usup-u0)(x,y)9f(x,y).=sup9利用区域的有界性,即得0时,u-u0L20.又显然0时,fH2()0,所以2u-u0H()0.2现在估计p-p0-u0)x,u0y+t(u-u0)y),于是L.记t=(x,y,u0x+t(up=-p0L221(t)-0t)dt9h9h(t)-0t)9h9h2L2dm(t)dt,1其中m为平面Lebesgue测度,(t)=由中值定理,存在=(x,y)0,t,使得22()(ux-u0x)+)(u

8、y-u0y).t)-0t)=t9h9k9h9h9h2记L2.2()中元素suph,k+的模为M,则9h9ki=09hi9k2-i1/2M(ux-u0xL2+uy-u0yL2).(t)2再由0时u-u0H2()0,即得p-p0L2(t)dt11/20.同理可得2q-q0L0.引理2设是R2中的有界区域,g,gL2(),f,fL022limf-fL2=limgf-gf-gL=0.L=0,则limg(),supfL<+,且002证记A=gLp+1,B=supfL+fL.因为gL(),故对任意的>0,存在>0,当m(E)<时,E|g|dm<222B.显然mt|g(t)|&

9、gt;222<,因为f在L中收敛于f,2故存在>0,当0<|<时,f-f2dm<2A2.第2期童重亮:一类平面非线性椭圆型方程反问题的唯一性283因此,0<|<时,gf-gfL=22(g>)g2f-f22dm+222(g)g22f-f22dm222B2gdm+f-fdm<B2+=.2(g>)2(g)2B222A2所以,lim0gf-gfL2=0.于是,当0时,gf-gfL2fLg-gL2+g(f-f)L20.沿用引理1的记号,记v=(u-u0).则v满足下述边值问题:-v+pvx+qvy=0(x,y),v9=f9.又设v0满足边值问题

10、-v0+p0v0x+q0v0y=0(x,y),v09=f9.引理3在引理1的条件下lim0v-v0H2()=0.证由v,v0满足的方程及边界条件可得-(v-v0)+pvx-p0v0x+qvy-q0v0y=0,且(v-v0)9=0.因此-(v-v0)+p(v-v0)x+q(v-v0)y=(p0-p)v0x+(q0-q)v0y.由极大值原理可知,对fL2,方程-v+pvx+qvy=f的满足确定的边界条件的解是唯一的.又由于条件(iii),sup(pL+qL)<+,因此,由文献4第三章定理6.3可知,存在常数C使得v-v0H2()C(p0-p)v0x+(q0-q)v0yL2.由引理1和引理2即

11、得0时,v-v0H2()0.引理4f0,fH3/2(9),则按H1/2(9)的范数有lim0a(f0+f)-a(f,)=p0q0(f),其中p0q0是边值问题(15)中微分方程对应的Dirichlet2Neumann映射.证沿用引理1和引理3的记号,a(f0+f)-a(f0)-(-u0)-0p0q0(f)H1/2=(9)9n9nH1/2(9)(-v0)9x1/2+(-v0)(-v0)H(9)9yH1/2(9)9x1+H()(-v0)9yH12Kv-v0H2()0.(14)(15)(16)284复旦学报(自然科学版)第44卷3线性化方程系数的确定设,均为具有光滑边界的平面单连通区域,=,函数p1

12、,p2,q1,q2均定义于,在区域和上与方程-u+piux+qiuy=0相应的Dirichlet2Neumann映射分别记作piqi与piqi.引理5设在H3/2(9)上p1q1=p2q2,且p1(x,y)=p2(x,y),q1(x,y)=q2(x,y)(x,y),)上则在H1/2(9p2q2.p1q1=1/2(9),使得证若不然,即p1q1p2q2,则存在fHp1q1fp2q2f,即由方程-u+piux+qiuy=0(x,y),i=1,2,u|),有得解u(i)(x,y)H1(9=f(1)9n(2)9n99.9(i)注意<,因此uH2(),从而u(i)|H3/2(9).取上的函数u,使

13、得u|H1(),1u|),H(-u+p2ux+q2uy=0(x,y),u|9=u(1)|9,-u+p2ux+q2uy=0(x,y),u|u|9=9f,(1)=u|9.由于在上p1=p2,q1=q2,在<的边界上u与u(1)一致,因此(1)u(x,y)=u(x,y)(x,y).又由于u与u(2)同时满足-u+p2ux+q2uy=0(x,y)9,u|9=f,9,且关于()而在9上,u作为H1()的元及H1()的元,它在9上的迹一致,均为u1|9上点的外法向n+和内法向n-,有(1)(1)(1)=,u|=u|=-pq9pq911229n+9n+9n-其中最后一个等式由p2q2的定义导出.这样,

14、u=u(2),因此u(2)(x,y)=u(x,y)=u(1)(x,y)(x,y),从而(2)9n这是矛盾.是具有光滑边界的平面单连通区域,与-u+pux+quy=0相应的Dirichlet2Neumann映引理6(1)=9n9.9第2期童重亮:一类平面非线性椭圆型方程反问题的唯一性H3/2285射为pq,则由pq|(9)可唯一的确定p和q.证作具有光滑边界的平面单连通区域,使=.在上补充定义p=q=0.记相应于区域的Dirichlet2Neumann映射为上的p,q和pq|pq.由引理5,pq由的.H3/2(9)唯一确定.再利用文献5的结果,由中的p和q是唯一确定的,从而p,q在上的取值是唯一

15、确定pq唯一性即得4非线性项的计算)满足边值问题),即设u=u(x,y,f0)为u(x,y,对固定的f0H3/2(9),简记u(x,y,-u+a(x,y,ux,uy)=0(x,y),u|9=f0.(17)可由p0,q0唯一确定,其中p0,q0由(12)和(13)式中取u0=u(x,y,)时给出.引理7u(x,y,),则u证沿用引理1的记号,取f(x)=f0(x).记u=u(x,y,+满足(7)式.其中p,q由(8)和(9)式给出.记v=2(u-v0H()=0.显然,v0=满足问题(14),由引理3,limv-u),则v.由v0满足问题(15),即满足9-+p0999+q0x9=0,y9由上述方

16、程即可解得另一方面,有-=f0.9+p999+qx9=0,y9其中p(x,y)=f0,2(x,y,u)(x,y,uq,u,(x,y)=-uH()xx,uyy).由引理1的证明,u9k9h0.利用a的性质(iii),p-p0L20.重复引理3的证明,得-0,利用嵌入定理,99H2()-0.因此,关于连续.99C(9)再利用线性方程解的唯一性及条件(ii)a(x,y,0,0)=0可得u(x,y,0)=0.因此)=u(x,y,(x,y,)d.9)即可唯一的确定a|E.引理8由u(x,y,)=a(x,y,ux(x,y,),uy(x,y,),有证沿用引理7的记号,记b(x,y,uxuy=+.99h99k

17、9)关于按H2()连续,所以ux(x,y,),uy(x,y,)关于按H1()连续,从而由条件由于u(x,y,(iii),关于按L2()连续.9h9ku-u另一方面,0时-9H()20,所以286复旦学报(自然科学版)第44卷lim0-9x9-9x9H()1=0,这就是说=.又由引理7的证明,可知0时,-0,所以-9x9999x999H2()因此,再利用引理2,关于按L2()连续.9这样,由向量值函数的微积分基本定理,),uy(x,y,)=a(x,y,ux(x,y,0d=9u(x,y,)d.0如此,由固定的,在L2意义下确定了b(x,y,).又由文献3定理12.5,u(x,y,)C2,故),uy

18、(x,y,)关于x,y连续.根据条件(i),即a的连续性,可知b(x,y,)是唯一确定的,取ux(x,y,=1,仍记u(x,y,1)为u(x,y,f0),即知a(x,y,ux(x,y,f0),uy(x,y,f0)是唯一确定的,从而a|E是处处唯一确定的.至此,我们证明了定理1.参考文献:1234mannmapintwodimensionsJ.InverseProblems,2000,16:L252L30.UniquenessoftheInverseProblemofaPlanarNon2linearEllipticEquationTONGChong2liang(InstituteofMathematics,FudanUn