第三章量子统计理论

1、第三章 量子统计理论第一节 从经典统计到量子统计 量子力学对经典力学的改正波函数代表状态 (来自实验观测)能量和其他物理量的不连续性 （来自Schroedinger方程的特征）测不准关系（来自物理量的算符表示和对易关系）全同粒子不可区分 （来自状态的波函数描述）泡利不相容原理 （来自对易关系）正则系综不是系统处在某个的概率，而是处于某个量子态的概率，例如能量的本征态。配分函数为第n个量子态的能量，对所有量子态求和（不是对能级求和）。平均值量子力学的平均值第二节 密度矩阵量子力学波函数 归一化平均值 统计物理 系综理论：存在多个遵从正则分布的体系假设系综的各个体系独立，理解：是对所有状态平均，假

2、设每个状态出现的概率为 ，对固定m，和以相同概率出现，所以如果选取能量表象，假设按正则分布，重新记为 这里 引入密度矩阵算符显然， 归一化条件一般地 这样，计算可以在任何表象进行微正则系综 ( E)巨正则系综n 为N固定的量子态第三节 玻色爱因斯坦分布(BE)和费米狄拉克分布（FD）体系：N个独立的全同粒子，N可变单粒子能级巨正则分布量子态：粒子按单粒子量子态的分布注意：i 不是粒子的指标，而是态的指标 N可变的分布这里 i 记单粒子态例：单粒子两能级系统，玻色子，没简并计算平均粒子数（i） 玻色爱因斯坦情形（ii） 费米狄拉克情形只能取0，1两个值若第个能级有个简并量子态，则共有粒子， 平均

3、粒子数若足够大，涨落相对可忽略，N可认为常数。第四节 理想玻色气体和Bose-Einstein凝聚由于泡利不相容原理，玻色和费米气体低温下差别较大玻色气体的性质1、选，由 (这里是与能量零点有关)2、BE凝聚单分子气体，分析表明 ，为自旋简并度设，不断降温，为保证对的积分为常数，必须增加（即趋向于零）当 称之为凝结温度为自旋如果进一步降温，使 ，似乎出现矛盾，因为不能再增加，但 又要保持为常数。问题产生于这一过程近似略去了的贡献，而当 的粒子贡献极大。 (*)只计算了的粒子数 当 ,这并不奇怪 当 , 是个大数这现象称之为BE凝聚，是动量空间的凝聚。讨论（i） 显然，Fermi体系不会凝聚，因

4、为Pauli原理。（ii） 对理想或排斥势的玻色体系，会发生凝聚但对吸引势的玻色体系，则不会发生凝聚，因为应为，但吸引势体系无法保证这点。（iii） 凝聚是一种相变，像是二级相变，因为 是幂次行为第五节 理想费米气体和费米球 假设 1、粒子的排列遵从 粒子按能级从低到高，每个能级两个自旋取向排列。设最高能量为,对应动量大小。在动量空间看，费米子的等能面为球面。时，全部费米子处于半径为球内，这球称费米球。用周期边界对自由粒子求解Shroedinger方程量子态求和考虑到简并，在动量的量子态数目为 称费米能量，对应的等能面称费米面讨论设 这表明是个阶梯函数 思考题： 的物理意义 时的能量 单粒子平

5、均能量 当,对费米气体，粒子仍然运动，例如，对电子气，这种运动产生的压强 个大气压。2、 但 是从量子气体转变为经典气体的温度。 表明量子效应显著。 热运动能量的数量级为,它使费米面变厚，厚度 。 选为独立变数，巨正则系综的特性函数是热力热 分部积分 是典型的费米积分当T 小 时 ,可以作低温展开,对，练习：试计算I的一级近似。 (T=0, ; T0, ) 平均粒子数假设 费米体系的粒子数不随温度而变 （练习：试推导）内能 （由上面得到的表达式）定容热容量称费米温度第六节 能斯脱定理和绝对熵热力学第二定律和热力学基本方程只定义了两个状态的熵之差。l 能斯脱定理设为可逆等温过程的熵变，则即 l这便是热力学第三定律经典统计：可能状态数 量子统计： 量子态数T=0K时，等于基态的简并度,若 G=1,自然S=0;若G1,但一般G N则 S ,所以单粒子熵 对近独立的粒子体系，熵 练 习 对玻色子， 0对费米子，由于在费米球内为1，在球外为0，S = 0第三定律的否定表述:绝对零度不能用有限手续达到热力学过程：吸热 温度会增加，不可能 放热 要求环境为低温，也不可能绝热 唯一选择，可逆绝热过程，因为可逆过程效率最