2017年高考理数真题试卷（天津卷）（正式版）

1、2017年高考理数真题试卷（天津卷）（正式版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（2017·天津）设集合A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（AB）C=（） A、2B、1，2，4C、1，2，4，5D、xR|1x52、（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（） A、B、1C、D、33、（2017·天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A、0B、1C、2D、34、（2017·天津）设R，则“| | ”是“sin ”的（） A、充分而不

2、必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5、（2017·天津）已知双曲线 =1（a0，b0）的左焦点为F，离心率为 若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（） A、=1B、=1C、=1D、=16、（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）若a=g（log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（） A、abcB、cbaC、bacD、bca7、（2017·天津）设函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（

3、x）的最小正周期大于2，则（） A、= ，= B、= ，= C、= ，= D、= ，= 8、（2017·天津）已知函数f（x）= ，设aR，若关于x的不等式f（x）| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（） A、 ，2B、 ， C、2 ，2D、2 ， 二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（2017·天津）已知aR，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为_ 10、（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_ 11、（2017·天津）在极坐标系中，直线4cos（ ）+1=0与圆=

4、2sin的公共点的个数为_ 12、（2017·天津）若a，bR，ab0，则 的最小值为_ 13、（2017·天津）在ABC中，A=60°，AB=3，AC=2若 =2 ， = （R），且 =4，则的值为_ 14、（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答） 三、三.解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15、（2017·天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a=5，c=6，sinB= （）

5、求b和sinA的值；（）求sin（2A+ ）的值 16、（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， （）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率 17、（2017·天津）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90°点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直

6、线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长 18、（2017·天津）已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN+），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a42a1 ， S11=11b4 （）求an和bn的通项公式；（）求数列a2nb2n1的前n项和（nN+） 19、（2017·天津）设椭圆 + =1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 已知A是抛物线y2=2px（p0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 （）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D若

7、APD的面积为 ，求直线AP的方程 20、（2017·天津）设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0 ， g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x0 ， 2，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 1，x0）（x0 ， 2，满足| x0| 答案解析部分一、<b >选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的</b><b>.</b> 1、【答案

8、】B 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】解：A=1，2，6，B=2，4，AB=1，2，4，6，又C=xR|1x5，（AB）C=1，2，4故选：B【分析】由并集概念求得AB，再由交集概念得答案 2、【答案】D 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划 【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件 的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由 可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3故选：D【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 3、【答案】C 【考点】选择结构，循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：第一次N=2

9、4，能被3整除，N= 3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=81=7，N=73不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=71=6，N= =23成立，输出N=2，故选：C【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可 4、【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，绝对值不等式的解法 【解析】【解答】解：| | 0 ，sin +2k +2k，kZ，则（0， ） +2k， +2k，kZ，可得“| | ”是“sin ”的充分不必要条件故选：A【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论 5、【答

10、案】B 【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（c，0），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=± x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则 =1，c=4，则a=b=2 ，双曲线的标准方程： ；故选B【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程 6、【答案】C 【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，函数奇偶性的判断，对数值大

11、小的比较，对数函数的图像与性质 【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x0，f（x）f（0）=0，且f（x）0，g（x）=xf（x），则g（x）=f（x）+xf（x）0，g（x）在（0，+）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，a=g（log25.1）=g（log25.1），则2log25.13，120.82，由g（x）在（0，+）单调递增，则g（20.8）g（log25.1）g（3），bac，故选C【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+）单调递增，则a=g（log25.1）=g（log25.1），则2log25.13，120.82，

12、即可求得bac 7、【答案】A 【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2，得 ，又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，T=3，则 ，即 f（x）=2sin（x+）=2sin（ x+），由f（ ）= ，得sin（+ ）=1+ = ，kZ取k=0，得= ，= 故选：A【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得，最后由若f（ ）=2求得值 8、【答案】A 【考点】函数恒成立问题，分段函数的应用 【解析】【解答】解：当x1时，关于x的不等式f（x）| +a|在R上恒成立，即为x2+x3 +ax2x+3，即有x2+ x3a

13、x2 x+3，由y=x2+ x3的对称轴为x= 1，可得x= 处取得最大值 ；由y=x2 x+3的对称轴为x= 1，可得x= 处取得最小值 ，则 a 当x1时，关于x的不等式f（x）| +a|在R上恒成立，即为（x+ ） +ax+ ，即有（ x+ ）a + ，由y=（ x+ ）2 =2 （当且仅当x= 1）取得最大值2 ；由y= x+ 2 =2（当且仅当x=21）取得最小值2则2 a2由可得， a2故选：A【分析】讨论当x1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得x2+ x3ax2 x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x1时，同样可得（ x+ ）a + ，再由基本不等式可得最

14、值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围 二、<b >二</b><b >.</b><b>填空题：本大题共</b><b>6</b><b >小题，每小题</b><b>5</b><b >分，共</b><b>30</b><b >分</b><b>.</b> 9、【答案】2 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：aR，i为虚数单位，= = = i由 为实数

15、，可得 =0，解得a=2故答案为：2【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值 10、【答案】【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a， 这个正方体的表面积为18，6a2=18，则a2=3，即a= ，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即 a=2R，即R= ，则球的体积V= （ ）3= ；故答案为： 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可 11、【答案】2 【考点】直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，极坐标系和平面直角坐标的区别

16、 【解析】【解答】解：直线4cos（ ）+1=0展开为：4 +1=0，化为：2 x+2y+1=0圆=2sin即2=2sin，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y1）2=1圆心C（0，1）到直线的距离d= = 1=R直线4cos（ ）+1=0与圆=2sin的公共点的个数为2故答案为：2【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系 12、【答案】4 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：a，bR，ab0， = =4ab+ 2 =4，当且仅当 ，即 ，即a= ，b= 或a= ，b= 时取“=”；上式的最小值为4故答案为：4【分析】两次利

17、用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么 13、【答案】【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：如图所示，ABC中，A=60°，AB=3，AC=2，=2 ， = + = + = + （ ）= + ，又 = （R）， =（ + ）（ ）=（ ） + =（ ）×3×2×cos60° ×32+ ×22=4， =1，解得= 故答案为： 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，再根据平面向量

18、的数量积 列出方程求出的值 14、【答案】1080 【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用 【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080【分析】根据题

19、意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案 三、<b >三</b><b >.</b><b>解答题：本大题共</b><b>6</b><b >小题，共</b><b>80</b><b >分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤</b> 15、【答案】解：（）在ABC中，ab，故由sinB= ，可得cosB= 由

20、已知及余弦定理，有 =13，b= 由正弦定理 ，得sinA= b= ，sinA= ；（）由（）及ac，得cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=12sin2A= 故sin（2A+ ）= = 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案 16、【答案】解：（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=

21、0）=（1 ）×（1 ）（1 ）= ，P（X=1）= ×（1 ）×（1 ）+（1 ）× ×（1 ）+（1 ）×（1 ）× = ，P（X=2）=（1 ）× × + ×（1 ）× + × ×（1 ）= ，P（X=3）= × × = ；所以，随机变量X的分布列为X0123P                

22、                                    随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；（）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y

23、+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）P（Z=1）+P（Y=1）P（Z=0）= × + × = ；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件 【解析】【分析】（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值 17、【答案】（）证明：取AB中点F，连接MF、NF，M为AD中点，MFBD，BD平面BDE，MF平面BDE，MF平面BDEN为BC中点，NFAC，又D、E分别

24、为AP、PC的中点，DEAC，则NFDEDE平面BDE，NF平面BDE，NF平面BDE又MFNF=F平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）解：PA底面ABC，BAC=90°以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系PA=AC=4，AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则 ， ，设平面MEN的一个法向量为 ，由 ，得 ，取z=2，得 由图可得平面CME的一个法向量为 cos = 二面角CEMN的余弦值为 ，则正弦值为 ；（）解：设AH=t，则H（0，0，t）， ， 直线

25、NH与直线BE所成角的余弦值为 ，|cos |=| |=| |= 解得：t=4当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为4 【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF平面BDE，NF平面BDE得到平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）由PA底面ABC，BAC=90°可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面

26、角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值；（）设AH=t，则H（0，0，t），求出 的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为 列式求得线段AH的长 18、【答案】解：（）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q26=0又因为q0，解得q=2所以，bn=2n 由b3=a42a1 ， 可得3da1=8由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16，联立，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n2所以，数列an的通项公式为an=3n2，数列bn的通项公式为bn=2n （）设数列a2nb2n1的前n项和为Tn ， 由a2n

27、=6n2，b2n1= 4n ， 有a2nb2n1=（3n1）4n ， 故Tn=2×4+5×42+8×43+（3n1）4n ， 4Tn=2×42+5×43+8×44+（3n1）4n+1 ， 上述两式相减，得3Tn=2×4+3×42+3×43+3×4n（3n1）4n+1= =（3n2）4n+18得Tn= 所以，数列a2nb2n1的前n项和为 【考点】数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解an和bn的通项公式；（）化简

28、数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可 19、【答案】（）解：设F的坐标为（c，0）依题意可得 ，解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2c2= 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x（）解：直线l的方程为x=1，设直线AP的方程为x=my+1（m0），联立方程组 ，解得点P（1， ），故Q（1， ）联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y= B（ ， ）直线BQ的方程为（ ）（x+1）（ ）（y ）=0，令y=0，解得x= ，故D（ ，0）|AD|=1 = 又APD的面积为 ， × = ，整理得3m22 |m|+2=0

29、，解得|m|= ，m=± 直线AP的方程为3x+ y3=0，或3x y3=0 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案 20、【答案】（）解：由f（x）=2x4+3x33x26x+a，可得g（x）=f（x）=8x3+9x26x6，进而可得g（x）=24x2+18x6令g（x）=0，解得x=1，或x= 当x变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表：x（，1）（1， ）（ ，+）g（x）+g（x）所以，g（x）的单调递增区间是（，1），（ ，+），单调递减区间是（1， ）（）证明：由h（x）=g（x）（mx0）f（m），得h（m）=g（m）（mx0）f（m），h（x0）=g（x0）（mx0）f（m）令函数H1（x）=g（x）（xx0）f（x），则H1（x）=g（x）（xx0）由（）知，