(下册)第一章

1、等腰三角形（一）一、定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边；两腰 所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角二、性质1、等腰三角形两底角相等（简写成“等边对等角”）2、 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合 一”）三、例题讲解例1、如图，点 D在AC上，点E在AB上，且 AB=AC, BC=BD, AD=DE=BE求匕A的度数.-Zl =-Z2=22 ,解：设 ZA=x. VAD=DE, A ZI=ZA = x. VDE=BE,3.Z3=ZA+Z2=2" . VBD=BC, A ZC= 2 ,又 VAB=A

2、C, A ZABC=ZC=2 .在 ZXABC 中，ZA+ZC+ZABC=18O2=180° ,x=45 °.即匕 A=45例2、一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角分别为一 解：当110。为顶角的外角时，顶角为70。，则两底角均为55° .当110°为底角的外角时，底角均为70° ,则顶角为40° .所以三角形三内角分别为70° , 55 ,°55或40。, 70 ,70 °变式：一个等腰三角形的两边长分别为 L 2,则这个三角形的三边长分别为.解：当腰长为1时，由于1

3、 + 1=2,故此种情况不合题意.当底边长为1时，则腰长为2,符合题意.总结：涉及等腰三角形时，常应注意按腰、底边、顶角或底角来进行分类讨论例3、如图，ZXABC中，AB=AC, AD和BE是高，它们交于点 H,且AE=BE,求证：AH=2BD.D证明：VBE1AC, AB=AC, A± BC, .Z1 + ZC=9O ；Z2 + ZC=90 。仁Z2, Z3=Z4=90在 ZXAHE和 ZXBCE中,Zl = Z2, AR = 88,Z3 = Z4 = W.A AAHEAABCE (ASA),.?.AH=BC,又 VAB=AC, A± BC,.?.BC=2BD, AH=2

4、BD.变式：如图，在四边形 ABDC中，AB=2AC, AD平分ZBAC, AD=BD,求证：CDXAC.AE=AC, ?.AD 平分证明：取 AB中点E,连DE. VAB=2AC, E是AB中点,ZBAC, .Z1=Z2.在 ZXAED 和 AACD 中，AR = AC.Z1 = Z2,AD = AD.AAAEDAAACD (SAS) , :. ZACD=ZAED, VAD=BD, E是 AB 中点，A ZAED=90 °A ZACD=90 ,即 CD± AC. 例4、如图，ZXABC中AB=AC, F在AC 土在BA延长线上取 AE=AF.求证：EF± BC.

5、证明：?.AB=AC, A ZB=ZC. VAE=AF, ZE=Z4又 VZ3=Z4, .ZE=Z3.VZ1 = 180 -°B-ZE, 匕 2 = 180 -2C-Z3, .Z1 = Z2,而B、D、C三点共线,.?.匕2 = 90 °即EFXBC.等腰三角形（二）等腰三角形的判定方法1、利用定义2、根据等角对等边思考：如图，若AD平分ZBAC, ADXBC则AABC是否是等腰三角形?（可借助三角形三内角和相等说明 ZB=ZC）如图，若AD± BC且D是BC中点，则AABC是否是等腰三角形?（可借助“中垂线性质”说明）如图，若AD平分ZBAC, D是BC中点，则

6、AABC是否是等腰三角形?D（可利用“中线倍长”或过 D作角两边的垂线来添加辅助线说明结论成立）3、三角形中一边上的中线、高线和对角的平分线中，有两线合一，即可说明是等腰三角形 4、判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边 相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等实际解题中的个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服 务，常用的构造方法有：(1) “角平分线+平行线”构造等腰三角形；(2) “角平分线+垂线”构造等腰三角形；(3) 用“垂直平分线”构造等腰三角形；(4) 用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形例1、如图，ZXABC中，ZA

7、CB=90 , CD是AB上的高，NBAC的平分线为 AF, AF与CD交于 E.求证：ACEF是等腰三角形.证明：平分 ZBAC, .Z1=Z2, V ZACB=90 °CD ± AB,.Z1 + Z5=9O , Z2+Z3=90 , °3=Z5. VZ4=Z5, .Z3=Z4,CF=CE, ACEF是等腰三角形.例2、如图，ZABC、ZACB的平分线交于点 F,过F作DE/BC 交AB于D,交AC于E试说 明BD+EC=DE.解：.BF 平分 ZABC, .Z1=Z2. VDE/BC, AZ2=Z3, .Z仁Z3, .BD=DF.同理：CE=EF, BD+CE

8、=DF+EF=DE.例3、如图，在 ZXABC中，AB=AC, EF为过点A的任一直线，CF± BC, BE± B求证：AE=AF.证明：延长 BA 交 CF 于 G. VAB=AC, AZ仁Z2, VCFXBC, A Zl + Z4=Z2 + Z3=90乙Z3=Z4, . AC=AG, .AB=AG. VBE± BC, CE/±FBCZE=ZF.在 ABAE 和 ZXGAF 中，N5 = N6.=M- -ABAEAGAF (AAS) , ,AE=AF.例4、如图，已知 AD是ZXABC的中线，BE交 AC于点E,交AD于F,且 AE=FE.求证：AC=

9、BF.证明：延长 AD至G使GD=AD,连BG.办。是ZXABC的中线，.BD=CD.在ZXBGD和 ZXCAD中,BD二CD.Zl = Z2,OAO9 = A -ABGDACAD (SAS) , .BG=AC, ZG=Z3. VAE=FE, .Z3=Z5.又 VZ4=Z5, AZ3 = Z4. A Z4 =ZG , .BG=BF, A AC = BF.变式：如图，在 AABC中，AD是匕BAC的平分线，M 是BC的中点，过 M作ME AD交BA 的延1 长线于 E,交 AC 于 F,求证：BE = CF=H (AB+AC).B证明：延长EM到G使GM=FM,连BG. ?.?是BC中点, 在

10、ZXBMG 和 ZACMF 中，BM=CMZ5=Z6Gif = Pit.?.ABMGAACMF (SAS) . CF=BG, ZG=Z4.办。是 ZBAC 的平分线，.Z1 = Z2.?.WE AD, .Z1 = ZE, Z2 = Z3. Z.ZE=Z3而 Z3=Z4, AZE=Z4, Z.ZE=ZG.?.BE = BG, .BE = CF. VAB=BE-AE, AC = CF+AF, .AB+AC=BE+CF+AE.L而 ZE=Z3, .? .AF=AE. .AB+AC = 2BE = 2CF, .BE = CF己 (AB+AC).反证法一、知识概述1、对于一个几何命题，当用直接证法比较困

11、难时，则可采用间接证法，即“正难则反”.反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面 不能成立.从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径， 掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的 .2、反证法的概念不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立， 这样的证明方法叫做反证法 . 反证法是数学中常用的一种方法，反证法也称为归谬法 .3、反证法的基本思路用反证法证明命题的思维过程是：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定 条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的

12、结论来，并据此否定原先的假设， 从而确认所要证明的结论成立 . 这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与 数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是 从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾） .这个矛盾是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来 唯一有错误的地方就是一开始的假定 . “结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确 .既然 “结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了 .4、反证法的一般步骤用反证法证明一个命题常采用以下步骤：第一步，假设命题的结论不成立 .第二步，从这个假设和其他已知条件出

13、发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事 实、已证明的定理、性质或与已知条件矛盾 .第三步，由于上述矛盾的出现，判定假设不成立，可以肯定原来的假定“结论不成立” 是错误的，从而说明原来命题的结论是正确的 .注意用反证法证明文字叙述的命题时，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再 经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论 . 从而否定原来的假设 .5、应用反证法的情形直接证明困难的；需要分成很多类进行讨论；结论为“至少”、“至多”、“无数个”这一类的命题; 结论为“唯一”类的命题.、典型例题讲解 例1、求证：三角形中至少有一个角不大于 60° .证明：假设ZXABC中的匕A、

14、ZB、ZC都大于60° ,则 ZA+ZB+Z03X60 0 =180 °这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立故三角形中至少有一个角不大于60° ,例2、求证：两条直线相交，只有一个交点 解：设直线AB, CD相交于M.假设直线AB, CD另有一个交点N,这说明经过M, N两点有两 条直 线AB和CD这与公理经过两点有且只有一条直线矛盾.故假设不成立.所以AB, CD只 有一个 交占 丿J八、 例3、用反证法证明：直角三角形斜边上的中点到三顶点的距离相等提示：设直角 ZXABC的斜边 AB的中点为 D.假设AD=BD<CD,则ZACD<ZA, ZB

15、CD<Z B, VZA+ZB=90 ° , ZACD+ZBCD=ZACB<90 ,即匕C为锐角，这与已知矛盾.假设 AD=BD >CD,同理可证 出匕C为钝角，这也与已知矛盾.所以只有AD=BD=CD.例4、已知ZXABC中，AB>AC, NABC和ZACB的平分线相交于0点.求证：A0与BC不垂直.Ar. AO是NA的平分线.证明：假设AC± BC. VO是ZB、ZC的平分线的交点,VAOXBC,?.AB=AC,这与已知矛盾；.AO与BC不垂直.等边三角形一、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形二、性质：1、具有等腰三角形所有性质2、等边三角形

16、三边、三内角分别相等，且每一个内角都等于 60 °三、判定：1、利用定义.2、证三个角都相等.3、有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.四、直角三角形性质在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.例1、如图，等边ZXABC中，BD=CE, AD与BE交于点P.求ZAPE的度数.解：？? ABC是等边三角形, AB=BC, ZABC=ZC=60 .°在 ZXABD 和 ZBCE 中，AB = BC,BD=C8.:.AABDAABCE (SAS) , A Z1=Z2, 乙 ZAPE= Z3+Z仁Z3 + Z2=6O .变式：如图，在等边 ZXABC 中，

17、AE=CD, AD、BE 交于点 P, BQ±ADf Q, PQ=3, PE=1 求 AD 的 长D C解：AABC是等边三角形，AB=AC, ZBAC=ZC=60 ,在ZXABE和 ACAD中，AB=AC,AE=CD.:.AABEAACAD (SAS) , .BE=AD, Z1=Z2, A Z4=Z2 + Z3=Z1 + Z3=6O 又 BQ± AD, .1匕 5 =30 °，BP=2PQ=6, .AD=BE=BP+PE=7.例2、如图，ZXABC为等边三角形，延长 BA至U E使 AE=BD,求证：CE=DE.证明：延长BD至F,使DF=BC,连EF, ? A

18、BC是等边三角形, AB=BC, ZB=60，DF=AB, VAE=BD,，-AB+AE=BD+DF, .BE=BF.? BEF 是等边三角形，.？ .BE=FE, ZB=ZF=60 . °在 ZXEBC 和 ZXEFD 中,BC = dp-.-AEBCAEFD (SAS),(视频中 ZXEDF 应写成 ZXEFD) .CE=DE.例3、如图，RtAABC中，ZACB=90 , ZI=30，。分别以AB、AC为边向形外作等边 ZXABD和等 边AACE连DE交AB于F.求证：DF=FE.证明：过 D 作 DGt AB 于 G. AABD 和 AACE 是等边三角形，.AD=AB, A

19、C=AE, Z2=60而 DGt AB, .Z5 = 30 /在 ZXDGB 和 ZXACB 中，Z5=ZLZDC?=ZXCA = 9<r.DB=AB.AADGBAAACB (AAS) , .DG=AC, .DG=AE. VZ1 = 3O，匕 2 = 60 ,°.ZEAF=90 . °在AAEF和AGDF中，ZAtf = ZOGV = 9CF, -Z3 = Z4, AS = GD.:.AAEFAAGDF (AAS), DF=FE.直角三角形(一)一、知识概述1、有一个角等于90。的三角形叫做直角三角形直角三角形用符号“ ”表示，如图，直 角三角形ABC可以表示为“ R

20、tAABC” .两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形 等腰直角三角形的两个底角相等，都等于 45。.2、直角三角形的性质(1) 定理：直角三角形的两个锐角互余推理过程：在 AABC中，VZC = 90/. ZA+ZB = 90 （°或匕 A=90°-ZB, ZB = 90 -ZA°）.说明：这一定理应用的前提是 RtA,已知一个锐角，求另一个角（2） 定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即直角三角形的直角边为a, b斜边为c则尿（3）直角三角形中，如果一个锐角等于 30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半（4）直角三角形中，如果两

21、条直角边为 a、b,斜边为c,斜边上的高为h,那么它们存*=也在这样的关系：醐 =4 或 c .3、直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 .定理：一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角 形.即如果三角形的三边长a, b, c满足那么这个三角形是直角三角形4、互逆命题和互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 .如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另 一个定理的逆定理 .二、典型例题讲解 例1、如图，CD是RtA

22、ABC斜边上的高？请找出图中各对互余的角.解：AABC 是 RtA,A ZA+ZB = 90 （直角三角形的两个锐角互余）.VCDXAB （已知），? ACD, ZXBCD是 RtA.-.ZA+ZACD = 90 , ZB+ZBCD = 90 （直角三角形的两个锐角互余）V ZACB=RtZ （已知）,*ZACD+ZBCD=90° .图中一共有4对互余的角，分别是 NA与匕B; ZA与ZACD, ZB与ZBCD, ZACD与匕例2、某三角形的两个角分别为105°、45。，且45°角所对的边长为2,求此三角形的周长解：如图，ZBAC = 105° , ZC

23、 = 45 , °B = 2.过点A作AD1BC于D.VZC=45 ° , .ZDAC = 45 , V ZBAC = 105A ZBAD = 60 ,A ZB = 30 ,°v A0 AO. ABt:.ADfBD? q 雄-心./DC- XD-U AC-J AA7DA-42二同长 M+B7+C?2+而 + 1 + 万？ 3+万+女at-b 。+。b+a789面积.a+b=7k<s4-A A+c . “= = =k' , a 4-c =&t 78 9解：令 |*+ 。 =强解之得： a=3k, b = 4k, c = 5k又, a+b + c

24、 = 12, /.k=l,. a=3， b = 4 ， c = 5.Va2+b2=c2, AZC = 90 , °以三角形面积为 2 =6.例4、直角三角形三边的长分别为5, 4, m,求此直角三角形斜边上的高解：若 m > 5,则=5A+4A,/. m =宓 F,1120 f S = x4x5 = m hf:. h= J41,2241若 m < 5, 则 5? = 4? + mJ. m-3S = *3X4 = ? 5 ? . A = 2 2 5例 5、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来 .(1) 如果两个角都是直角，那么这两个角相等；(2) 内错角相等，两直线平行

25、;(3) 等边三角形的三个角都等于 60°,解:(1) 的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是直角 . 它是一个假命题 . 故(1) 没有 逆定理 .(2) 的逆命题是：两直线平行，内错角相等 . 它是一个真命题，故 (2) 的逆命题就是它的 逆定理 .(3) 的逆命题是：三个角都等于 60°的三角形是等边三角形，它是一个真命题，故也是 它的逆定理 .总结：先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举个反例即可直角三角形 ( 二)一、知识概述1、直角三角形全等的条件 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简写成“H

26、L” .2、直角三角形全等的判定方法HL 、 SSS、 SAS、 ASA、 AAS.说明：证明两Rt三角形全等时，如果已知一组边相等，可以先考虑HL,再考虑用其它判定方法.3、选择证明三角形全等的方法(1) 已知两边对应相等 证第三边相等，再用SSS证全等 证已知边的夹角相等，再用SAS证全等 找直角，再用HL证全等（2）已知一角及其邻边相等 证已知角的另一邻边相等，再用 SAS证全等 证已知边的另一邻角相等，再用 ASA证全等 证已知边的对角相等，再用 AAS证全等（3）已知一角及其对边相等证另一角相等，再用AAS证全等（4）已知两角对应相等 证其夹边相等，再用ASA证全等 证一已知角的对边

27、相等，再用 AAS证全等4、全等三角形中的基本图形的构造与运用（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形（2） 出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延 长中线）（3） 利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）、典型例题讲解AC=A C例1、（ 1）如图RtAABC和RtAAzB C中，ZC=ZCZ=90 °再添两个条件不能够判 定全等的是 （）A. AB=A '，田C = BC. ZA=ZAZ , BC=B C'ZA=ZAZ , ZB=ZBz解：A 选项，AB=A' B, 'BC=

28、B'C ,可利用 HL 判定 RtZXABC 丝 RtZXA' B C ,同理B选项，也可利用 SAS判定RtAABCARtAAzB C ,C 选项 ZA=ZAZ, BC=B C：可利用 AAS 判定 RtZXABC 丝 RtZXA' B' C ,D 选项，ZA=ZAZ , ZB=ZBZ ,只能证明 RtAABC 与 RtAAz B C 相似，不能证明RtAABCARtAAz B C .故选D.(2)下列判断中错误的是(B)A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.

29、有一边对应相等的两个等边三角形全等例 2、如图，AB = CD, AE ± BC, DF土 BC, CE =求证 AE = DF.证明：VAE1BC, D± BC, A ZAEB= ZDFC = 90°VBF = CE, ? .BF-EF = CE-EF, .BE = CF.在 RtAABE 和 RtADCF 中,ABADC.88 = CF, .-.RtAABEARtADCF (HL) . .AE=DF.例3、如图，AB=AC, CDt AB, D为垂足，BE± AC, E为垂足，CD与BE相交于点F.求证： AF平 分 ZBAC.证明：VC±

30、 AB, BE± AC, .Z3=Z4=90在 ZXABE和 AACD 中,Z3=Z4?M=C; . AAEBAAADC (AAS),.? .AD=AE.在 RtAADF 和 RtAAEF 中,=/.RtAADFARtAAEF (HL) , AZ1 = Z2,即 AF 平分 ZBAC.例 4、如图，AD=AC, ZADB=ZACB>°0 .求证：ZABC=ZABD.证明：过A作AE± BC交BC延长线于E过F作AF± BD交BD的延长线于F,则 ZE=ZF=90 . V ZADB=ZACB, A ZECA= ZADF.在 ZXAEC 和 ZAFD

31、中，Zfi = ZFzeca=aadpM = JU)乙AAECAAAFD (AAS),.? .AE=AF.在 RtAAEB 和 RtZXAFB 中,(AB=ABAB = AF .-.RtAAEBARtAAFB (HL) , A ZABC=ZABD.线段的垂直平分线一、知识概述1、线段的垂直平分线我们把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线例如：如图所示，点0是线段AB的中点，且AB_LCD,垂足为点0,则CD是线段AB的垂 直平分线.2、线段的垂直平分线的定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等如图，若MN为线段AB的垂直平分线，P点在MN上，则PA=PB.

32、3、线段的垂直平分线定理的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 如上图，若PA=PB,则P在AB的垂直平分线上.二、重难点知识归纳1、线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系:是位置关系一一垂直；是数量关系一一平分 2、三角形三边的垂直平分线交于一点从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的 交点一定在第三条垂直平分线上ft可以了 三、典型例题讲解例1、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线 段PB的长度为（）A. 6B. 5D. 3解： 直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD

33、上的一点，.? .PB=PA,而已知线段PA=5, APB=5.故选B.例2、如图，在 ZXABC中，AB=AC, ZA=120 , BC=6cm, AB的垂直平分线交 BC于点 M,交AB于 点E, AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为（）aEC. 2cmD. 1cmA. 4cmB. 3cm解：连接AM, AN,?.WE 垂直平分 AB, NF 垂直平分 AC, .BM=AM, CN=AN,A ZMAB=ZB, ZCAN=ZC, V ZBAC=120 , AB=AC,AZB=ZC=30 °乙 ZBAM+ZCAN=60 : ZAMN=ZANM=60 :. ZXAM

34、N是等边三角形，.AM=AN=MN, .BM=MN=NC,BC=6cm,/. MN=2cm. 故答案为 2cm.例3、如图，AB=AC, DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E若ZXABC的周长为28, BC=8,求 ABCE的周长.解:?.等腰ZiABC的周长为28, BC=8,?.BE=AE （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）ABCE 周长=8 £+ EC+BC=AE + EC+BC=AC+BC =10+8=18.例4、如图，AB=CD, AC与BD的垂直平分线相交于 E.求证：ZABE=ZCDE.解：连结 AE、CE、BE、DE,则AE=CE, BE=DE （线段的

35、垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）又?.AB=CD （已知），. ABE丝ACDE（ SSS . /.ZABE=ZCDE （全等三角形的对应角相 等）.例 5、如图(a) , AABC 中, AD± BC 于 D, AB+BD=DC.求 证：ZB =2ZC.(*)(b)(c)分析：此题需添加辅助线将线段之和 AB+BD 或线段之差 DC-BD 转化为一条完整线段，再结 合AD± BC可利用线段的垂直平分线来实现.证法一：(补短法)如图 ( b) .延长 DB 至U E,使 BE=AB，贝U AB+BD= DE,VAB+ BD = DC, .DE=DC,VAD&#

36、177; EC, AAD是线段CE的垂直平分线，AE=AC, /. ZE=ZC,ZABC=ZE+ ZBAE=2ZE,ZABC=2ZC.证法二：(截长法)如图( c) .在 DC 上截取 DE= DB,VAD± BC, .ADI BE 的垂直平分线，.-.AE=ABDC-BD= DC DE=EC=AB.?.AE=EC, ZB=ZAED=2ZC.角的平分线的性质(一)一、知识归纳1、角的平分线的作法(1)在匕AOB的两边OA、0B上分别截取 OD、0E,使OD = OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于：DE长为半径画孤，两孤交于 ZAOB内一点C.（3）作射线0C,则0C为ZAOB的平

37、分线（如图）.注意：（i）作角的平分线的依据是三角形全等的条件一一“SSS（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接2、角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等女口图.若0P平分ZAOB, PM± OA, PNXOB垂足分别为 M、N,则PM=PN.注意：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依 据即不需再用老方法一全等三角形（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.、基本图形1、若0是匕ABC、匕ACB的平分线的交点，贝U ZB0C = 90 +2 ZA.2、若0是匕AB

38、C和匕ACB外角平分线的交点，贝U ZBOC= 2 ZA.13、若0是匕ABC、ZACB的外角平分线的交点，贝U ZB0C = 90 °-ZA.三、例题讲解 例1、如图，0D平分ZAOB,在OA、0B边上取 OA=OB, P± BD, PN± AD垂足分别为 M、N,求 证：PM=PN.平分 ZAOB, .Z3=Z4.在 ZXOBD和 ZXOAD 中,OB=OAZ3 = Z4?OD = OD A AOBDAAOAD (SAS) , AZ1=Z2，又 VPM± BD, PN ± AD, .PM=PN.例2、如图，在 ZXABC中，ZB=60 ,

39、ZA> NC的角平分线AE、CF交于点0求证：OE=OF.证明：分别过 0作OMt AB于M, ON± BC于N, OP± AC于 P.?.AE、CF 分别平分 /BAC、ZBCA, OM ± AB, ON ± BC, OP ± AC,.OM=OP=ON, Zl= - ZBAC, Z2= 2 ZBCA.V ZBAC+ZBCA=180 °-ZB=120 ,°L.Z1 + Z2=2 (ZBAC+ZBCA)=60 , °A ZA0C=120 °,( 视频中匕 BOC 应为 ZAOC)A ZE0F=120

40、°.VOMXAB, ON± BC, ZB=60, °A ZM0N=120 °,:.ZF0M=ZE0N.在 /XFOM 和 AEON 中，Oif=OifA AFOMAAEON (ASA),.OE=OF.ZBAP+Z例3、如图，已知 Z仁Z2, P为BN上一点，且 PD± BC于 D, AB+BC=2BD，求证:BCP=180 °.hr证明:过 P 作 PM1BA 于 M.VZ1 = Z2, PM ± BA, PD ± BC,.PM=PD.在 ABMP 和 ABDP 中，Z£ MP二ZDPZ仁Z2BP = BPA ABMPAABDP (AAS),.BM=BD.VAB+BC=2BD, BC=BD+DC,?.AB+DC=BD,而 BM=AB+AM,.AM=DC.在 RtAAMP 和 RtACDP 中，AB = DCZAMP=ZPDCW = Z?AAAMPAACDP (SAS),A Z3=Z4,而 ZBAP+Z3=18°，-.ZBAP+Z4=180 即 ZBAP+ZBCP=180角的平分线的性质（二）一、角的平分线的判定1、 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上2、角平分线判定的符号语言：VPMXOA