101集合及其应用

1、知识梳理:1-集合与元素集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性L(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号旦或g表示.集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN* （或 N+）ZQR2. 集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A中所有元素都在集合D中(即若xAA,贝 iJxEB)AAB （或 B岂（A ）或 CawD真子集集合/是集合B的子集，且集合 B中至少有一个兀素不在集合/中A B （或B A）O集合相等集合A, B中元素相同或集合A, B互为子集A=B3. 集合的运算集合的并集集合的交集集合的补

2、集图形02）符号AUB=xWAAxABAAB=xxAA S lxabiuA =U,且 xiA4.集合关系与运算的常用结论(1) 若有限集/中有“个元素，则/的子集个数为发个，非空子集个数为2" 1个,真子集有2" 1个.(2) &UnB =AAA DB=B.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"V "或"X ”)(1) xy=x+1 = yy=x+1 = (x, y)y=x2+1. ( X )(2) 若?'1 = 0,1,贝 lj x=0,l.( X )(3) x|rWI= Wl. ( V ) 对于任意两个集合A, B

3、,关系(AHB)Q(AAB)恒成立.(V )(5)若&则 B = C.( X )(6) 含有 "个元素的集合有 2"个真了集 .( X )1.教材改编）设”4X 5 = 0, 5=xk 2=1,贝U AUB等于(B. -1,5C. D. -1答案5A 解析？?/ = -1,5 ,B= - 1,1,:.AUBA -1,1,5.2. 已知集合£= x一 x2W0,集合B为整数集，则 AHB等于(A. -B. 一 2, 1,0,11C,.0,1,2D. -1,0答案1A解析 因为/ = xA - x - 2W0 =x -1WXW2 , 又因为集合 B 为整数集，

4、所以集合 - 1,0,1,2, 故选 A.23. (2015?浙江)已知集合P=XX-2XAO, Q =x|l<x<2,则(CRP) AQ 等于()A. 0,1 )B.C. D. 1,2 (0,2答案 C解析？.？P=x|x$2 或 xWO , RP= X|0<X<2,?(RP)n0=x|l<x<2, 故选 C.4. (教材改编 )已知集合 A=x|3Wx<7, B=x|2<x<10, 则 C RUUS)= .答案 x*W2 或 x 三 10解析?.? £ UB= x|2<x<10,.？.RG4UB)= 蚣三 2 或

5、x210.5. 已知集合 A = (x, >>)|x, y R,且 x+y=l, B=(x, y)x, y £，且 y=x,贝U AA5 的元素个数为 答案 2解析 集合/表示圆心在原点的单位圆，集合 B表示直线卩=”，易知直线 y = x和圆” +尸 =1相交，且有2个交点，故AHB中有2个元素.例题选讲：题型一集合的含义例1已知集合a = 0,1,2,则集合B=xyxAA, yAA中元素的个数是()A. 1 B. 3 C. 5 D. 9已知集合 A = m + 2,2m 2 + m,若3丘£，则加的值为 .3答案 (1)C (2)-2解析 当 x-0 , y

6、-0时， x-y = O ； 当 x-Q , y-1 时， x-y= - 1 ；当"=0,了 = 2 时，乂 卩=-2 ；当 x=l，了 = 0 日寸，x - y - 1;当 x=l ,了=1 时，*- 卩=0；当 x=l , =2时， *- =-1 ；当x = 2 , y =0时，兀？y = 2 ；当兀二 2,尹二1时，兀? y = 1 ；当x = 2 , y = 2 时，兀尹二 0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0,? 1 ,? 2,1,2，共5个.32由题意得加+ 2二3或2m + m = 3 ,则加二1或加二-厂当加二1时 5 + 2 = 3且2m+m = 3 ,根据集

7、合中元素的3|3互异性可知不满足题意；当加二二时，m + 2 = 2 /而2m + m = 3 , iAm=二.是数方法常用思维升华（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型,集、点集还是其他类型集合；（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意？分类讨论的思想于解决集合问题?跟踪训练1设集合/= 1,2,3, =4,5, M=x|x=a+b, aAA, bAB,则M中的元素个数为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6设 a, bAR,集合1, a+b, a=o,号，”，贝U ba=.答案（1）B （2）2角军析（1）因为集合

8、a/中的元素x二o + b , aAA , bAB ,所以当b二4时,a = 1,2,3，此日寸兀二 5,6,7. 当 b 二 5 日寸，a 二 1,2,3，此日寸 x = 6,7,8.所以根据集合元素的互异性可知，% = 5,6,7，&即M=5,6,7,8,共有4个元素?因为1 , a+ i , a = |o , dHO ,所以 d + b 二 0 ,得 #二? 1 ,所以 a= - 1 , b = 1 ，所以 b - a 2.题型二集合间的基本关系例2已知集合a = x|x2-3x+2=0,xGR,S=x|0vx<5,xeN,则满足条件 AGCG的集合C的个数为（）A. 1

9、B. 2 C. 3 D. 4已知集合 A=X-2 017X+2 016<0, B=xx<a,若则实数a的取值范围是 答案(1)D (2)2 016, +8 )解析由/ - 3x + 2 = 0得x= 1或x = 2 ,:.A = 1,2.由题意知 D= 1,2,3,4.?满足 AGCGB勺集合 C 可以是1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4 共 4 个.由 x2 - 2 017% + 2 016<0 ,解得 l<x<2 016 ,故 £= x|l<x<2 016,又 B=xx<a , AAB 如图所示（2）已知两个

10、集.常用数轴、Venn0 12 016 a得 a$2 016.思维升华（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解;合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系跟踪训练2已知集合/= x|y = ln(x+3),B=xxA2,则下列结论正确的是()A. A=BB. AQB=OC. AUBD. BAA已知集合A=x|log2xW2, B=x)c<a,若则实数a的取值范围是答案(1)D (4, +8)解析(I'M =- 3 , 5 = 蚣三2,结合数轴可得：BVA.04 a x山 log2xW2,得

11、0<xW4,即心x|0<xW4,而 B xx<a,由于如图所示，则 a>4.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例 3 (1)设全集 U=xWN*lx<6,集合 £= 1,3, 5=3,5,贝叽 &UB)等于()A. 1,4B. 1,5C. 2,5设集合 U=R, A = x2 xa<-,D. 2,4S=x|) '=ln(l-x),则图中阴影部分表示的集合为()A. x|xA|D. MxWlC. x|O<x<l答案(1)D (2)B解析 由题意可知 U= 123,4,5 , /UB=1,3,5,所以? SUB) = 2

12、,4.故选 D.易知 A= X2x(x'2)<1 = x|x(x - 2)<0 = x|0<x<2 , B = xy = ln(l - x) = xl -x>0 = x|x<l,则血=xQl,阴影部分表 7F 的集合为 A A (C- x|lWx<2.命题点2利用集合运算求参数例 4 (1)已知集合 a =1,3, ym, B=1, m, ADB=A,则刃等于()A.0或需B. 0或3C.1或羽D. 1或3集合M=x|TWx<2, N=yW<a, 若MONg则实数a的取值范围一定是()C.D. a> 1答案 BD解析 由ADB

13、=/tW BAA,有mA ,所以有加=寸不或m = 3，即加=3或加=1或m= 0 ,又由集合中元素的互异性知 加 H1 , 故选 B.(2)VM=- lAx<2) , N= yy<a, 且 MGNH0 , 如图只要 a> - 1 即可 ?-1 a 0 1 2 x思维升华 ( 1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 .(2) 运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化. 跟踪训练 3(1) (2015- 天津 ) 已知全集 U= 1,2,3,4,5,6,7,8, 集

14、合 / = 2,3,5,6, 集合 5= 1,3,4,6,7, 则集合刖 ( 【皿 ) 等于 ()A. 2,5B. 3,6C. 2,5,6D. 2,3,5,6,8设 U=R集合 A = XX2 + 3X+2=0, S=x|? + (m+l)x+m=O,若(泌)门 2=0,则力的值是 .答案 (1)A (2)1 或 2解析 由题意知， 皿=2,5,8,则”( 皿 )= 2,5, 选 A.(2) A = -2,-1, 山( 曲) 门鸟 =0,得?. ?方程 x2 + (m+l)x+m=0 的判别式 J = (m+l) 2-4m = (m-l) 2A0, :.BH.5=-1 或鸟 = 一 2或 B=

15、_1, -2.%1 若 B= 1, 则 "2=1;%1 若 B=2, 则应有一 ( 加+ 1)=(_2)+( 2)=_4, 且加 =(2)X( 2)=4, 这两式不能同时成立 ,:%1 若 5=(-1, -2, 则应有一 (m+l) = (-l)+(-2)=-3, 且力 = (1)X( 2) = 2, 由这两式得 m=2.经检验知 m=l 和 m = 2 符合条件 .?."7=1 或 2.SCH 南极数学巩固作业：A 组专项基础训练( 时间： 30 分钟 )1. 下列集合中表示同一集合的是 ()A. M=(3,2), N=(2,3)B. M=2,3, N=3,2C. M=(

16、x, y)x+y=l, N= v|x+_y=lD. M=2,3, N=(2,3)答案 B解析 选项 A 中的集合 M 表示由点 (3,2) 所组成的单点集，集合 N 表示由点 (2,3) 所组成的单点集，故集合 M 与 N 不 是同组成的集合，即 N=y|x + y = 1 = R , 故集合 M 与 N 不是同一个集合 . 选项 D 中的集合 M 是数集， 而集合 N 是点集 f 故 集合 M 与 N 不是同一个集合 ? 对选项 B , 由集合元素的无序性 , 可知表示同一个集合 ?2. 设集合力=1,2,4,集合 =x|x=Q+b, aAA, bAA,则集合B中的元素个数为()A. 4 B

17、. 5 C. 6 D. 7答案 C角军析 aAA , bAA ，兀二 a + b ,?兀二 2,3,4,5,6,8.:? B中共有6个元素?3. 已知集合A=|xk Z，且走wz,则集合"中的元素个数为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案 C3解析VAeZ - x的取值有-3,-1丄3,又. ?的值分别为 5,3,1 , - 1 , 故集合 / 中的元素个数为 4 ,故选 C.4. (2015?课标全国 II)已知集合 A = 2, -1,0,1,2, B=x|(x l)(x+2)<0,则 AHB等于()A. -1,0B. 0,1C. -1,0,1D. 0,1,2答案

18、 A解析 由 £ = -2 , - 1,0,1,2 , B = x|(x - l)(x + 2)<0 = x| - 2<x< 1, 得= - 1,0,故选 A.5. 已知集合 A, B 均为全集 C/=1,2,3,4 的子集，且 血 UB)=4, 5=(1,2, 则 / 仃( 厨等于 ()A. 3B. 4C. 3,4D. 0答案 A解析 ?U=1,2,3,4 , 血 UB) = 4,.?.&UB= 1,2,3.又 VS = 1,2 , .?.3 GAG 1,2,3 ,又 皿=3,4 , .5( 血)=3.6. 已知全集 U=R集合 Qx|lg(x+l)W0,

19、 B=x|3WI, 贝叽宓 CB)等于()A. ( 一 8, 0)U(0, + °) °B. (0, 十 8)C. ( 8, -lU(0, + °) °D. (-1, + °) °答案 c解析 lg(x+ l)W0=0<x+ iwin - l<xW0,3WldxW0 ，则 AHB = ( - 1,0 , "") = (- 00 , - 1 U(0 , + °).°7. 已知集合 M= 0,1,2,3,4- N=1,3,5, P=MHN则 P 的子集共有()A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个答案 B解析 ?:M= 0,1,2,3,4 , N=1,3,5,:.MHN=1,3 ? :?A/nN 的子集共有 2? = 4 个.&已知集合A=x| IvxvO, B=x|xWa, 若MB则a的取值范围为()A. ( 一 8, 0B.