11数列的概念

1、数列专题习题：1. ( 12分)已知等差数列an的公差不为零，6=25,且ai, a“，阳成等比数列.(I)求an的通项公式；(U) 求 a计a4+a7+a3n-2.2. (12 分)设数列an满足 ai+3a2+°°+ (2n - 1) a*=2n.(1) 求an的通项公式；且(2) 求数列一的前n项和.2n+L3. (12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn, a1= - 1, b1=1, a2+b2=2.(1) 若 a3+b3=5,求bn的通项公式；(2) 若 T3=21，求 S3.4. (12分)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满

2、足b1 = 1, b2七,anbn+计 bn+1 =nbn.(I)求an的通项公式；(U)求bn的前n项和.5. (12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2- (2an+1 - 1)an- 2an+1=0.(1) 求 a2, a3；(2) 求 an的通项公式.6. (12分)已知an是递增的等差数列，a2, a4是方程x2- 5x+6=0的根.(1) 求an的通项公式；(2) 求数列的前n项和.2n7. (12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足Ss=0, &二-5.(I)求an的通项公式；(U)求数列:的前n项和.rrl a2n+l8. (12分)已知等比数列an中，

3、a1#，公比q=£.(I) Sn为an的前n项和，证明：Sn=(U)设 bn=log3a1 +log3a2+ +log3an，求数列bn的通项公式.9.已知数列an满足 ai=1, nan+i=2 (n+1) an.设 bn=.(1 )求 bi, b2, b3;(2 )判断数列bn是否为等比数列，并说明理由;(3 )求an的通项公式习题解答1. 解：(I)设等差数列an的公差为d工0,由题意ai, aii, ai3成等比数列，二. I 丨，1.I I ,化为 d (2ai+25d) =°,0,二 2X 25+25d=0,解得 d=- 2 .-an=25+ ( n - i )

4、X( 2) = 2n+27.(II)由(I)可得a3n-2= 2 (3n 2) +27= 6n+3i,可知此数列是以25为首项, 6为公差的等差数列. S c+a+a+ +a n(al + a3n-2Si=ai+a4+az+-+a3n-2=_n(25Tll+31)=2=-3n2+28n.2. 解:(i)数列an满足 ai+3a2+ (2n - i) a*=2n.n2 时，ai+3a2+ (2 n- 3) an -1=2 (n- i). ( 2n- 1) an=2.°. an=.2n-l当n=1时，ai=2,上式也成立.-anV I .(2) 6 = = -2n+l (2n-l)(2n

5、+l) 2n-l 2n+l '数列的前n项和=+丄亠+： 上1-二丄X2n+1 ；U 5 7n-1 2n+l 7 2n+l 2n+l3. 解：(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,ai= 1, bi=1, a2+b2=2, a3+b3=5,可得-1+d+q=2, 1+2d+q2=5,解得 d=1, q=2 或 d=3, q=0 (舍去)，则bn的通项公式为5=2"1, nN* ;(2) bi=1, T3=21,可得 1+q+q2=21,解得q=4或-5,当 q=4 时，b2=4, a2=2- 4=- 2,d=- 2-( - 1) =- 1, S3=- 1 -

6、 2-3=- 6;当 q=- 5 时，b2= - 5, a2=2-( - 5) =7,d=7-(- 1) =8, S3=- 1+7+15=21.4. 解:anbn+ 计bn+1 =nbn .当 n=1 时，a1b2+b2=b1.T 6=1, b2=,3-a1 =2,又 an是公差为3的等差数列，-an=3 n - 1,(儿)由(I)知:(3n - 1) bn+1+bn+1= nbn.即 3bn+1=bn.即数列bn是以1为首项，以I为公比的等比数列，3L-(V)n - bn的前 n 项和 Sn= =' (1-3-n)=-丄35. 解：(1)根据题意，an? -(2an+1 1) an

7、2an+1 =0, 当 n=1 时，有 a12-( 2a2 - 1) a1 - 2a2=0,而 a1=1，则有 1 -(2a2 - 1)- 2a2=0,解可得 a2=，,当 n=2 时，有 a22-( 2a3 - 1) a2 - 2a3=0,又由a2=vr，解可得 33=丁故氏,a3=;(2)根据题意,an2 -(2an+1 - 1) an - 2an+1=0,变形可得(an - 2an+1) ( 3n+1 ) =0,即有 an=2an+i 或 an= 1,又由数列an各项都为正数，则有 an=2an+i,故数列an是首项为ai=1,公比为丄的等比数列，2则 an=ix( 1 ) n丄爪1,故

8、 an=K1.6解：(1)方程X2-5x+6=0的根为2, 3又an是递增的等差数列, 故 a2=2, a4=3，可得 2d=1, d-,2故 an=2+ (n - 2)x 1 = n+1,2 2(2)设数列'的前n项和为Sn,: 一I：.，-得皆2M 2n口 2 =27解：(I)设数列an的首项为a1,公差为d,则"n+4由已知可得3引+3d二0冋呼L5,即'ai+d=0®+2d"解得 a1=1, d=- 1,故an的通项公式为 an=a1+ (n - 1) d=1+ (n - 1) ? (- 1) =2- n；(U)由(I)知一-1:.n-l

9、a2n+l (3一2口) (1-2口) 2 2n-3 2n-l从而数列:的前n项和rrl a2n+1sn= I - I ：2 L -1 1 ； 4 3，Sn-3 2n-l '=丄 _:-2 ' Sn=,. :1石又=sn 2 s=f(II)： an= n bn=log3ai+log3a2+log3an= log33+ (- 2log33) + + =(1+2+-+ n)=n(n+l)数列 bn的通项公式为：bn=:二9解：(1 )由条件可得an+1=an.将n=1代入得，a2=4ai，而ai=1，所以a2=4.将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.从而 b1=1， b2=2， b3=4.(2) bn是首项为1,公比为2的等比数列由条件可得:- 1 =，即bn+