北师大版八年级上《第1章勾股定理》单元测试含答案解析

1、第 1页（共 19页） 、选择题 A. 2. A. 3. A. 4. 第 1 章勾股定理 若一直角三角形两边长分别为 12和5,则第三边长为 13 B. 13 或 : j : C. 13 或 15 D. F列各组线段中，能构成直角三角形的是（ 2，3, 4 B. 3, 4, 6 C. 5, 12, 13 如果一个直角三角形的两条直角边分别为 2 2 2n B. n+1 C. n 1 D. n +1 15 D. 4, 6, n2 1, 2n （n 1）,那么它的斜边长是（ 以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ (1) 3, 4, 5; ( 2),二;(3) 32, 42, 52； (4

2、) 0.03 , 0.04 , 0.05 . A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5等腰三角形的腰长为 10,底长为12,则其底边上的高为（ A. 13 B. 8 C. 25 D. 64 其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正 6.五根小木棒, 20 7.如图，小方格都是边长为 1的正方形，则四边形 ABCD的面积是（ 、 / 7J / 、 / D A R C A. 25 B. 12.5 C . D. 8.5 &三角形的三边长为 a, b, c,且满足（a+b） 2=c2+2ab，则这个三角形是（ A.等边三角形 B. 钝角三角

3、形 C.直角三角形 D.锐角三角形 第 2页（共 19页） 9.A ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知/ C=90 , AC=30米，AB=50米，如果 要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 a元计算，那么共需要资金（ ） A. 50a 元 B. 600a 元 C. 1200a 元 D. 1500a 元 10 .如图，AB丄CD于B,A ABDD BCE都是等腰直角三角形，如果 CD=17 BE=5,那么AC的长为 A. 12 B. 7 C. 5 D. 13 二、填空题 11 .如图为某楼梯，测得楼梯的长为 5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 15. 如图

4、，在校园内有两棵树，相距 12m 一棵树高13m另一棵树高8m, 只小鸟从一棵树的顶 端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞AB=2,贝U AEC+ C= 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm. / C=90 , BC=3 AC=4以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ( ) 13. 第 3页（共 19页） 16. 如图， ABC中，/ C=90 , AB垂直平分线交 BC于D.若BC=8 AD=5贝U AC等于 17. 如图，四边形 ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3, BE=4,阴影部分的面积是 18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最

5、大的正方形的边长为 7cm,则正方形 A, B, C, D的面积之和为 _ cmf. 三、解答题 19. 如图，所示，四边形 ABCD中, AB=4, BC=3, AD=13 CD=12 / B=90,求该四边形的面积. A 第 4页（共 19页） B 20. 如图，已知一等腰三角形的周长是 16,底边上的高是 4.求这个三角形各边的长.第 5页（共 19页） 21. 如图所示的一块地，/ ADC=90 , AD=12m CD=9m AB=39m BC=36m求这块地的面积. 22. 如图，一架2.5米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AC上，这时梯足 B到墙底端C的距离为0.7 23. 如图

6、，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向 100km的B处有一台风中心，沿 BC方 向以20km/h的速度向D移动，已知城市 A到BC的距离AD=60km那么台风中心经过多长时间从 B 点移到D点？如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险， 正在D点休闲的 游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 0.4米，那么梯足将向外移多少米? 第 6页（共 19页） 第 1 章勾股定理 参考答案与试题解析 一、选择题 1 .若一直角三角形两边长分别为 12和5,则第三边长为（ ） A. 13 B. 13 或 1）,那么它的斜边长是（ ） A. 2n B. n+1

7、C. n2 - 1 D. n2+1 【考点】勾股定理. 【分析】根据勾股定理直接解答即可. 【解答】解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是： -i. =n2+1. 故选D. 【点评】本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是正确对（ n2- 1） 2+ （2n） 2进行分解因式. 4. 以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ） 2 3, 4, 5; （ 2）二 乙 三；（3） 32, 42, 52;（ 4） 0.03 , 0.04 , 0.05 . A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【考点】勾股定理的逆定理. 【分析】符合勾股定理的逆定理是直角三角形. 【解答】解：（1

8、）T 32+42=52,二是直角三角形，故（1）正确； 3 ：广，.气厂* 廿，二不是直角三角形，故（2）错误； 4 ：三广.丁二= = ,不是直角三角形，故（3）错误； 5 ： 0.032+0.042=0.05 2,.是直角三角形，故（4）正确. 根据勾股定理的逆定理，只有（1 ）和（4）正确. 故选：B. 【点评】本题考查了直角三角形的判定：当三角形的三边之间有 a2+b2=c2时，则它是直角三角形. 5. 等腰三角形的腰长为 10,底长为12,则其底边上的高为（ ） A. 13 B. 8 C. 25 D. 64 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质. 【专题】计算题. 【分析】先作底边上的

9、高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度. 【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为 x，根据勾股定理得：62+X2=102, 第 8页（共 19页） 解得：x=8. 故选B. 【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底 边的中垂线.然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度. 6. 五根小木棒，其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平 方即可. 【解答】解：A、72+242=252, 152+202 工 2

10、42, 222+202工 252,故 A不正确； B、 72 +242=252, 152+202 工 242,故 B 不正确； 2 2 2 2 2 2 C、 7 +24 =25 , 15 +20 =25，故 C 正确； D 72 +202 工 252 , 242+152 工 252，故 D不正确. 故选：C. 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长， 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可. 勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 a2+b2=c2,那么这 个三角形是直角三角形. 7. 如图，小方格都是边长为 1的正方形，则四边形 ABCD勺面积是（

11、）7 第 9页（共 19页） D 、 一一 / J / R A. 25 B. 12.5 C . 9 D. 8.5 【考点】三角形的面积. 【专题】网格型. 【分析】根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答. 【解答】解：如图：小方格都是边长为 1的正方形， 四边形 EFGH是正方形，SDEFG=EF?FG=5X 5=25 氓 X 1X 2=1, 4=4, AFET-7 FB?AF4 X 3X 3=5 S 四边形 ABC=SEFGHT SAAED_ SADCHT SBCG- SAAFET25 - 1 - 4 - 3 - 4.5=12.5 . 【点评】本题考查的是勾股定理的运

12、用，根据图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再 用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答. &三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b） 2=c2+2ab，则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 BC=-BG?GC= X 2X 3=3, 故选：B. F EG 第 10页（共 19页） 【考点】勾股定理的逆定理. 【分析】对等式进行整理，再判断其形状. BC=5 第 9页（共 19页） 【解答】解：化简（a+b） 2=c2+2ab,得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故选：C. 【点评】本

13、题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定. 9.A ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知/ C=90 , AC=30米，AB=50米，如果 要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 a元计算，那么共需要资金（ ） A. 50a 元 B. 600a 元 C. 1200a 元 D. 1500a 元 【考点】勾股定理的应用. 【分析】此题首先由已知厶 ABC中，/ C=90 , AC=30米，AB=50米，根据勾股定理求出另一条直角 边BC再求出面积，从而得出答案. 【解答】解：在 ABC中，/ C=90 , AC=30米，AB=50米， 二 BC=讥上丁=40 米， 共需要资

14、金为： X 40 x 30?a=600a元. 故选：B. 【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是先由已知结合勾股定理求出另一条直 角边，再求出面积即得答案. 10 .如图，AB丄CD于B,A ABDD BCE都是等腰直角三角形，如果 CD=17 BE=5,那么AC的长为 D B A. 12 B. 7 C. 5 D. 13 【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理. 【专题】探究型. 【分析】先根据 BCE等腰直角三角形得出 BC的长，进而可得出 BD的长，根据 ABD是等腰直角三 角形可知AB=BD在Rt ABC中利用勾股定理即可求出 AC的长. 【解答】解：

15、BCE等腰直角三角形，BE=5, 第 12页（共 19页） / CD=17 DB=CB BE=17- 5=12, ABD是等腰直角三角形， AB=BD=12 在 Rt ABC中， / AB=12, BC=5 AC= .= . - =13- 故选D. 【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答 此题的关键. 二、填空题 11 .如图为某楼梯，测得楼梯的长为 5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 【专题】应用题. 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得 水平宽度，然后求得地毯的长度即可.

16、【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度=|=4, 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是 3+4=7米. 故答案为7. 【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性. 12. 在直角三角形 ABC中，斜边 AB=2,贝U AB2+AC+BC=_8_.【考点】勾股定理. 第 13页(共 19页) 【专题】计算题. 【分析】由三角形 ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边 AB的长，可得出AB的平方及两直角 边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值. 【解答】解： ABC为直角三角形，AB为斜边

17、， AC+BC=AB 又 AB=2 AC+BC=AB=4, 则 AW+BC+CAAB ( BC+CA =4+4=8. 故答案为：8 【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平 方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 24 cm. 【考点】勾股定理. 【分析】设直角三角形的三边边长分别为 2n- 2, 2n, 2n+2,由勾股定理得：两直角边的平方和等 于斜边的平方，据此列出关于 n的方程，求出符合题意 n的值，即求出了直角三角形的三边长，之 后求出周长即可. 【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为

18、2n - 2, 2n , 2n+2.由勾股定理得： (2n- 2) 2+ (2n) 2= (2n+2) 2, 解得：n 1=4, n2=0 (不合题意舍去)， 即：该直角三角形的三边边长分别为 6cm, 8cm, 10cm 所以，其周长为 6+8+10=24cm. 【点评】本题主要考查了运用直角三角形的性质的能力，关键在于运用勾股定理得出三边之间的关 系，根据题意求出三边的边长.周长 =三边之和，求出周长. 14. 如图，在 ABC中，/ C=90 , BC=3 AC=4以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是第 14页(共 19页) 【考点】勾股定理. 【分析】根据勾股定理求出斜边，即可求

19、出半圆的半径，求出面积即可. 【解答】解：在 ABC中，/ C=90 , BC=3 AC=4 由勾股定理得：AB=5, 即半圆的半径为 ， 2 所以半圆的面积为XnX( .) 2丄 n, Z L ci 故答案为：一n. 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是求出半圆的半径，注意：直角三角形的外接 圆的半径等于斜边的一半，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 12m 一棵树高13m另一棵树高8m, 只小鸟从一棵树的顶 13 m. 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短, 运用勾股定理可将两点之间的距离求出. 【解答】解：两棵树

20、高度相差为 AE=13- 8=5m之间的距离为 BD=CE=12m即直角三角形的两直角边, 故斜边长AC= ； ! 1 =13m即小鸟至少要飞 13m.15.如图，在校园内有两棵树，相距 端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 【考点】勾股定理的应用. 第 15页（共 19页） 【点评】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，禾U用勾股定理解答即可. 16.如图， ABC中，/ C=90 , AB垂直平分线交 BC于D.若BC=8 AD=5贝U AC等于 4 【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理. 【分析】根据线段垂直平分线的性质可求得 BD的长，从而求得 CD的长，再根据勾股定理即

21、可求得 AC的长. 【解答】解： AB垂直平分线交BC于D, AD=5, / BD=AD=5 / BC=8 CD=BG BD=3 二 AC=L 專广=4 , 故答案是：4. 【点评】本题考查了线段垂直平分线定理以及勾股定理.求得 AD=BD是解题的关键. 17.如图，四边形 ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3, BE=4,阴影部分的面积是 19 【考点】勾股定理；正方形的性质. 【专题】计算题.第 16页（共 19页） 【分析】在直角三角形 ABE中，由AE与BE的长，利用勾股定理求出 AB的长，由正方形面积减去直 角三角形面积求出阴影部分面积即可. 【解答】解： AE BEAEB=

22、90 , 在 Rt ABE 中，AE=3, BE=4, 根据勾股定理得：AB= 7=5, 故答案为：19. 【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 18如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm,则正方形 A, B, C, D的面积之和为 49 cmf. 【考点】勾股定理. 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方 形的面积. 【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A, B, C, D的面积之和=49cm2. 故答案为：49c

23、mf. 【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换. 三、解答题 19. 如图，所示，四边形 ABCD中, AB=4, BC=3, AD=13 CD=12 / B=90,求该四边形的面积. A B 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理.则S阴影=S正方形 X 3x 4=25 - 6=19, 2 第 17页（共 19页） 【分析】由 AB=4, BC=3 / B=90 可得 AC=5.可求得 SABC;再由 AC=5, AD=13 CD=12 可得 ACD 为直角三角形，进而求得 SACD可求S四边形ABC=SABCSAACD 【解答】解：在 Rt ABC中，AB=4 BC=3则有AC= m“=5.

24、$品严吟 X 4X 3=6, 心 ACD中，AC=5, AD=13 CD=12 / AC+cD=52+122=169, AD=132=169 . AC+CD=AEJ,.A ACD为直角三角形, SAC亍 AC?CD= X 5X 12=30. : : -S 四边形 ABC=SABC+SAC=6+30=36 . 【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算. 20. 如图，已知一等腰三角形的周长是 16,底边上的高是 4求这个三角形各边的长. 【考点】等腰三角形的性质；勾股定理. 【分析】由于等腰三角形中底边上的高平分底边，故周长的一半为 利用勾股定理建立方程求解. 【解答

25、】解：设 BD=x则AB=8-x 由勾股定理，可以得到 ABBDJ+AD，也就是（8 - x） 2=x2+42, x=3, AB=AC=5 BC=6. 【点评】本题利用了等腰三角形的性质：底边上的高平分底边，及勾股定理求解. 21. 如图所示的一块地，/ ADC=90 , AD=12m CD=9m AB=39m BC=36m求这块地的面积. AB与BD的和，可设出未知数, 第 18页（共 19页） 【专题】计算题. 【分析】连接AC,根据直角厶ACD可以求得斜边 AC的长度，根据 AC BC, AB可以判定厶ABC为直 角三角形，要求这块地的面积，求 ABC与 ACD的面积之差即可. 【解答】

26、解：连接 AC, 已知，在直角厶 ACD中, CD=9m AD=12m 根据AEJ+CDUAC，可以求得AC=i5m 在厶 ABC 中，AB=39n, BC=36ng AC=15n, 存在 AC+CB=AB, ABC为直角三角形, 要求这块地的面积，求厶 ABC和 ACD的面积之差即可, S=SABC- AC= AC?BC_ CCPAD, :- : =一X 15X 36- 一 X 9x 12 , La =270- 54 , =216吊吊, 答：这块地的面积为 216ni. 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的 判定 ABC是直角三角形是解题的关键. 22. 如图，一架2.5米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AC上 ,这时梯足 B到墙底端C的距离为0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4米，那么梯足将向外移多少米？第仃页（共 19页） 【考