1219圆锥曲线与立体几何解答题附答案

1、周末解答题复习讲义一、解答题2 21. 已知 Fi( 1, 0)和 F2(l, 0) 是椭圆缶 +話= l(a>b>0) 的两个焦点，且点P(1，|) 在椭圆 C 上.(I) 求椭圆 C 的方程；(II) 直线 / ： y = kx + m(m > 0) 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，且与 x 轴和 y 轴分 别交于点 M, N,当AOMN面积取最小值时，求此时直线/的方程.2. 椭圆C:召+音=i(a>b>0)过点P(V3, 1)且离心率为乎，F为椭圆的右焦点，过F的直线 交椭圆 C 于 M, N 两点 , 定点 4(-4, 0).(I) 求椭圆 C 的方程；

2、() 若 AAMN 面积为 3 晅, 求直线 MN 的方程 .3. 已知椭圆方程为与 +苓=71>0>0), 离心率2 e =遐，且短轴长为 4. a2 b2 v(1) 求椭圆的方程；(2) 过点 P(2, 1) 作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程 .2 24. 如图， Fi ，F2 分别是椭圆 C: 右+話 =l(a0>O) 的左、右焦点，A 是椭圆 C 的上顶点， B 是直线 4 伤与椭圆 C 的另一个交点， " 尸 2 = 60。(1) 求椭圆 C 的离心率；(2) 若 a = 2, 求 AMFiB 的面积 .5. 已知椭圆C:召+召 =l(a>

3、;b>0)经过点P(l,弓)，离心率e =弓.(I )求椭圆C的标准方程；(U)设过点E(0, -2)的直线/与C相交于M, N两点，求AOMN面积的最大值6. 如图，已知椭圆召+音=1 (a> b>0)的离心率为乎，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点血，尸2为顶点的三角形的周长为P为该双曲线上异于顶点的任一点，D.4(72 + 1), 一等轴双曲线的顶点是该椭直线PF】和PF?与椭圆的交点分别圆的焦点，设为A、B和C、(I )求椭圆和双曲线的标准方程;(H)设直线PF- PF?的斜率分别为他、伦，证明kr-k2 = 1.7. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点F的坐标为(3,

4、0),直线Z : x + 2y-2 = 0交 椭圆于4.B两点，线段的中点为 M(l, |)；求椭圆的方程；(2)动点N满足M4丄NB,求动点N的轨迹方程.28. 如图，已知 N(苗，0), P是圆(% + V5) +y = 36(M为0心)上一动点，线段 PN的垂直 平分线m交PM于Q点.(1)求点0的轨迹(？的方程；(11)若山线卩：=9、如图，长方体求证：直线求证：直线ABCD - AiBiCiDiBDi "平面 PAC ;PBi丄平面PAC.中，AB=AD=1, AAi=2, 点P为DDi的中点.求三棱锥B - PAC的体积.10、如图，在四棱锥 P - ABCD中，底面 A

5、BCD是矩形，侧棱 PD丄底面AB ； CD, PD=DC, 点E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. 求证：PA 平面BDE ；（2） 求证：PB丄平面DEF.圆锥曲线解答题答案、解答题（本大题共8小题，共96.0分）9. 已知血（一1,0）和尸2（1,0）是椭圆召+音=l（a>b>0）的两个焦 点，且点P（1，|）在椭圆C上.（1）求椭圆（？的方程；（口）直线/: y = kx + m（m > 0）与椭圆C有且仅有一个公共 点，且与x轴和y轴分 别交于点M, N,当AOMN面积取最小 值时，求此时直线/的方程.【答案】（共13分） 解：（1）九（一 1, °

6、; ）和2（1, 0）是椭圆：召+苔=l（a>b>0）的两个焦点，且点P(1 , |)在椭圆C 上,.?.依题意，c = l,又 2a = J(l + l)2 + (j-0)2 + | = | = 4,故 a = 2. 所以沪=3.故所求椭圆C的方程为手+ A=1.(4分)（竺 + 疋=1 ”（11）由 43 ,消 y 得（4 以 + 3）送 + 8/cmx + 4 肌 2 12 = 0,vy kx + m由直线 / 与椭圆 C 仅有一个公共点知，= 64fc2m2 4（4fc 2 + 3）（4m 2 12） = 0, 整理得 = 4fc 2 + 3. . （6 分 ）由条件可得

7、k 丰 0, M（- 牛,0）, N（0, m）.所以 SAOMN -I= | |m| I =将肌2 =必+ 3代入，得 SAOMN = |（4|fc| +亩）.SAMN 有最小值 2V3.因为 |fc| >0,所以 SAOMN=|（4|fc| +A）2V3,当且仅当 k=A ，即 k = 土弓 时等号成立，2 2 2因为 m = 4k + 3, 所以 m = 6,又 m > 0, 解得 m = V6 （11 分） 故所求直线方程为 y =学+ 或 y = -fx + V6. . (13 分)【解析】 (I) 由 F】( 1, 0)和 F2(l, 0) 是椭圆的两个焦点，且点P(1

8、 ， 在椭圆 C 上，求岀a,b,由此能求岀椭圆 C的方程.(11)由 43 -,得(4/c2 + 3)x2 + 8kmx+ 4m2 12 = 0,由此利用根的判别式、 .y = kx + m 韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质，结合已知条件能求岀直线方程. 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档硅化木，解题时要认真审题, 注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质的合理运用.10. 椭圆C:召+着=l(a>b>0)过点P(V3, 1)且离心率为X F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆 C 于 M, N 两点，定点 4(-4, 0).(1)求椭圆 (

9、？的方程； ()若A4MN面积为3a/3,求直线MN的方程.2 2 2 2 2【答案】解：由题意可得：君+右=1,的乎，又a = b + c ,联立解得：a = 6/ b = 2/ c =2.?椭圆c 的方程为 : 兰 +疋=1.6 2(2)F(2, 0). 若 MW 丄咒轴，把 x = 2 代入椭圆方程可得：兰 +疋=1, 解得 y = ±逅?则 SAAMN = | X 6 x= 2A/6 工 3 丽, 舍去 . 若MN与兀轴重合时不符合题意，舍去因此可设直线MN的方程为：my = x-2.把x= my+ 2 代入椭圆方程可得： (m? + 3)y 2 + 4my 2 = 0.,4

10、m-2"y】 + 卩 2 = 一齐 ' yi-y2 = 玮 '""1 - y?l = V (7i + y 2)2 - 4A72 = J(畠)2 _ 4 X 总=驚 U).则 Smmn = I X 6 x ly! -y 2| = 3 x 弩U = 3 翻,解得m = ±-?直线MN的方程为：y = ± 2).【解析】由题意可得：窗+右=1,佔乎，又a2 = b2 + c2,联立解得：a?, b?, c.可得 椭圆C的方 程.(2)F(2, 0).若MN丄x轴，把x = 2代入椭圆方程可得：£+芬,解得y.则6 2SAam

11、n * 3V3,舍去？若MN与x轴重合时不符合题意，舍去.因此可设直线 MN的方程为：my = x - 2.把x = my. 22+ 2代入椭圆方程可得：(m + 3)y + 4my - 2 = 0 .可得|71 -y2l = J(yi + 丁 2) 2 - 4y 】y2?利用 Saamn = | x 6 x ly-t - y 21 = 3VW 可得岀.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.11. 已知椭圆方程为与 +芝=1>0>0),离心率e =逻，且短轴长为

12、4.a2 b2 k72(1) 求椭圆的方程；(2) 过点P(2, 1)作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程rc _ V3【答案】解：由已知得2a=4，解得;: Z 46,<a2 = b2 4- c22 2?椭圆的方程为二+仝=1.164(2)由题意知，直线的斜率必存在，设斜率为k,则所求直线的方程为 y -l = fc(x-2),代入椭圆方程并整理得(4以+ l)x2 一 8(2/ - k)x + 4(2k - I)2 - 16 = 0,设直线与椭圆的交点为4(尤1，y】)，B(X2> y2)>则Xi + X?=?P是 AB的中点，.？.竺也=4,解得fc =-;.4

13、k2+l2.?.所求直线方程为 y - 1 = - (x£ 2),即x + 2y - 4 = 0.【解析】根据椭圆的性质列方程组解岀a, b, c即可；(2)设直线斜率为斤，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得岀k的值，从而求岀直线方程本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，巧用根与系数的关系是解题关键，属于中档题.2 212. 如图，R>鸟分别是椭圆。：缶+話=l(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的 上顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，aaF2 = 60求椭圆C的离心率； 若a = 2,求厶AF】B的面积.【了案】角阶口)

14、市题息b知*心ZF出为塔辿2角形. ? a = 2c, a *:.e=,a 2c 2椭圆C的离心率*2 2 2由可知：a = 2c, a = 2, c = 1,则 b = a c , b = V3,2 2?椭圆方程为：-+人=1,43?4(0, V3), F2(|, 0),?直线AC 的斜率 k = -tanzXFtFz = -V3 ，?直线AC 的方程为 y - 0 = 1) = y3x + a/3>y = yj3x +?点B的坐标为一琴），所以W = W2+W2 =1 I F1F2 丨十丨 AO I +| I F2 丨十丨沟丨=i- : 2-V3+|-2- ? AFB的面积岀.【解析

15、】由题意可知：AAFiB为等边三角形，因此a = 2c, e =汁三=扌，即可求 得椭圆C的离心率；（2）由题意题意可知：当 a = 2,贝ijc = 1,由b2y2-c2 = 3,即可求得椭圆方程，由 直线的斜率k = -tanzXFL = -V3,即可求得直线方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，由Sa”b =SAFE + aBFiF2 = 2丨血尸2丨十丨AOI + - I血尸2 I十I yB I，代入即可求得4 AFB的面积.本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.13. 已知椭圆C:若+着 =l（ a>b>

16、;0）经过点P（ I,普），离心率 e =孕（I）求椭圆C的标准方程；（U）设过点E（ o, -2 ）的直线/与c相交于P, Q两点，求AOPQ面积的最大值.【答案】解：（I）由点P（ I,乎）在椭圆上得，a + a=i2 2由得严=3/ a = 4/ b = 1,2故椭圆c的标准方程为1 + y2 =仁.（5分）（U）当2丄兀轴时，不合题意，故设 Z： y = kx - 2,P（? 7i）, Q（s 力），2将y = kx- 2代入令+护=i,得：（1 + 4fc 2）%2 16kx + 12 = 0.4Vk2 + l-V4/c 2-34k2 + l=V/c 2 + l|%i x 2 =又点

17、0到直线PQ的距离d = 為，?'?A° 的面积 SNOPQ=疇厂.（9分） 设“4以-3 = t,贝吐> 0,_ 4七 _4OPQ = tA+4 =科4v t + - > 4,当且仅当2 2时，即"士Y时等号成立，且满足 A。，? OPQ的面积的最大值为 1.（9分）【解析】（I ）由点P（l,普）在椭圆上，离心率 e = Y求岀a, b,由此能求岀椭圆 C的标 准方程.（口）设 /:2y = kx 2, P（X, y】），Q（X2> y2）> 将 y = kx 2 代入 A- + y2 = 1,得（1 + 4/c2）%2 - 16kx +

18、 12 = 0.由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式，结合已知条件能求岀AOPQ的面积的最大值.本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与 方程思想、化归与转化思想，属于中档题.14. 如图，已知椭圆召 +着=1 （a>b>0）的离心率为乎，以该椭圆上的点和椭圆的4（72 + 1）, 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的直线PF】和PF?与椭圆的交点分别 为A、左、右焦点F, $为顶点的三角形的周长为 焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，B 和

19、 C、D.（I ）求椭圆和双曲线的标准方程；（口）汝直线PR、PFg的斜率彷别为好k2t讪:明kz = 1.【答案】解：（I）由题意知，椭圆离心率为 又 2a + 2c = 4（V2 + 1），解得：a = 2V2/2c = 2, 2? b = a c = 4,?椭圆的标准方程为-+A=1,84?椭圆的焦点坐标为(戈,0).?双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，27?该双曲线的标准方程为二-1 = 1;44(口)设点 P(Xo, yo)，xo+2I Xq2'Xq+2 Xq2 Xq4 又点 P(x °,y )在双曲线上， 普一普=1,即 yl=xl -4,【解析】(I)由

20、题意知，椭圆禺心率为a = V2c,及椭圆的定义得到又2a + 2c = 4(V2 + 1),解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；(口)设点P(xo, y °,根据斜率公式求得处、k2,把点P(%, y °在双曲线上，即可证明结果.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，等轴双曲线的求法，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，属于中档题.15. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点F的坐标为(3, 0),直线厶x + 2y - 2 = 0交 椭圆于4.B两点，线段 AB的中点为 M(l, |)；(1) 求椭圆的方程；(2) 动点N满足M

21、4丄NB,求动点N的轨迹方程.【答案】解：设椭圆方程为午+牛=1, (m > n > 0),设 AOi，y】)，Bg y2)>贝|( 心+兀2)(衍一兀 2)_ 01+力)01 力)mn? ?%! +% 2 = 2/ 71 + y 2 = 1? m = 4ri/ m = n + 9m = 12/ n = 3.椭圆方程为兰+疋=1；123由壬 + ¥ = 统 + 2y 2 = 0 得 y2-y-i = o,则为兀=一 1，yi + y 2 = 1因M4丄NB, ?动点N的轨迹是以 M为圆心，AB为直径的圆，=V( l + 22)(yi-y2)2 = 5,='手,故动点N的轨迹方程为(尢-1尸+ (y _ |)2=字【解析】(1)利用点差法，结合中点坐标公式，求椭圆的方程；动点N满足M4丄NB,动点N的轨迹是以 M为圆心，人B为直径的圆，即可求动点N的轨迹方程.本题考查椭圆方程，考查圆的方程，考查点差法的运用