13单摆学案10(鲁科版选修3

1、单摆重点难点1. 单摆的周期公式及其应用.（重 点）2. 单摆回复力的分析.（重点）3. 用近似法证明在偏角很小的条件下单摆的振动是简谐运动.（难点）课标解读1 .理解单摆振动的特点和单摆做简谐运动 的条件2. 了解影响单摆周期的因素，掌握单摆周 期的公式.3. 能利用T = 2n捎解释常见的涉及单摆4兀2的现象.学会用g- 丁 2测重力加速度.1*侑白主导学 理敛材自金自刷固"星础“耳 i/7网识11单摆的运动1. 基本知识（1）单摆模型把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆.（2）单摆的回复力 回复力的来源：摆球的重力沿圆孤切线方向的

2、分力 . 回复力的特点：在偏角很小时（通常 0<5°）,单摆所受的回复力与它偏离 平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F=罕X.（3）运动规律单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律.2. 思考判断（1） 单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略.（”（2） 单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略.(")(3) 单摆模型中对摆角的要求是小于 5° .(")3. 探究交流单摆做简谐运动的回复力是摆球所受重力与悬线对摆球的拉力的合力提供吗？【提示】单摆做简谐运动的回复力是摆球所受重力在圆弧切线方向

3、上的分知识2单摆的周期及应用1. 基本知识(1) 实验探究 探究方法：控制变量法 实验结论：a, 单摆振动的周期与摆球质量无关.b. 摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小.(2) 周期公式 公式：T = 2n，|. 单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关.(3) 利用单摆测定重力加速度(1 4n2l由T = 2nlw 得g=？可见，只要测出单摆的摆长和周期，就可测 重力加速度.的力.出当地的 单摆的摆长是从悬点到摆球球心的距离. 单摆的周期要用秒表测量多次全振动的总时间、求平均值.2. 思考判断(1) 摆长越长，摆球质量越大，周期越长(X)(2) 摆动幅度越大，周期越长.(X) 根据T = 2&

4、quot;；得g=故要测当地的重力加速度，只需测摆长和周图 1-3-13. 探究交流如图131所示，某同学家的摆钟走慢了，他认为是摆锤过轻造成的，因此，他在摆锤下方紧挨摆锤绑了一金属块.你认为他做的正确吗？【提示】这样做只能使摆钟走得更慢其实摆钟走得快慢与摆锤的轻重无§他绑了金关，因为单摆的周期公式是：T = 2TT属块之后，反而使摆锤的重 心下移，增大了 摆长，使周期进一步增加，而走得更慢.祥专互动探究敏婕艰师生互动M "知敢究作探单摆做简谐运动的条件【问题导思】1. 如何确定单摆运动的回复力？2, 如何证明单摆的运动是简谐运动？图 1-3-2判断单摆是否做简谐运动，可分

5、析摆球的受力情况，看回复力是否符合F =kx的特点，如图1 一 3 2所不.1. 在任意位置P,有向线段茹为此时的位移X,重力G沿圆弧切线方向的分力Gi = Gsin 0提供摆球以0点为中心做往复运动的回复力.2. 在摆角很小时，sin 9A9 =, Gi=Gsin。=罕, Gi方向与摆球位 移方向相反，所以回复力表示为FA=Gi = 一罕，令k=罕，则Fo = -kx.因此，在摆角0很 小时，单摆做简谐运动.（摆角一般不超过5。）3. 单摆做简谐运动的规律单摆做简谐运动的位移随时间变化的图象是一条正弦（或余弦）曲线回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化，其变化规律与 弹簧振子相

6、同.例如，当摆球到达最低点（平衡位置）时，位移、回复力、水 平加速度都等于零，而速度、动能都最大，而到达最高点（最大位移处）时，位移、回复力都最大，速度、动能都等于零.特别提醒1 .单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球 所受的合外力.2. 摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但 合外力和向心加速度都不等于零.3 .单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度（摆角小于5° ）摆动时才认为是简谐运动.，例n关于单摆，下列说法中正确的是（）A, 摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B. 摆球受到的回复力是它的合力C. 摆球经过平衡位置时

7、，所受的合力为零D, 摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比 【审题指导】【解析】 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆孤切线方向的分力 当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力， 方向指向悬点（即指向圆心）；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比 【答案】ArH规律总结I ）单摆中的"回复力"1 .单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弥切线方向的 一个分力单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处.2. 在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是 回复力3. 在平衡位置处时，由于速

8、度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力 为零，但合外力不为零.A迁活应用1. 关于单摆摆球在运动过程中的受力情况，下列结论正确的是（）A. 摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B. 摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C. 摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D. 摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向【解析】单摆在运动过程中，摆球受重力和绳的拉力，故 A错；重力垂直 于绳的分力提供回复力.当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最 大，摆球的加速度方向沿绳指

9、向悬点，故 C、D错，B对.【答案】B影响单摆周期的因素【问题导思】1. 如何确定单摆的摆长？2. 如何确定单摆系统中的等效重力加速度？1. 摆长(1) 实际单摆的摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度 即L = 1+|,其中，1为细线长，d为摆球直径. 等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离 例如图1 33中，甲、乙做垂直于纸面的小角度摆动.图 1-3-3甲的等效摆长：L中=Isin a+ §乙的等效摆长：L乙=Isin a+1+§2. 重力加速度周期与重力加速度有关，重力加速度越大，周期越短说明：影响g的主要因素(1) 单摆所处的空间位置地球表面

10、附近的物体一般即9=詈，可见，g随单摆高度的 变化而变化.在 越高的地方，离地心越远，g越小，周期越长.在不同星球上，M和R一般不 同，g也不同.因此公式中的g不-定等于9.8 m/s2.(2) 系统的运动状态如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a,则系统中的等效重力加速度gz =g+a,但单摆如果在轨道上正常运行的航 天舱内，摆球将完全失重，等效重力加速度 g' =0,单摆的周期无穷大，即单 摆不摆（3）单摆所处的场景如图1-3-4所示，单摆的周期T= 2兀.即此场景中的等效重力加速度g,=gsin 9 .特别提醒等效重力加速度g'由单摆系统的运

11、动状态和单摆所在的物理环境决定，一般 情况下等效重力加速度 g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力（视重）与摆球 质量的比值.一r图 1-3-5一个单摆的长为1,在其悬点0的正下方0.191处有一钉子P （如图1 - 3-5所示），现将摆球向左拉开到 A,使摆线偏角0<5°放手后使其摆动， 求出单 摆的振动周期.【审题指导】解答本题时可以按以下思路分析：找到偏角判断是否为简谐运动查看此摆由几个单摆构成利用单摆周期公式分别求出周期*将两个单摆的周期合成【解析】 释放后摆球到达右边最高点 B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动摆球做简谐运动的摆长有所变化，它

12、的周期为两个 不同单摆的半周期的和.小球在左边的周期为T=T2 =则整个单摆的周期为小球在右边的周期为【答案】丨规律总结求单摆周期的方法1 明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件 2 .在运用T = 2n捎时，要注意1和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同1和g时的运动时间.3. 改变单摆振动周期的途径是：改变单摆的摆长.（2）改变单摆的重力加速度（如改变单摆的位置或让单摆失重或超重）.4. 明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系.迁翳应用2. 如图1 3 6所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球 B放在MN上离最低点C很近的B

13、处，今 使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有 （）?AA. A球先到达C点B. B球先到达C点C. 两球同时到达C点D, 无法确定哪一个球先到达C点【解析】A做自由落体运动，到C所需时间tA =言,R为圆弧轨道的因为圆弧轨道的半径 R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给 它的支持力和重力的作用下沿圆弧作简谐运动 (等同于摆长为R的单摆)，则运动 到最低点C所用的时间是单摆振动周期的,即tB= §=与偈tA ,所以A球先到 达C点【答案】A_七2实验：利用单摆测重力加速度1.实验原理4 Ji 21由单摆周期公式T = 2n*得g=，只要测出单摆的摆长1和振动周 期T,就 可

14、以计算出当地的重力加速度.2实验步骤(1) 做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记.如图1 3 7所示.图 1-3-7(2) 测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度 1线，用游标卡尺测量出摆球的直径d,则单摆的摆长1 = 1线+§(3) 测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5。的角，然后释放摆球，当单 摆振动稳定后，过平衡位置时开始用秒表计时，测量N 次( 一般取 30? 50次)全 振动的时间 t, 则周期 T=§.(4) 改变摆长，重复实验多次 .3. 数据处理4 Ji 21(1) 公式法：将每次实验得到的1

15、、T代入g=A算重力加速度，然后求 平均 值.4 兀之(2) 图象法：作出丁 2 1 图象，由函数丁 2=一厂 1,可知丁 2 1 图象为一 条过原 4 55. 误差分析(1) 系统误差：如悬点不固定、摆线不符合要求、振动不在竖直平面内、振 幅过大等.(2) 偶然误差：如周期测量不是从平衡位置开始计时的、测量全振动次数过 少、测量摆长时漏记摆球半径等 .例/根据单摆周期公式T = 2兀捎，可以通过实验测量当地的重力加速度.4 JI 24 Ji2点的倾斜直线，其斜率k=,即重力加速度g=A.5K4. 注意事项(1) 实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球 要选取密度大且质

16、量分布均匀的钢球 .(2) 单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于 5。.(3) 测摆长 1 时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长 加 上小球半径 .(4) 应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时 计数.(5) 适当增加测量的全振动次数，以减小测量周期的误差，一般 30? 50 次即 可.如图1 3 8所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做了单摆圏 1-3-9用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图 13 9所示，读数为mm.(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有 .a. 摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b. 摆球尽

17、量选择质量大些、体积小些的c. 为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平 衡位置有较大的角度d. 拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5。，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔At即为单摆周期Te. 拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于 5°释放摆球，当摆球振动稳 定 后，从平衡位置开始计时，记下摆球做 50次全振动所用的时间At,则单摆周【解析】(1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18mm + 6X0.1 mm=18.6 mm.(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小，密度大的； 偏角不超过5。.故a、b正确，

18、c错误.为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间.故d错误，e正确.【答案】(1)18.6 (2)abe?迁翳应用一3. 用单摆测定重力加速度，以下正确的是()4 Ji 21、A. 由g= 丁 2看出，T 一？定时，g与1成正比4 Ji 21B, 由g= 丁2看出，1 一定时，g与丁 2成反比4 Ji 21C, 由于单摆的振动周期T和摆长1可用实验测定，利用g=可算出当 的重力加速度D. 同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比 【解析】 用单摆测重力加速度的原理是用公式 T = 2TT ,变形得g =4n

19、21，测出T、L即可求得g.故C项正确.【答案】C理想模型一 0V5°周期T.2 兀_!1重力加速度的测定gA 7【备课资源】（教师用书独具）伽利略伽利略1564年2月15日生于比萨，1574年全家迁往佛罗伦萨.父亲芬琴 齐奥? 伽利莱精通音乐理论和声学，著有音乐对话一书 伽利略自幼受父亲 的影响，对 音乐、诗歌、绘画以及机械兴趣极浓；也像他父亲一样，不迷信权威.17岁时遵从父命入比萨大学学医，可是对医学他感到枯燥无味，而在课外听世交、著名学者。?里奇讲欧几里得几何学和阿基米德静力学，激发出了浓厚兴趣.1583年，伽利略在比萨教堂里注意到一盏悬灯的摆动，随后用线悬铜球做模拟（单摆）实

20、验，确证了微小摆动的等时性以及摆长对周期的影响，由此创制出脉搏计，用来测量短时间间隔“单摆的周期与摆长的平方根成正比，而与振幅大小和摆锤重量无关这个规律的发现为此后的振动理论和机械计时器件的设计方案建立了基础.惠更斯惠更斯从实践和理论上研究了钟摆及其理论.1656年他首先将摆引入时钟， 制 成摆钟，以取代过去的重力齿轮式钟.对摆的研究是惠更斯所完成的最出色的 物理 学工作多少世纪以来，时间测量始终是摆在人类面前的一个难题，当时的 计时装 置诸如日唇、沙漏等均不能在原理上保持精确，直到伽利略发现了摆的等时性，惠更斯将摆运用于计时器，人类才进入一个全新的计时时代 当时，惠更斯的兴趣集中在对天体的观

21、察上 . 在实验中，他深刻体会到了精 确计 时的重要性，因而便致力于精确计时器的研究 . 当年伽利略曾经证明了单摆 运动与物 体在光滑斜面上的下滑运动相似，运动的状态与位置有关 . 惠更斯进一 步确定了单摆 振动的等时性并把它用于计时器上，制成了世界上第一架计时摆 钟. 这架摆钟由一些 大小、形状不同的齿轮组成，利用重锤做单摆的摆锤，由于 摆锤可以调节，计时比 较准确.当 专双基达标 随堂妹主生互动达 " 双标” 与榇彳1. （多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（）A. 摆线质量不计B. 摆线长度不伸缩C. 摆球的直径比摆线长度小得多D. 只要是单摆的运动就是

22、一种简谐运动【解析】 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量 不 计大小，且摆线不伸缩， A、B、C 正确. 但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小（ 0<5°）的情况下才能视单摆运动为简谐运动 .【答案】 ABC2, 下述哪些情况下，单摆的周期会增大（）A. 增大摆球质量B. 缩短摆长C. 减小单摆振幅D. 将单摆由山下移到山顶【解析】 由单摆的周期公式T = 2TTR可知，g减小时周期会变大，正确 答案为 D.【答案】 D图 1-3-103.（2013-贵阳检测）如图1-3-10所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球1,两线与竖直方向的夹角均为

23、a,当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为（）A.B. 2 J1 '1/21ci>s uI 2 Ji/icos aC.V £成了所谓的双线摆，若摆线长为【答案】D1 3 11 所4. （ 2013-西安检测）一单摆做小角度摆动，其振动图象如图示，以下说法正确的是（）A. h时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小B. t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小C. t3时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最大D. t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大【解析】 在h时刻，摆球处于最大位移处，速度为零，在 t2时刻，摆球处 于平衡位置，速度最大，所以 A、B选项错误，在t3时

24、刻摆球处于最大位移 处，速度为零、拉力最小，在t4时刻，摆球处于平衡位置，速度最大、拉力最 大，所【答案】D1. 关于单摆，下列说法正确的是（）A. 摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力B. 摆球经过轨迹上的同一点速度是相同的C. 摆球经过轨迹上的同一点加速度是相同的D. 摆球经过平衡位置时受力是平衡的【解析】摆球运动的回复力由重力沿圆孤切线方向的分力提供，A错.根据简谐运动的对称性可知摆球经过轨迹上的同一点时速度大小相等，方向可能相 同，也可能不同.加速度的大小、方向都相同，故B错，C对.摆球经过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，并不平衡，所以D错.【答案】C2. （2011-上海高考

25、）两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平 初 速Vi、V2 （V1>V2）在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为 fl、和 Ai、A ,贝！ J （）A. A = A）B.A = AC. fi = 3，Ai>Az D. fi = 6，A1VA2【解析】单摆的频率由摆长决定，摆长相等，频率相等，所以A、B错误；由机械能守恒，小球在平衡位置的速度越大，其振幅越大，所以C正确，D错误.【答案】C3.两个单摆在相同的时间内，甲摆动45次，乙摆动60次，贝"（）A.甲、乙两摆的周期之比为3 : 4B.甲、乙两摆的频率之比为9：16C.甲、乙两摆的摆长之比为4： 3

26、D.甲、乙两摆的摆长之比为16： 9tt T 田 604【解析】 设摆动时间为t，则T甲二房，T乙二而可得代二彰二亍弋可得賽护学故选D【答案】D4. （多选）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建 议，其中对提高测量结果精度有利的是（）A. 适当加长摆线B. 质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C. 单摆偏离平衡位置的角度不能太大D. 当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时 间间隔作为单摆振动的周期【解析】单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的 测量精度 . 适当加长摆线长度有利于把摆球看成质点，在摆角小于5。的条件下，摆球的空

27、间位置变化较大，便于观察，选项 A 对.摆球体积越大，所受空气阻 力 越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项 B 错. 只有在小角度的情形下， 单摆 的周期才满足T = 2TT，选项C对.本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于摆球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振 动的时 间太短，偶然误差较大，选项 D 错.【答案】 AC5. （2013-青岛高二检测）一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球 表 面受到的万有引力的 1/4. 在地球走得很准的摆钟搬到此行星后，此钟的分针 走一 整圈所经历的时间是（）A. 1/4 h B. 1/2 hC. 2h D. 4h【解析】 由

28、题知g星=%地，由T = 2tt湍知,摆钟搬到行星上后其周期 变为 地面上周期的2倍，因而此钟的分针走一圈所经历的时间为 2 h ,故C项正 确.【答案】 C6. 如图 13 12所示，光滑槽的半径 R 远大于小球运动的孤长，今有两 个小球（视为质点）同时由静止释放 . 其中甲球开始离圆槽最低点 0较远些，则它 们第一次相遇的地点是在（）A. 。点B. 0点偏左c. 0点偏右D.无法确定，因为两小球的质量关系未知【解析】因为槽半径R远大于小球运动的弧长，所以小球的运动可看成单摆模型，由T = 2n VI知，两球经在最低点0相遇，选项A正确【答案】A7. 如图1 3 13所示为两个单摆的振动图象

29、，从图象中可以知道它们的()A .摆球质量相等B,振幅相等C. 摆长相等D.摆球同时改变速度方向【解析】 由图象可知，两单摆的周期相等，则摆长相等，无法确定质量关 系，故A错，C对.由题图可知振幅不同，且两个摆球不能同时到达最大位移 处，即速度方向不能同时改变，故 B、D错【答案】C8. （多选）如图1-3-14所示为甲、乙两单摆的振动图象，贝"（）A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为1甲：1B. 若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为1甲：1乙=4 : 1C. 若甲、乙两单摆的摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速

30、度之比为 g中：g乙=4 : 1D. 若甲、乙两单摆的摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为 g中：g乙=1 : 4【解析】 由题图可知T, : Tz = 2 : 1 ,若两单摆在同一地点，则两摆长之 比 为1甲：1乙=4 :1，故B对，A错；若两单摆的摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲：g乙=1 : 4,故C错，D对.【答案】BDQC 图 13-159. 如图1 3 15所示，三根细线于。点处打结，A、B端固定在同一水平 面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，ZBAO = 30° ,已知线0C长是 L,下端C点系着一个小球.下面说法中正确的是（）A. 让小球在纸面内摆动，周期 为T = 2e余B. 让小球在垂直纸面方向摆动，其周期为 T = 2nC. 让小球在纸面内摆动，周期为 T = 2n骨D. 让小球在垂直纸面内