代数几何综合题(含答案)

1、代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的 中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几 何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导 数，以数促形。例1、如图，已知平面直角坐标系中三点 A（2, 0），B（0，2），P（x，0）（x 0），连结BP,过P点作PC PB交过点A的直线a于点C（2, y）（1）求y与x之间的函数关系式；AQ CA（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标解：（1） PC PB,BO POCPAOPB 90 , PBOOPB 90A（2, 0），C（2, y）CPAPBO在

2、直线a上BOP1PAC 90BOPPACPOBOIxi2ACPA|y|凶2x21 2x 0,y 0, yx xy2x2（2）x 0,x的最大整数值为1 ,当x1时，y3CA -22BO / /a，BOQ（AQ, OQBO设Q点坐标为（m, 0），则AQ 2 mm28, m 2 m 3728Q点坐标为耳,0）说明：利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是 搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系练习1.如图，从。O外一点A作的切线AB AC切点分别为B、C,OO的直径BD为6,连结CD A0.求证：CD/ AO （3分） 设CD= x, A0= y，求y与x之间的函数关系式，并

3、写出自变量 x的取值围；（3分）（3）若 AO CD= 11,求 AB的长。（4 分）B2如图，A B两点的坐标分别是（xi, 0）、（X2, O）,其中xi、X2是关于x的方 程 x2+2x+m-3=O 的两根，且 xi<0<X2.(1) 求m的取值围；(2) 设点C在y轴的正半轴上，/ ACB=90，/ CAB=30，求m的值；(3) 在上述条件下，若点D在第二象限， DABA CBA求出直线AD的函数 解析式3矩形纸片OAB(平放在平面直角坐标系，0为原点，点A在x的正半轴上,点C在y轴的正半轴上，025，0C= 4 如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐

4、标； 在中，设BD与CE的交点为P,若点P，B在抛物线y x2 bx c 上, 求b，c的值；若将纸片沿直线I对折，点B落在坐标轴上的点F处，I与BF的交点为Q, 若点Q在的抛物线上，求I的解析式。4、（2005年）一矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系，O为原点，点A在x 的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上，OA= 5，OC= 4。 求直线AC的解析式； 若M为AC与 BO的交点，点M在抛物线y 8x2 kx上，求k的值；5 将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在的抛 物线上，并说明理由。ey1r*ECXB*广、 *D/10第砲魁厘涉* J5已知：在矩形ABCD中, AB

5、=2 E为BC边上的一点，沿直线DE将矩形折叠， 使C点落在AB边上的C点处。过C 作C H丄DC C H分别交DE DC于点G H,连结CG CC , CC 交GE于点F。(1) 求证：四边形CGC' E为菱形；C' e dg(2) 设sin CDE x，并设y，试将y表示成x的函数;DE(3) 当(2)中所求得的函数的图象达到最高点时，求 BC的长能力训练1、已知抛物线y x2 2x m(m 0)与y轴的交于C点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C'。(1) 求抛物线的对称轴及C、C的坐标(可用含m的代数式表示)；(2) 如果点Q在抛物线的对称轴上，点 P在抛物线上，

6、以点C、C'、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 Q点和P的坐标(可用含m的代数式表示)；(3) 在(2)的条件下，求出平行四边形的周长。2、如图，抛物线y ax2 bx c(a 0)与x轴、y轴分别相交于A (- 1, 0)、B (3, 0)、C ( 0, 3)三点，其顶点为 D.注：抛物线y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标为b 4ac b22a' 4a(1) 求：经过A B、C三点的抛物线的解析式；(2) 求四边形ABDC勺面积；(3) 试判断COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似, 请说明理由.3、如图，Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4 B

7、A=5点P是AC上的动点(P不与A C重合)设PC=x点P到AB的距离为y(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心,相应的x的取值围。半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出4、如图，在正方形ABCDK AB=2 E是AD边上一点(点E与点A，D不重合).BE 的垂直平分线交AB于M交DC于 N.(1) 设AE=x四边形ADN啲面积为S,写出S关于x的函数关系式；(2) 当AE为何值时，四边形ADNM勺面积最大？最大值是多少？TC05、如图，在直角坐标系中，点 M在y轴的正半轴上，。M与x轴交于A, B两 点，AD是OM的直径，过点D作OM的切线，交x轴于点C.已知点A的坐标 为

8、(一3, 0)，点C的坐标为(5，0).(1) 求点B的坐标和CD的长;(2) 过点D作DE/ BA 交。M于点E,连结AE求AE的长.6如图，已知：AB是定圆的直径，0是圆心，点C在。O的半径A0上运动,PCL AB交。0于E,交AB于C, PC=5 PT是。0的切线(T为切点)。 当CE正好是O 0的半径时，PT=3,求O 0的半径；当C点与A点重合时，求CT的长；(3) 设P=y, AC=x写出y关于x的函数关系式,并确定x的取值围。答案：练习1、(1)连结BC交0A于点E略(2)v CD/ AO 二/ 3=/ 4.t AB是O O的切线，DB是直径,/ BCDZ ABO90°

9、山 BDSAAOB.BD = DCAO OB.6 x. .18 y=x.0v xv 6y3（3）由已知和（2）知x + y=11 xy=18解这个方程组得：x1 = 2x2=9 （舍去）.ABy1=9y2=2、92 32=、72=6、2 .2. 解: (1)由题意，得22-4(m-3)=16-m>0 x iX2=m-3<0得m<4解得m<3所以m的取值围是m<3由题意可求得/ OCBMCAB=30 .所以 BC=2BO AB=2BC=4B.O 所以AO=3BO（4分） 从而得 x i=-3x2.又因为 x i+X2=-2 .联合、解得Xi=-3 , X2=1.代入

10、 xi X2=m-3,得 m=O过D作DF丄轴于F.从 可得到A B两点坐标为A(-3 , O)、B(1 , O).所以 BC=2 AB=4 OC=3因为 DABA CBA所以 DF=CO=3 , AF=BO=1 OF=AO-AF=2所以点D的坐标为(-2 , 、3).直线AD的函数解析式为y= . 3 x=3.3（1）据題栽知CD = CB - 5-V ZCOD = R厶 OD « J3 一记工乂 3. D点蟹标为（3.0）. 过P作PG丄工轴于G据题知兀 ABPD = PB.： PG p *AB =» 2>DG =» -.AD = 1»P点塑标

11、为（4.2）.V点PB在雄物线y =分+虹+ c上，： b = 7 c w 14. 当点F在紬上时过Q作QM丄工铀于" 同可知QM " yAB - 2.W Q点的纵坐标为2. 得 x2-7x+U = 2,： x = 3 或工=4>Q点的坐标为（3.2）或（4.2）.当Q点坐标为（3.2）时如图.avf H 3.MA沃2.FA = 4.AB « 4FA = AB.而/为BF的中垂线, 点A在/上.4、 V CH 5,0C = 4A A(S,0)fC(Ot4),得AC的篇析武为，n-"令j： + 4. 可知M点坐标为得.由题设知 (-|*)£

12、 + & 寺 2, T CD = CB 也 QA = S.OC = 4.IIZCOD =刃厶：* 0D = 31:* D(3,0).当 x = 3 时 *$=2x3' +当 X3= 0«a5二点D在抛物线上*:、I的解析式为y =丄+ 5,当Q点堂标为(4,2)时*如图(jM = 4,M4 = 1.QF = 3.CF =头而CB :.CF = CB.叮i为BF的中垂线.点C在/匕.-【的解析式为了 =一*工+ 4.当点Fy轴上时，可求得Q(訂¥山与歹轴交点为(0占)*： I的解析式为y 2jc +4”综上F的解析式为y =jt+ 5或y =* -jc + 4

13、或y s= 2工+更.45. (1)根据题意，C C两点关于直线DE成轴对称，DE是线段CC的垂直平分线，故 DO DC , GC= EC，/ C EG=Z CEG由 C H± DC BCL DCW： C G/ CE,/ C GE=Z GEC vZ C EG=Z CEG/ C GE=Z C' EG 二 C G= C E, C G= C E= EO GC四边形CGC为菱形DE由(1)得：CC 丄 CE 又 DCL CE, Rt C EF Rt DEC，.C'EEFDEEC'，即 C'E2DE ?EF.EFC'E2(CE)2 x2DG"D

14、EDE2(DE)x，DEC'EDG C'E DGxDEDEDEDE GEDE(2)解法一：由题意知：在厶 RtDCE中,CEsin Z CDE= xEF2 -DE1 2x22，即y2x2 x解法二：设DE= a，由sinCEZ CDE=ce =x，贝U CE=ax 又 DC! CE CF丄 DE,DE爼匹EFFE CECE2DE(ax)2aax2DG= DE -2EF= a-2ax2，DG 7DE 8DG2此时1 2xDE7，由 DH= 2,得 Dd -一4在 Rt DHC 中 C'H、DC'2 DH 24 4916.1542.C'E DG CE DG

15、ax a 2ax “22 dx 1 2x y=-2x +x+1 DEDE由(2)得：y+x+G 2(x1可见，当x=-时，此函数的图象达到最高点,4DH GH/ CE 二DC BO 1154能力训练1、(1)所求对称轴为直线x = 1 C (0, -m) C '( 2, -m)(2) 满足条件的 P、Q坐标为 P(-1 , 3-m), Q( 1, 3-m); P' (3, 3-m)Q( 1, 3 m； p( 1, -1-m), Q (1,1-m)。(3) 所求平行四边形周长为4 2.10或4、. 2 o2、解：(1) y x2 2x 3(2)由(1)可知 y (x 1)2 4顶

16、点坐标为D (1,4 ),设其对称轴与x轴的交点为E1-S AOCAO ?oc1 -1 2332S梯形 OEDC DCDEOE丄 341722 21 1SDEB-|EBDE22 4437S四边形 ABDC S AOCS梯形 OEDCS DEB 22 49(3)A DCB AOC相似证明：过点D作y轴的垂线，垂足为FDCF= 45° D (1,4 ),二 Rt DFC中, DC=4，且/ 在 Rt BOC中, Z OC圧45°, BO 3,2/ AOGZ DC*90°匹 BC 2 DCB AOCAO CO 13123、(1)过 P作 PQLAB于 Q 则 PQ=y

17、, y3x 生(0 x 4)553123(2)令 x<y，得：x-x一，解得：x-5523当0 x -时，圆P与AB所在直线相离；23x -时，圆P与AB所在直线相切；23-x 4时，圆P与AB所在直线相交24解：连接ME设MN交BE于P,根据题意，得MB=MEMNL BE 过N作AB的垂线交 AB于F,在 Rt MBP和 Rt MNF中,Z MBPZ BMN=90 , Z FNMZ BMN=90 , Z MBPZ MNF又 AB=FN - RTEBA Rt MNF 故 MF=AE=x在 Rt AME中 AE=x ME=MB=2-AMa (2-AM)2=x2+aM.解得AM= -x24所以四边形ADNM勺面积o AM DN S21 2 x x2ADAM AF22AMAE2.即所求关系式为1 2 S -x222x当 AE=x=1 时,四边形ADNM勺面积的值最大。5.解：(1)v MO丄 AB,： OA= OB. A点坐标为（一3, 0）, B点坐标为（3,0).最大值是D25图8-52O B C x CD是OO的切线， CD2= CB- C心2X 8= 16. CD= 4.(3)v AD 是直径， DB丄AB, BD= DC- BC= 42- 22 = 2