北京市西城区2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题理

1、1 / 9北京市西城区 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题理试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟题号-一-二二三本卷总分151617181920分数一、选择题：本大题共一项是符合要求的8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有1复数空 （1 i）(A)1 i(B)1 i（C）1 i（D）1 i2.已知函数f（x）X Z八e,则f ( 1)(）11（A）-（B）（C）e（D）ee丨e1 13.甲射击命中目标的概率为1，乙射击命中目标的概率为1.现在两人同时射击目标，则（A）af（1） f（2）（B）f（1） af（2）（C）f（2） f（1）a（

2、D）f（1） f（2）a目标被击中的概率是（2)3(A)11（B）（C）2（D）543364.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示, 设f（2）_f（1）a，则下列不等式正确的是（2 12 / 95. 直线yx与抛物线yX2所围成的封闭图形的面积是（）1(A)1（B）1（C）-1（D）1128646.用1,2,3, 4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）（A）16个（B）12个（C）9个（D）8个3 / 97.函数f(x) x .,.2 sinx在区间0,上的最大、最小值分别为() |(A),0(B) 2 ,02(C,41(D)0 , 148. 5 个黑球和

3、 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是()(A)总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(B)总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(C)总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分.把答案填在题中横线上19.曲线y在x 2处切线的斜率为_ .x110.(2x -)4展开式中的常数项是 _ .(用数字作答)x11.离散型随机变量的分布列为：123PP1P214且E 2，则 5 _；P2 _.12.某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目

4、甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_ 种.14.已知，对于任意x R,exax b均成立.1若a e，则b的最大值为_；2在所有符合题意的a,b中，a b的最小值为 _三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题满分 13 分)_313.若函数f(x) ax2ax x在区间(1,0)上恰有一个极值点，则a的取值范围4 / 9在数列an中，ai1, an 1 - a.1，其中n 1,2,3丄n(I)计算a2,a3,a4,a的值；(n)根据计算结果，猜想a.的通项公式，并用数学归纳法加以证明16.(本小题满分 13 分)

5、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 丄与p，且乙投球 221次均未命中的概率为16(I)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(n)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率17.(本小题满分 13 分)已知函数f(x) x33ax2.(I)若a 1,求f (x)的极值点和极值;(n)求f(x)在0,2上的最大值.18.(本小题满分 13 分)一个袋中装有黑球，白球和红球共n(n N*)个，这些球除颜色外完全相同.已知从袋2中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2.现从袋中任意摸出2个球.5(I)用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值(直接写出n

6、的值)4(n)若门15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中5 / 97红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.19.(本小题满分 14 分)已知函数f(x) ax2bx和g(x) ln x.(I)若a b 1,求证：f (x)的图象在g(x)图象的上方;(n)若f (x)和g(x)的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围20.(本小题满分 14 分)已知函数f(x) (x 1)ex.(I)求f (x)的单调区间；(n)证明：当a 0时，方程f (x) a在区间(1,)上只有一个解；(川)设h(x) f (x) aln(x 1) ax，其中a 0.若

7、h(x) 0恒成立，求a的取值范围北京市西城区 2016 2017 学年度第二学期期末试卷高二数学(理科)参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. A ； 2.D ； 3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ； 8. B .二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. ；10.24；11.,；12.42；4421113.( , )；14.0；.5e6 / 9注：一题两空的题目，第一空2 分，第二空 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15. (本小题满分 13 分)解：(I)根据已

8、知，a24；a99；a416；a525. 4 分(n)猜想ann2. 6 分证明：当n 1时，由已知a11；由猜想，a1121，猜想成立.8 分假设当n k(k N)时猜想成立，即akk ,.10 分k 2k 222则n k 1时，ak 1k 2ak1 -2k21 (k 1)2.kk所以，当n k 1时，猜想也成立. 12 分2 *由和可知，ann对任意的n N都成立. 13 分16. (本小题满分 13 分)解：(I)设甲投球一次命中”为事件A,1 _ 1则P(A) , P(A). 2 分22_ _ _ q故甲投球2次至少命中1次的概率为1 P(A A) 1 P(A)P(A) . . 5 分

9、4(n)设“乙投球一次命中”为事件B.1由题意得P(B B) (1p)(1 p) ,.7 分1635解得p 或一(舍去)，4431所以P(B) P(B)丄.8 分447 / 92 次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中.9分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以32 323所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为-. 13 分817.(本小题满分 13 分)解: ( I)当a 1时，f (x) x33x2,f (x) 3x26x.2 分令f (x) 3x26x 0,得x 0或x 2.f (x)与f (x)在R上的情况如下:x(,0)0(0,2)2

10、(2,)f (x)00f(x)Z04Z. 4分 所以，函数f (x)的极大值点为x 0,极大值为0；极小值点为x 2，极小值为4. 6分2(n)f (x) 3x 6ax 3x(x 2a).7 分1当a 0时，f (x)0(仅当x 0时，f (x)0)，函数f (x)是增函数，f (x)在0,2上的最大值为f(2)812a8.8 分2当a 0时，在区间(0,)上f (x)0,函数f (x)是增函数.当a 0时，f (x)与f (x)在区间(0,)上的情况如下:x0(0, 2a)2a(2a,)f (x):00f(x)0f( 2a)Z11 分此时，f(0)0,f(2)8 12a.2当8 12a 0,

11、即卩a 0时，f (x)在0,2上的最大值为f(2) 8 12a. 12 分32甲、乙两人各投球两次.甲中两次，乙中一次的概率为P(A)P(A)C；甲中一次，乙中两次的概率为C2P(A)P(A)P(B)3一339一321-43-411 分12 分,所求事件概f (x)在0,2上的最大值为f (2)8 12a.10 分8 / 9当8 12a0，即a-时，f(x)在0,2上的最大值为f (0)0. 13 分32综上，当a时，f (x)在0,2上的最大值为0；当a32-时，f(x)在0,2上37 分x的最大值为812a.18.(本小题满分 13 分)2解：(I )依题意有2n个黑球记“摸出的 2 球

12、都是黑球”为事件A,5P(A)最小时n 5.2(n )依题意有156个黑球. 6 分5设袋中白球的个数为x(个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B,C242则P(B) 1葺，整理得x 29x 120 0,C257解得x 5或x 24(舍).8 分所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X的取值为0,1,2. 9 分P(X 0) C111；P(X 1) CC144出;P(XC22) C2C1521C15105C1535X的分布列为:X012P114422110535是增函数.则P(A)C；n _5_C72 2n(n 1)55_n(n 1)4n 1025n 251144数学期望EX

13、0上42110519.(本小题满分 14 分)23581513 分解: ( I)当a设h(x) x2则h (x) 2x所以，在区间b 1时，f (x)x In x,x.1 2x21 -x1x2(2x1)(x 1)(0,)上h(x)2h(x)是减函数;1在区间(3，)上h (x) 0,h(x)1所以，h(x)的最小值为皿乡34即f (x)的图象在g(x)图象的上方in1，又3240，所以h(x) 0恒成立.7 分x(n )设P(x,y1g (x)-x因为在点P处的切线相同,12所以2axb , y axbx, y In x.11 / 9此时F(1) a 10.所以F(x)有零点.13 分1综上，

14、所求a的取值范围为匕，).14 分2e20.(本小题满分 14 分)解：(I)由已知f (x) ex(x 1)exxex. 2 分所以，在区间(，0)上f (x)0,函数f(x)在(，0)上单调递减，在区间(0,)上f (x)0,函数f(x)在区间(0,)上单调递增.4 分(n)设g(x) f (x) a (x 1)exa,a 0. 5 分g (x) xex，由(I)知，函数g(x)在区间(0,)上单调递增.且g (1) a 0,g(a 1) aea 1a a(ea 11) 0.所以，g(x)在区间(1,)上只有一个零点，方程f ( x )a在 区 间(1 , )上 只 有 一 个解8 分(川

15、)设h(x) f (x)aln(x 1)ax,a0,h(x)定义域为x| x 1,xah (x) xea x(exa1)xx(x 1)e a,.9 分x 1x 1x 1消去b, y0得ax：In Xo10.根据题意，方程axoIn xo10有解.设F(x) ax2In x 1，则F(x)在(0,1 2ax21F (x) 2axx x.8 分 )上有零点当a 0时，F (x)0,函数F(x)在(0,)上单调递增当a 1时，F(1) aF(1a)In丨1 In-L 0,F(x)有零点. 、a. a当0 a 1时，F(1)0，F(e2)ae210,F(x)有零点.11 分当a 0时，令F (x)0，解得xx(莒)F (x)0F(x)Zln仁212?.鳥a.F (x)与F (x)在30,得a令In212 / 9令h(x) 0,则(x1)exa013 / 9由(n)知，g(x) (x 1)exa在区间(1,)上只有一个零点，是增函数