北师大版初中数学七年级上册《综合与实践制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子》赛课导学案_0

1、课题制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子设计人教材分析“制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子”是北师大版义务教育教科书七年级上 册综合与实践的一个课题，是一个关于数学应用的典型课题。按照标准的要求， 综合与实践是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。经过一个学期的学习，学生已掌握了图形的展开与折叠，字母表示数，代数式求值，简单的统计图等知识，本节课是对这些知识的一个综合应用。面对一个实际问题学会从数学的角度发现问 题，提出问题和解决问题，获得分析和解决问题的一些基本方法和经验， 同时学会综 合运用数学知识和现代教学工具图形计算器来解决实际问题，提高学生综合运用知识 的能力并培养学生的实践探索

2、能力。学情分析学生的知识技能基础：学生在前面的学习过程中经历了图形的展开与折叠， 模型 制作等活动，积累了一定的数学活动经验。 经过学习字母表示数及代数式求值， 会利 用代数式求值推断代数式所反映的规律。 另外，在信息技术发展的时代，学生对电子 设备的使用也逐渐增多，本节课基于学生对图形计算器使用的熟练程度，设计了借助图形计算器这一工具展开教学活动，提高了教学效率，发挥了学生学习的积极主动性。学生活动经验基础：七年级的学生正处于青春期，自我发展的意识越来越强，对 实际生活中的问题也越来越关注， 因此本节课如何制作一个尽可能大的无盖长方体形 盒子的实际问题可以培养学生动手操作的能力， 激发学生积

3、极地用数学的思维去思考 这一问题。学习目标1. 经历“从实际问题抽象出数学问题-建立数学模型-综合运用已有的知识解 决冋题”的过程，体验建立模型，解决冋题的方法。2.通过动手实践及解决问题的过程中进一步培养学生的空间观念和数学符号感。3. 借助已有的知识储备得到相关信息，大胆猜想事物变化趋势，并进行合理的推 理。4. 熟练图形计算器的使用，借助现代科学技术提高学生的学习兴趣，在探索的过 程中对数学知识的一个整体运用。5. 制作一个无盖长方体形盒子，通过探索后得到如何制作一个尽可能大的无盖长 方体形盒子。教学重点如何制作一个容积尽可能大的无盖长方体形盒子教学难点熟练图形计算器的使用，通过对数据的

4、加细处理，体会无限逼近的数学思想教学准备一张边长为 20cm 的正方形纸片，2 个由边长相等的正方形纸片折成的无盖长方体形盒子，爆米花，剪刀，直尺，图形计算器，多媒体课件教学方法启发诱导法，多媒体，小组合作互相交流教学程序设计师生活动设计备注第一环节：制作一个无活动设计：盖长方体形盒子师：这节课咱们一起来探究如何制作一个尽活动探究一：作品展示可能大的无盖长方体形盒子。首先，如何制作一个无盖长方体形盒子呢？课前老师给大家课前学生已经准备了用留了作业，用边长为 20cm的正方形纸片制作一个边长为 20cm的正方形一个无盖长方体形盒子，大家完成的怎么样纸片制作了无盖体形盒子，呢？拿出来让老师欣赏一下

5、你们的作品吧。学生展示自己的作品和成生：学生集体高高举起手中的作品展示。果，并互相交流自己的制作师：相信每位同学在做的过程中都有自己经验。的方法，一起来分享一下你们的制作经验吧。教生：同学们举手交流自己的想法和制作过 程。师：老师选择几种由不同折法制作而成的 无盖长方体形盒子的平面展开图用磁铁固定学在白板上，引导学生观察展开图有什么共同特点。生：学生在教师的引导下得出无盖长方体形盒子都是由正方形纸剪去四个完全相同的过小正方形后折叠起来的。师：进一步提问，剪去的四个角必须是正 方形吗？若是长方形会怎样？程生：将制作失败的作品展示出来说明。设计意图：让学生充分发表设计方案，展示设 计成果，调动学生

6、的积极性。观察展开图的特 点得出剪去的四个角是大小相同的小正方形的结论，为下 步表小无盖长方体形盒子的容 积做了铺垫，追问剪去的正方形是否可以为长 方形，若是会怎样，进一步引起同学们的思考， 验证了剪去的四个角必须是大小相同的小正 方形。第二环节：制作一个尽活动设计：可能大的无盖长方体形盒师：同学们都展示了自己的作品，老师也子来展示一下吧，老师手中的这两个盒子（两个不同颜色）是用边长相等的正方形纸折叠而成活动探究二：趣味引入的。现在大家来猜一下，这两个盒子哪一个盒用爆米花引出制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子指的容积尽可能大。教活动探究三：建立数学模型学如何制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子？

7、将实际问题转化为数学问题来解决，建立数学模型。过子装的爆米花多呢？是红色盒子还是黄色盒 子呢？生：同学举手表决。(学生会凭感觉来选) 师：请记住自己的选择，怎样才能很快知 道哪一个更大一些呢？答案将在这节课揭晓， 如果谁答对了爆米花就归谁。设计意图：使用爆米花符合学生这个年龄段的 兴趣，可以调动学生的积极性，让学生主动投 入到探索容积的大小中。另外，通过盛放爆米 花的多少引导学生理解课题中制作一个尽可 能大的无盖长方体形盒子是指容积尽可能大， 自然引入后面第二环节的探索，不足之处在于 爆米花缝隙有点大，不够精确，所以在展示时 忽略爆米花的缝隙。活动设计：师： 若设正方形纸片的边长为acm剪去的

8、 小正方形边长为xcm，你能用 a,x 来表示无盖 长方体形盒子的容积吗？生： 学生分小组讨论， 并选代表为大家讲 解。Cacm xcm学生很容易表达出容积的表达式：2V (a 2x) x师：x有取值范围吗？生：在老师引导下得出0 aa。2师： 生活中的实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这种研究问题的方法是数学中 重要的方法之一数学建模。设计意图：培养学生合作交流的能力，体会实教学过程活动探究四：分割、无 限逼近1.冋题从一般转化为特殊： 先探究边长为 20cm 的正 方形纸片制成的无盖长方体 形盒子的容积什么时候容积 尽可能大的问题。2.实验一：探究剪去的 小正方形边长取整数的情 形，通

9、过填写统计表和借助 图形计算器制作的统计图来 分析其变化趋势，并得到相 关信息。际问题转化为数学问题的过程，体会数学建模 的思想。探索小正方形边长取值范围培养学生 思维的严密性，为下一步无限逼近最大值做准 备。活动设计：师：怎样才能使制成的无盖长方体形盒子 的容积最大呢？生：思考(对初一学生来说有一定的难度) 师：对于一般的情况我们无从下手，那么 我们就先来研究一下同学们手中由边长为 20cm 的正方形纸片制成的无盖长方体形盒子 的容积什么时候容积尽可能的大，我们先将一 般的转化为特殊的试一试，此时容积怎么表示 呢？生：V (20 2x)2x (0 x 10)师：怎么来研究这个冋题呢？谁能提供

10、一 种思路？生：学生可能会想到将x取一些不同的值来比较大小，比如：x 取 1cm,2cm,3cm。师：从学生提供的思路引导学生，进入下 面的实验。实验一：如果剪去的小正方形边长按整数值 依次变化，分别取 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm,7cm, 8cm, 9cm时，折成的无 盖长方体形盒子的容积分别是多少？请你用 图形计算器计算并填入下表、制作折线统计 图。x/cm123456789V / cm3问题：从统计表和图形计算器上显示的折 线统计图中你能发现什么呢？师：教师引导学生一起来完成表格和借助 图形计算器制作折线统计图。生：独立分析折线统计图反映的变化趋势 并得到结

11、论：结论1:随着剪去的小正方形的边长由 1cm逐渐增大到 3cm，所得无盖长方体形盒子 的容积逐渐增大，而从 3cm逐渐增大到 10cm时，容积逐渐减小。结论 2:当剪去的小正方形的边长为 3cm时，所得到无盖长方体形盒子的容积最大，此时无盖长方体形盒子的容积为 588cm3。师：折线统计图的特征是反映事物的变化 趋势或变化情况，从上面的变化趋势上看边长 为 3cm是否为最大值，若不是那么最大值应该 在哪个范围内取得？引导学生找出最大值的 取值范围，缩小步长继续探究。实验二：如果剪去的小正方形边长在 2cm到 4cm之间并且按 0.1cm间隔取值，即分别取 2.0cm,2.1cm, 2.2cm

12、, 2.3cm, 2.4cm,2.5cm,，3.9cm, 4.0cm时， 折成的无 盖长方体形盒子的容积分别是多少？请你用 图形计算器计算其结果，并制作折线统计图。问题：从统计表和图形计算器上显示的折 线统计图中你能发现什么呢？师：这部分由学生分小组独立探讨研究， 教师巡视选择一位学生代表在教师机的图形 计算器上演示折线统计图的画法。3.实验二：将小正方形 的边长缩小到 2cm到 4cm之间，步长取 0.1cm继续探 究体积变化情形，通过填写 统计表和借助图形计算器制 作的统计图来分析其变化趋 势，并得到相关信息。生：从统计图中分析得到的结论：结论 1:随着剪去的小正方形的边长由2.0cm逐渐

13、增大到 3.3cm时,所得无盖长方体 形盒子的容积逐渐增大,而从 3.3cm逐渐增大 到4.0cm时，容积逐渐减小。结论 2:当剪去的小正方形的边长为3.3cm时， 所得到无盖长方体形盒子的容积最 大，此时无盖长方体形盒子的容积为592.548cm3。师：同样的思路是否有比 592.548cm3更大的值呢？若有在哪个范围内取得？引导学 生进入下面实验。实验三：如果剪去的小正方形边长在 3.2cm到3.4cm之间并且按 0.01cm间隔取值，即分别取 3.20cm, 3.21cm, 3.22cm, 3.23cm, 3.24cm,3.39cm,3.40cm时， 折成的无 盖长方体形盒子的容积分别是

14、多少？请你用 图形计算器计算其结果，并制作折线统计图。问题：从统计表和图形计算器上显示的折 线统计图中你能发现什么呢？师：这部分由大家自己来做，咱们来个比 赛，谁先做出来谁就先站起来，最后我们会通 过图形计算器教师监控端来展示这位同学做 法并让其讲解。（教师巡视并指导）4.实验三：将小正方形的边长缩小到 3.2cm至 V3.4cm之间， 步长取 0.01cm继续探究体积变化 情形，通过填写统计表和借 助图形计算器制作的统计图 来分析其变化趋势， 并得到 相关信息。S1;14X;3.33Y;592.59214S生：积极的动手操作，等学生完成后展示 后得到下面结论：结论 1:随着剪去的小正方形的边

15、长3.20cm逐渐增大到 3.33cm,所得无盖长方体 形盒子的容积逐渐增大,而从 3.33cm逐渐增 大到 3.40cm时,容积逐渐减小。结论 2:当剪去的小正方形的边长为3.33cm时，所得到无盖长方体形盒子的容积 最大，此时无盖长方体形盒子的容积为592.592cm3。设计意图：当边长为acm时讨论其容积何时尽 可能大的问题对学生来说难度稍微大了点，但 是面对一般的问题可以先转化为特殊的问题 来解决，让学生体会数学中由一般转化为特殊 的思想方法。实验中借助图形计算器激发学生 的兴趣，求知欲和探索欲，让学生在最短时间 内体会无限分割逼近最大值的思想，学生亲自 动手操作，在整个实验过程中学生

16、学会了将取 值范围分割、无限逼近最大值的思想方法，为 后面大胆猜想环节做了铺垫。师：通过上面的实验当x 3,x3.3, x 3.33时容积的取值不断增大，随着这样的变化趋势同学们来猜一下当小正 方形的边长取多少时，体积可能取得最大值？ 也就是说当边长越靠近哪个值时无盖长方体 形盒子的容积可以尽可能的大？活动探究五：大胆猜想+验证用过已有的数据进行找规律，进一步大胆猜想一般的情况。最后用几何画板动态图演示容积变化，并验证自己的结论。活动探究六：回归实际 问题第三环节：课堂小结生：学生可能猜出当 x10时，容积达到3最大，当边长取值越靠近10时容积可以尽可能3的大。师：如果设这张正方形纸的边长为a

17、cm, 剪去小正方形的边长为xcm,当a与x满足怎 样的关系时，长方体形盒子的容积最大？生：学生可能猜出当 x -时，容积达到最6大。师：播放几何画板动态图来验证当小正方形的边长取值越接近-时，容积可以取得尽可6能大的值。设计意图：分析统计图变化趋势上大胆猜想， 预测，培养学生分析问题的能力，让学生体会 从特殊到一般化的转化。师：哪个放的爆米花比较多呢？教师拿尺子量一下盒子的高度x，x取值越接近-时盒6子的容积越大，放的爆米花比较多。设计意图：前呼后应，让学生感受数学解决实 际冋题的神奇之处。师：通过这节课我们学到了什么？ 总结知识框架图：广展开与折叠,子母表示数知识列代数式1 统计图的制作与

18、分析数学建模思想思想方法丿一般到特殊再到一般猜想估计+验证1 无限逼近第四环节：作业布置1. 继续借助图形计算器将取值范围分割验证2. 撰写实验报告板书设计制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子一.作品展示二.头验二活动探究实验一实验二实验三猜想x取值范围步长x取值Vmax教学反思成功之处：在教学过程中注重学生的动手操作能力，展示学生的作品调 动了学生的积极性。用无盖长方体形盒子装爆米花的多少来引出如何制作一 个容积尽可能大的无盖长方体形盒子，设置了悬念，引起学生的兴趣，让学 生主动参与到课堂中来。探索过程中用分割，无限逼近的思想对问题进行研 究，并利用图形计算器计算并制作统计图提高了教学效率，高

19、效地完成了教 学任务。不足之处：在教学过程中对于很多问题学生不知道该如何下手，引导的 过程中对不同的学生引导程度很难把握。实际问题转化为数学问题，建立数 学模型对于学生来说也是难点之一，在建立模型上一方面应给予学生充分的 指导和提示，另一方面应该使问题更开放把问题抛出来，然后发挥学生的积 极主动性通过各个方式去解决这个实际冋题，真正让学生体会数学建模的思 想。再教设计：1.建立数学模型：无盖长方体形盒子的容积怎么表示呢？不要 将未知数设好方法限制，让学生多去思考，发挥他们的主动性，真正用数学 建模的思想去解决实际问题。2.分割，无限逼近实验中在时间允许的情况下一方面可以利用图形计算 器再将步长取小一点，把取值范围再细化一些，这样更有利于学生猜测，另 一方面把冋题特殊化时至少把正方形的边长取 3 个不同的值，然后比较归纳 小正方形与原正方形边长的关系，最后得到结论，用更符合学生认知水平与 问题处理的合理性。第四环节：作业布置1.继续借助图形计算器将取值范围分割验证2