1平面向量答案

1、1.（福建卷）已知向量危片的夹角为120o ,村=3* +耳=而，则场等于（A） 5（B） 4（C） 3（D） 1 1解析： 向量4与方的 夹角为120°,同=3币+=而，a-b=a-b-cosl20则目=一 1（舍去）或料=4,选B2.(2009全国卷A. V5II 理)已知向量 a =(2,1), a b = 1Qa + b = 5人/2 ,则 |。|=B. V10丁C.5D. 252解:v50=la + a| 2：=lal2+2a11 :.b=5.故选 C3.（全国卷I）AABC的内角A、B、C的对边分别为 a、b、c,若a、b、c成等比数列，且 c=2Q，贝 U cos B

2、-C.A. 143解：AA5C中，。、b、c成等比数列，且 c = 2Q则b=A2a,a2+c2-b2 a2 + 4a2-2a2cos5 =lac4.（全国卷I）已知向量a、Z?满足|a| = 1,|Z?| = 4,且 a/? = 2,则a与力的夹角为A.-B.一C.D.64324解析：向量a、。满足|司=1,=1 1:4,且弱=2 ,设U与方的夹角为1 10,则 cosO=0=，选 C.35.（弱II）已知向量。=(4, 2),向量方=(,3),且 a/b,则=(A) 9(B)6(C)5(D)35 解：=>4X3 2x=0,解得 x=6,选 B6.（北京卷）已知向量a二（cosa, s

3、ina , b= （cos月，sin ”，且 ao±）,那么 a+b 与 a-b 的 夹角的大小是6 解: a+b= (cos6Z +cos /? , sina +sin /? ), a-b= (cos a cos /? , sinasin ),jr a+b与a-b的夹角为0,则cos0=0，故0= 27. (全国H)已知ZVIBC的三个内角 A、B、C成等差数列，且 A3=l, 8C=4,则边BC±的中线AO的长为.7解析：由AABC的三个内角A、B、C成等差数列可得 A+C=2B而A+B+C= W得ZB =一3AD为边BC上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 AD

4、 = y/3。8. (湖北卷)设向量 a= sinx, cosx), b= (cosx, cosx),函 Af(x)=a'(ab).(I )求函数人力的最大值与最小正周期；3(II)求使不等式f(x)A-成立的X的取值集。22 2 2/(x) = a (Q + /?) = Q a + a b = sin x +cos x + sinxcosx + cos x8 解：(I) .? ?113 吏jr=1 + sin 2x + (dosAx + 1sin(2x)22224/(x)的最大值为：+手，最小正周期是亨(II)由(1)知f (x) > o -+-si n(2x + ) >

5、o sin(2x + -)> 02224*24*71713冗u>< 2kji + 兀<x<k n- -,k eZ488即 f (x)成立的x的取值集合是Axk7v-A-v x<k7i-A,k ezj,jr tt9.(全国 II)已知向量 Q = (sin。，1), b = (l, cos。)，(I )若 ab,求 3；(II )求I a+b I的最大值.9 解(1).nQb = 0=> sin 3 + cos 3 = 0人0 =4(2).| Q+ 耳=| (sin 9 + 1, cos 9 +1)| = J (sin Q +1)、+ (cos Q +

6、顶2 2=Vsin a + 2sinA + l + cos a + 2cosa + l = J2(sin 6 + cos 9) + 3 =人2人2 sin(。+ j) + 3 当 sm(6*+ )=1时加+有'最大值，此时 0 =最大值为 V2V2+3 = V2 + 12氐10.(全国 II)在 AAfiC 中，/B = 45 °C = JiU,cosC = W-,求(1) BC = ?(2) 若点Q是1砰点，求中线 CD的长度。解(1)由cosC得sinC =忙sin A = sin(l 80 - 45 -°C) = (cos C + sinC)=AC . 4_V

7、io 3 面 r- . .v , BC = sin A = 3yJ 2 由正弦定理知 V2 10Esin 3=做？泗。=方巴舌=塩三;0储=1CDAyjBD 2 +BC2 - 2BD BCcos B由余弦定理知I二A l=Jl + 18-2-I-3V2-A- = V1311、（全国I文17）（本小题满分10分）设锐角三角形 ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c, a = 2b sin A.（I ）求 B 的大小;(II)若 a = 3-V3 , c = 5 ,求 /?.11 解：(I)由 a = 2bsinA,根据正弦定理得sin A = 2 sin B sin A ,所以

8、sin B = , 2JT由厶ABC为锐角三角形得 B = .6(II)根据余弦定理，得b = a2 +c2 -2accosB =27 + 25-45 = 7 .所以， b = J7.数列1.（全国卷I）设a是公差为正数的等差数列，若ai+a2+a3=15, axa2a3 = 80 ,则。11 + "12 + "13 =A. 120B. 105C. 90D. 751【解析】 %是公差为正数的等差数列，若。1+。2+。3=15,。1。2。3=8。，则缶=5=(5-d)(5 + d) = 16,? d=3, I?=缶 + 1。=35, an +an -an = 105,选 B.

9、2.(全国卷I)设S是等差数列仅2的前项和，若£35,则角=A. 8B. 7C. 6D. 52【解析】S “是等差数列 %的前K项和，若 绘7%=35, .I a4 = 5,选D.3.(掴II)设S,是等差数列 ?, 2的前项和，若房=普，则湍=9uuz &6(7.一+15(/27d3 ,S12(7 +66d 90( / 104.II)已知等差数列a 2中，。2=7,6?4=15，贝 Ll前10项的和So(A) 100(B)210(C)380(0)4004 解：d=4, 4=3,所以()=210,选 B4-223-103解析：由等差数列的求和公式可得头=Ed = 4,可得a

10、- 2d且do 0S6 6(7 +15(/35.(福建卷)已知数列 a" 2 满足 q =1, o 2 = 3,。+ 2 = 3a,1+1 - 2an(zz e N*).(I) 证明：数列 an+1-an2是等比数列;(II) 求数列 %的通项公式；5解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解 力。满分14分。题能证明：V an+2=3a n+1-2an,a?+2 -an+i =2(a"+i a”，=1,o 2 3,.%2- % =2( K),an+i - an2是以a2 - G = 2为首项，2为公比的等比数列(II)解：由(I)得=2

11、”( EN),？ = _1)+(。一 _1 一% _2) + ?+ (o 2=2 T+2"- 2+. + 2 + 1=2 _13%*)2Q6.(全国卷I)已知2为等比数列， = 2,。2 +。4 ="-,求 %的通项式6解：设等比数列 aj的公比为q,则qAO, a2=A = | , a4=a3q=2q2 20 1所以-+2q=y,解得 qi=3 , q2= 3,11IQ当 qi= §ai=18.所以 an=18x (3) nT=a= 2x3 3-n.当 q=3 时,ai= §，所以 an=gx3n I=2x3n3.7.(4ffl ID设等比数列2的前

12、n项和为S，XT , $8=17,求通项公式an=27解：设 %2的公比为q,由XT$8 =17知0*1 ,所以得4:： =1q-iqT=17 由、式得整理得竺M = 17解得q" = 16q -1所以 q = 2 或 q= 2 12”将q=2代入式得a =,所以将q=-2代入式得 =-!，所以勺=(-1 ); 2",8.(天津文 20)在数列 % 中， =2, an+1 =4an-3n + I, c N*.(I) 证明数列an-n 2是等比数列；(II) 求数列aJ的前k项和S” ；8 ( I )证明：由题设 an+1 = 4a n -3n + I,得与 +i ( m +

13、 1) = 4 (a" _" )， ? e N* .乂 1 = 1,所以数列 an-n)是首项为1,且公比为4的等比数列.(II)解：由(I )可知an-n = 4nJ,于是数列 %的通项公式为an =.所以数列 %的前项和 Sn =母+气少.9、(陕西文20)已知实数列 %是等比数列，其中。 7=1，且知金+1，%成等差数列(I)求数列句2的通项公式;(II)数列 % 2的前项和记为S “，证明：，V128 ( = 1,2,3,-)?9解：(I )设等比数列 %的公比为g(gcR),由缶=%q6 = 1,=qf,从 II ' ij % = a q3 = q 3.

14、a5 = a q4 = q , a6 = a q5 = q1因为 , 6Z5 +1 %成等差数列，所以 +% = 2(%+1),即 q-3+gT =2(g-2+),qT( q-2+i) = 3g-2+).所以 0=故 a" = q-6 g"T =.64 1-W(II)览=止疫=L1-flT <128."I i J,210、(全国2文17)设等比数列a 的公比qvl ,前项和 为S,.已知% = 2, S4=5S2,求 0的通项公式.解：由题设知aAO, S"= W),i-qa q = 2,2则 (1-q4)=5x哗史.；-一 IL i-q由得 1

15、g" = 5(1 /) , (g 4) (g 1) = 0, (g 2)(g + 2)(g l)(q + l) = 0 ,因为q l,解得q = l或q = -2.'Iz| q = -l时，代入得 =2,通项公式a"=2x(-1广当q = 2时，代入得通项公式=1x(-2)"-* .11. 2008年理20】设数列 %的前“项和为S,.已知%=a , an+l = Sn+3n, ? e N*.(I) 设=S, 一 3",求数列bn的通项公式;(II) 若 an+i an,cN*,求a的取值范围解(I)依题意，S,+ J Sn = an+1 = S

16、n + 3",即 Sa = 2Sn +3",由此得 S"+i 3"*i =2(S“)4分因此，所求通项公式为=S,3” =(a )2” t, h e N*. 6分(II)由知 S “ =3 ” +(a3)' Me N*,于是，当 nN 2 时，an=Sn-Sn x=3" + (a 3) x 2"T 3"T _ (a 3) x 2 心=2x3"T+(a 3)2 上 2,+a -3 ,ag a" =4x3'i+(a 3)2"一 2 =2A2 12当"N 2时,agA 左 0

17、 12 修+a3 OoaN 9.又角=q + 3 .综上，所求的a的取值范围是-9,+ oo)12分12解：设数列 %的公差为d，则12. 2008年文18】等差数列a.中，tz4=10且角，？ 6 %成等比数列，求数列 %前20项 的和S20.=10 d, %=角 +24 =10 + 2d ,a” = + 6d = 1+6d .由 q, a 4()成等比数列得a3aw = aj ,即(10 -(7)(10 + 6(/) = (10 + 2d)2,整理得 lOtf 10d=0,解得d = 0或d = 1.7分当 d=0 时，&)= 20 角=200 9分当 d = l 时，4=(74-

18、3<7 = 10-3'1 = 7,70x19于是 &= 20%+ 竺产 d =20x7 + 190 = 330 12分8. 2008年理20】设数列 %的前项和 为S"已知a =a , an+l=Sn+3n, c N*.(I) 设bn=Sn-3n,求数列勿2的通项公式;(II) 若n e N*,求a的取值范围解(I )依题意，S,+1 - Sn = an+x = Sn + 3",即 Sl+l = 2Sn +3",由此得 Sg=2(S “-3")4分因此，所求通项公式为如=S" 3" =(a 3)2"T

19、, n e N*. 6分(II)由知 S “ =3"+(a 3)2 ” t, CN*,于是，当 N 2 时，a"=S -S"_=3" + (a-3)x2"-'- 3” t _ (a 3) x 2 H'2n-2I + Q 3=2x3"T+(a 3)2"-2,知-4 = 4 x 3"T + (a 3)2 ” T = 当nN 2时，n-2综上，所求的。的取值范围是-9,+ 00) 12分9. 2008年文18】等差数列a.中，a4=10<a3, %坊。成等比数列，求数列岀行前 20 项的和S20.解

20、：设数列 % 的公差 为 d，则 a3=a4-d =10-d , a 6 = a, + 2d =10 + 2d ,口 io = %+6d = 10 + 6d3分由。3, &6 % 成等比数列得即(10 d)(10 + 6d) = (10 + 2d)2,整理得102一 iod=。，解得d=0或d = l7 分当 d=0 时，$20 =2004 =200 9分当=1 时，。仁。4一 3=10-3 乂 1 = 7,于是 $20 =20% + 竺产 d =20x7 + 190 = 330 12分sin Asi n C. . 33 3 c(II)由 BA - BC =得 ca - cos B =

21、,由 cos B =可得 CQ = 2,即 Z? = 2 2 24由余弦定理 b2 = / + 凌-2ac -cos B 得。之 A-c2 =b2 + 2ac -cos B = 5( 。 + c)2 = / + 。 2 + 2ac = 5 + 4 = 9a+c = 3542. 2008 年理 17】在左 ABC 中，cosB = -, cosC =.135(I )求 sin A 的值；33(II)设左ABC的面积S曲。=芸，求BC的长.5I?2 解： ( I ) 由 cos B ，得 sin B ，131343 由 cos C ，碍 sin C .5533所以 sin A = sin(B +

22、C) = sin B cos C + cos B sin C = 5分65(ID 由 S得 axA8xACxsinA = a ，33 1 3365故 ABxAC = 65, 8分d 5 AB x sin B 20 小 .,20 413又 AC = = 一 AB , 故一 AB2 = 65 , AB = 一 .sinC 13132八八 AB x sin A 11八所以 BC = = 10 分sinC 2533. 2008 年文 17】在左 ABC 中， cosA = -, cosB = -.135(I )求sinC的值；(ID设8C=5,求左ABC的面积.5I?解 (I )由 cos A = ,

23、 得 sinA = ，13 1334由 cos8 = , 得 sing = 2分55所以 sin C = sin(A + 8) = sin A cos B + cos A sin B = 5分655xf(ID 由正弦定理得 AC = BCXSmB =A = 8分sin A 12313所以 MBC 的面积 S=LxBCxACxsinC =-x5x x=-10分223 65 32.【2005年理18文19】如图，在四棱锥 V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 VAD是正 三角形， 平面VADt底面ABCDAB(I )证明AB_L平面VAD(II)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 方法一

24、：(I )证明：平面VAD平面ABCDAB VADAB u 平面 ABC。A£> =平面解面c ABCD(II)解：取 VD的中点E,连结AE, BEWAD 是正三角形.？.AE_LVD, AF= 2 AD?/ AB _L 平面 VAD .'ABXAEarcta n 臣又由三垂线定理知 BE+VD,因此，/AE8是所求二面角的平面角tan ZAEB = AB 2 3于是，AE 3 ,即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。v -fi(I )证明：不妨设 A (1" ° ),则研1"I2由 AB VA = 0f 得

25、 AB1VA又AB1AD,因而A3与平面VAO内两条相交直线似，V。都垂直/. ABL平面似。0 右 (II)解：设E为DV中点，贝U I4 4)由 EB DV = 0 ,得 EB 津 DV ,又 EA1DV因此，ZAE8是所求二面角的平面角cos <EA, EB)EA EB _ V21EA-EB 一V21解得所求二面角的大小为arc cos7AEO 丝 DB, EOBD连接 A1F> l| A1F0), Al(l,2)3. 2006年理19文20】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB = BC, D、E分别为BB1、AC1的中点.(I )证明：ED为异面直线 BB1与A

26、C1的公垂线；(II)设 AAl = AC=JiB,求二面角 A1-AD C1 的大小.解法一：(I )设O为AC中点，连接 EO, BO,则EOAjciC,又CICABIB,所以为平行四边形，ED OB.2分VAB = BC, ABOXAC,又平面 ABCt 平面 ACC1A1, BOu 面 ABC,故 BOX 平面 ACC1A1, ?.ED_L平面 ACC1A1, BDXAC1, EDXCC1,AEDXBB1, ED为异面直线 AC1与BB1的公垂线 6分(II)连接 A1E,由 AA1 = AC=V2AB 可知，A1ACC1 为正方形，.？.A1E1ACL又由EDI平面ACC1A1和ED

27、u平面ADC1知平面ADC1X 平面 A1ACC1, .'.A1E1 平面 ADC1. 作 EFXAD,垂足为 F, ±AD, /A1FE为二面角 A1-AD C1的平面角十八、儿”rAEXED也不妨设 AA仁2,贝U AC = 2, AB=j2ED = OB = l, EF= =$ tanZAIFE=V3, /.ZA1FE = 6O . °解以二面角 Al AD Cl为60° 12分(I)如图，建立直角坐标系O xyz,其中原点0为AC的中点设 A(a, 0, 0), B(0, b, 0), Bl(0, b, 2c).则 C(-a, 0, 0), Cl(

28、-a, 0, 2c), E(0, 0, c), D(0, b, c).3分ED= (0, b, 0), BBi = (0, 0, 2c).ED-BBi=0, . ? .ED_LBB1.又 ACi = ( 2a, 0, 2c),ED ACi=0, AEOXACl, 6分所以ED是异面直线 BB1与AC1的公垂线(II)不妨设 A(l, 0, 0),则 B(0, 1,0), C(-l, 0,BC = ( 1, -1,0), AB = ( 1,1,0), AAi=(0, 0,BC AB=0, BC AAi=0,即 BC_LAB, BCXAA1,又 ABCAA1 = A,.? BC_L 平面 Al A

29、D.已心面C1AD.又 E(0, 0, 1), D(0, 1,1), C(-l, 0, 1), 0, -1),扁=(1,0, 1), ED = (0, 1,0),EC=(-1,ECED = 0,即 EC_LAE, ECXED,又 AECED = E,> ECBC 1ECAE=O, cosvEC, BC= _ =方，即得 EC 和 BC 的夹角为 60° . IECMBCI10分所以二面角 Al AD C1为60° .12分 4. 2007年理19文20】如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD为正方形，侧棱 SD1解法一 ：（1）作交S。于点G,则G为SD的中点

30、底面ABCD, E、F分别是 AB、SC的中点求证：EF 平面SAD 设SD = 2CD,求二面角 A-EF-D的大小AG, FGAL-CD 八，一连结 一 2 ,又 CDJLAB(故FGALAE, AEFG为平行四边形EF / AG ?又 AG cz 平面 SAD, EF(z 平面 SAD.所以EF 平面SAD不妨设 DC = 2 ,则SO = 4, DdA2 ADG 为等腰直角三角形.取AG中点H,连结。H,则DH1AG, 又 AB 土平面 SAD t 所以 AB ±DH ,而 A5 A AG = A ?所以DH 士面AEF .取EF中点M ,连结MH ,则HM _L EF .连

31、结 DM，贝U DM O EF .故ZDMH为二面角 A-EF-D的平面角E火器蝉二扼所以二面角 A-EF-D的大小为arctan41 .解法二：(1)如图，建立空间直角坐标系/ 一-乙.设 A( Q00), 5(00 b),则 8(。，& 0) ,C(Q, a 0)G0.0 £AG =取so的中点1 2丿EF = AG, V/F, AGAG u 平面 SAD, EF(Z 平面 SAD ,所以EF 平面SAO.不妨设A(L°)B(l,l Q) , G(ai0), 5(002),1 £则<厂1时中点 12 2 2j I 2 2 2jJ序=(101)诺奇

32、=0 MD EFfi4 = | 0,-A 0 | 又2 J ； EAEF =Q, EA EF ,所以向量如和EA的夹角等于二面角 A-EF-D的平面角cos < MD,EA >-MD EAMDPI所以二面角 A-EF-D的大小为arccos3 .A3O凡用第中，M = 2AB5.【2008年理19文20】如图，正四棱柱=4 ；点£在CCx 上且 CxE = 3EC(I) 证明：A1C±平面3时；(II) 求二面角AiDEB的大小.解法一：依题设知 AB = 2, CE = 1.(I )连结AC交BD于点F ,则BD LAC _由三垂线定理知，在平面A|CA内，连结EF交于点G,AlIHZ_Z故