2014肇庆一模理数

1、肇庆市中小学教学质量评估2014届高中毕业班第一次模拟考试数 学（理科）2014-10-29本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后， 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上； 如需改动，先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.1参考公式： 锥体

2、的体积公式 V - Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.3一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知全集U=-2 , -1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5,6,集合M=大于1且小于4的整数,则Cu MB. -2 , -1 , 5, 6C. 0 , 1 , 2, 3, 4D. -2 , -1 , 4, 5, 62 定义域为 R的四个函数y 是A . 4B. 33.设i是虚数单位，z 1i ,A. 219B .24.二项式x的展开式中xA . 84B .-84x2 1, y 3x, y |x 1| ,C. 2z为

3、复数z的共轭复数，则z3C. 2.2 1x3的系数是C. 126y 2cosx中，偶函数的个数D. 1z iz 1D. 2-21D. -1265.某四棱锥的三视图如图 则该四棱锥的体积是A. 27 cm33B. 9 cmC. 3 2 cm3、八j1* 1X 2 f4 2 f X1 >1正视图侧视圈X高三数学（理科）第 1页（共12页图图11所示（单位：cm）,6若如图2所示的程序框图输出的S是30,开始则在判断框中M表示的"条件”应该是7.下列命题中，真命题是A. x0 R, eXo 0 ；B. x R, 2X x2；C. “ a 1,b1 ”是“ ab 1 ”的充分不必要条件

4、;5=0： n=0结束D.设a , b为向量，则“ |a b| |a|b|”是“ a/b”的必要不充分条件8. 设向量 a (a1,a2), b (d,b2), 定义一种向量积：1a b (aa)(db)(印3月2匕2).已知向量 m (,4) , n (,0)，点 P 在2 6y cosx的图象上运动，点Q在y f (x)的图象上运动，且满足OQ m OP n (其中O为坐标原点)，则y f (x)在区间,上的最大值是6 3A . 4B. 2C. 2 .2D. 2.3二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分.(一)必做题(913题)9. 函数yx2 3x 2的定

5、义域为.xe10. 曲线f(x)在x 0处的切线方程为.x 111. 已知等比数列an满足a1 a? 3, a? a3 6，则a5 .y 3012.在平面直角坐标系 xOy中，P为不等式组 3x y 6 0所表示的平面区域内一动点,x y 20则线段|OP|的最小值等于.坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为.（二）选做题；第14 题为选做题，考生只能选做一题，请先用2B铅笔填涂选做的 试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在抵号内再作答。也题=卩题二0,0 2 ）,x轴的正半轴建立直（ ） 14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为2 （曲线C在点（2,）处的切线为I，以

6、极点为坐标原点，以极轴为4角坐标系，则I的直角坐标方程为.15. （几何证明选讲选做题）如图 3,A ABC的外角平分线 AD交外接圆于D，若DB .3，则DC= .三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知向量m(cos(x評），n (2,0) , x R，函数 f(x) m n（1）求函数f （x）的表达式；(2) 求 f (）的值；26(3) 若 f(3)5(-,0)，求 f(2 )的值.217.（本小题满分13分）随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是:50,60 , 2;60,70

7、, 7;70,80 , 10； 80,90 , x; 90, 100, 2.其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图 4所示，据此解答如下问题（1）求样本的人数及 x的值；（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中80,90）的矩形的高；（3）从成绩不低于 80分的样本中随机选0 040 -0.0320.02+0 016O.OOS卜Ah峠zmhz50 60 70 M 90 100 甘編高三数学（理科）第共12页取2人，该2人中成绩在90分以上(含90 分)的人数记为，求的数学期望18. (本小题满分13分)如图5，在直三棱柱 ABC ABQ,中，D、E分别 是 BC 和 CC1 的中点，已知

8、 AB=AC=AAi =4， BAC=90 .(1) 求证：BiD丄平面AED ;(2) 求二面角B1 AE D的余弦值；(3) 求三棱锥A B1DE的体积.19. (本小题满分14分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1 2 , na. 1Sn n(n 1).(1)求数列an的通项公式an ；a设Tn为数列 T 的前n项和，求Tn ；211(3)设 bn，证明：b1 b2 b3bn .anan1an 23220. (本小题满分14分)2 2设双曲线C：务 当 1 (a>0, b>0)的一个焦点坐标为a b73 , 0),离心率 e 5/3 ,A、B是双曲线上的两点,AB的中点

9、M (1 , 2)(1) 求双曲线C的方程;(2) 求直线AB方程；(3) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于 C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么?21 .(本小题满分14分)131 a 2设函数 f(x) x x ax a(a 0).32(1) 若函数f (x)在区间(-2, 0)内恰有两个零点，求 a的取值范围;当a=1时，求函数f（x）在区间t, t+3上的最大值肇庆市2014届高中毕业班第一次模拟考试数学（理科）参考答案及评分标准、选择题题号12345678答案DCABDBCA、填空题3. 109.,12,10. 2x y 1011. 1612.513. 3314.

10、x y 2 2015. 3三、解答题16. (本小题满分12分)解：(1)v m (cos(x ),0) , n (2,0) , x R,6(3 分)f (x) m n 2 cos(x )，即函数 f(x) 2 cos(x ).6 6(2) f ( ) 2cos2cos - 366(6分)(3)v22f()32cos(3)2cos(2又f(2663)2 si n，即 sin35552sin ,(7 分)2(,0), cos1 sin2,1342V553424(8 分)sin 2 2sin cos25，(9分)f （2 ） 2cos 22cos 2cos2sin 2 sin 6 6（11 分）6

11、2工山22417、3 24（12 分）252252252cos2 2cos25（10 分）17. （本小题满分13分）解：（1）由题意得，分数在50,60）之间的频数为2,频率为 0.008 100.08 , （1 分）所以样本人数为n20.0825 （人）（2 分）（4分）x 的值为 x 25 （27 10 2）4 （人）（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为75.（6分）4由（1 ）知分数在80,90）之间的频数为4,频率为 0.16（7 分）25所以频率分布直方图中80,90）的矩形的高为 吐 0 016（ 8 分）10（3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6 （人），成绩在

12、90分以上洽90分）的人数为2人,（9分）所以的取值为0，1, 2.Q P（0）15P（1）c1cC|15P（2）C2 -，（10 分）Cf 15所以的数学期望为E0 §1色2 21515153（11 分）（13 分）所以的分布列为:012P（）6_8115151518. (本小题满分13分)方法一：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为 AB AC AA = 4,所以 A (0, 0, 0),B ( 4, 0, 0), E (0, 4, 2), D (2, 2, 0),Bi (4 , 0 , 4) .(1 分)(1) B1D(2,2, 4) , AD (2,2,0)

13、, AE (0,4,2).因为B1D ADujur uur4 4 00 ,所以 BD AD ,即 BQAD .(2 分)(3 分)因为 B1D AE 0 8 8 0,所以 B1D AE ,即 BQ AE .(4 分)又AD、AE平面AED ,且AD n AE=A ,故B1D丄平面 AED.(5分)(6分)(2)由(1)知B1D ( 2,2, 4)为平面AED的一个法向量.设平面B1AE 的法向量为 n (x,y,z),因为 AE (0,4,2) , AB1(4,0,4),所以由n AEn AB0,得 4y0 4x2z4z0 ,令 y=1,得 x=2 , z=-2.即 n0(2,1, 2). (

14、7 分)cosn, B1Dn B1 D|n| | BQ|(8 分)二面角 Bi AED的余弦值为(9分)(3)由 AD (2,2,0) , DE(2,2,2)，得 AD DE 0 ,所以 AD丄 DE. (10 分)由 |AD| 22, |DE| 2.3,得 S ade 1 2、2 2.32.6.2由(1 )得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且| BQ | 2 6 ,(11 分)(12 分)所以 Va B1DEV B1 ADE(13 分)方法依题意得，AA 平面 ABC, B1C1 BC .AB2 AC2 4 2 , AD BD CD 2 _2 ,BBi CCi 4 , EC ECi 2 .（

15、1）v AB AC , D 为 BC 的中点， AD 丄 BC.T BiB丄平面 ABC, AD 平面 ABC , AD 丄 BiB.BC、BiB 平面 BiBCCi，且 BCA BiB=B，所以 AD 丄平面 BiBCCi.又 BiD 平面 BiBCCi，故 BiD丄 AD .（2 分）i2,由 BiE2 BiCi2 EC；36 , BiD2 BiB2 BD224 , DE2 DC2 EC2得 BiE2 BiD2 DE 2，所以 BiD DE .（4 分）又 AD、DE 平面 AED，且 AD n DE=E，故 BiD 丄平面 AED.（5 分）（2）过D做DM丄AE于点M，连接BiM.由B

16、iD丄平面 AED , AE 平面 AED，得 AE丄BiD.又 BiD、DM 平面 BiDM，且 BiD n DM =D，故 AE丄平面 BiDM .因为BiM 平面BiDM，所以BiM丄AE.故/ BiMD为二面角BiAE D的平面角.（7分）由（i）得，AD丄平面BiBCCi, 又 DE平面BiBCCi，所以AD丄DE.在 RtA AED 中，DMAD DE 2 . 305AE（8 分）在 RtA BiDM 中,BiM.BiD2 DM 2i2 .55所以 cos BiMDDMBiM-，即二面角6Bi AE D的余弦值为（3）由（i）得,AD丄平面BiBCCi,所以AD为三棱锥A-BiDE

17、的高，且AD 2 2 .（i0 分）由（i ）得 S b1DEiBiD2故 Va BiDEBiDEAD1 DE 丄 2 6 2 . 32丄 6 2 2 2 8.362（ii 分）（i3 分）i9.（本小题满分i4分）解：（1）由题意，当n2时，有nan !Sn n(n 1)(n 1)anSn ! (n 1)n(1 分)两式相减得n an 1 (n 1)anan2n,即 an 1 an2.(2 分)a12由 a2 S12，得 a2 a12.S1a1所以对一切正整数n,有an 1 an 2 ,(3 分)故ana12(n1) 2n，即 an2n(n N*).(4分)所以Tn1 22322n2n11两

18、边同乘以-2，得2Tn12纟L22n 1n2*12*-，得11212212* 1n2n，1所以丄Tn2112nn112n2故Tn4n 22* 1 .（2）由（1），得黑寻尙2 2 2（3）由（1），得 bn116n(n（5分）（6分）（7 分）（8 分）（9分）d b2b3bn12n 2(n1) 2(n2)1)(n11)( n2)(12 分)1 1 1芯(n 1)(n 2)孟十）（13 分）11 13216( n 1)( n 2)32(14 分)c3解：（1）依题意得c-，解得a=1e3a所以b22 2c a 3 12，故双曲线C的方程为X22乙1.20.（本小题满分14分）2yiXi（2）设

19、 A（Xi,yi）,B（X2,y2），则有2X2两式相减得:（Xi X2）（X!1X2）2（yi y2）（yiy2），由题意得XX , XiX22,yiy24,所以土Xiy2X22（XiX2）yiy21，即 kAB1.故直线AB的方程为y X 1.（1 分）（2 分）（3 分）（4分）（5分）（6分）（7 分）（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为 P.因为AB为圆P的弦，所以圆心 P在AB垂直 平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分 AB，故圆心P为CD中点M. （ 8分） 下面只需证 CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.y X 1由 2 y2得：A（ -1，0

20、），B（ 3，4） .（ 9 分）X212由（1）得直线CD方程：y x 3，（ 10 分）y x 3由v2得：C（-3+2J5，6-2J5 ），D（-3- 245，6+2J5 ），（ 11 分）X212所以CD的中点M（ -3，6） .（ 12 分）因为 |MA| .4362.10，| MB |. 36 42 10，| MC |20 202 10，| MD |. 20 202.10,（ 13 分）所以|MA| |MB| |MC | |MD |，21 .(本小题满分14分)1 3解：(一")3x1 ax2 ax a(a20)f (x) x21 a x a (x 1)(x a)，(1 分)令 f (x) 0，解得 x11,x2a 0(2 分)当x变化时，f (x)， f (x)的变化情况如下表:x(,1)1(1,a)a(a,)f (x)0一0f(x)/极大值极小值/故函数f (x)的单调递增区间为( 4,-1), (a, +8);单调递减区间为(-1, a); (4 分)因此f(x)在区间(-2 , -1)内单调递增，在区间(-1