2017年考前模拟卷教师版

1、岳阳市十四中2017届考前模拟测试文科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。1 .集合 A = ix |1 ： x ：3，集合 B =| y = x-2,x A，则集合 A| B =（）A. 1x|1：x ：3B . 1x|1 ： x ： 3?C. ：x|1 ： x ： 1?D . -【解析】根据题意B -y | y = x-2,xA；y |-1 ： y ： 1,xA ，所以集合A B = .故选D.712.已知复数z满足i，则复数Z在复平面内对应点在（）z

2、+1A.第一、二象限B.第三、四象限C .实轴D .虚轴【解析】设复数z = a bi， a,b R ，因为z 一1 = i，所以zi i = z -1，所以（a 1）i -b yz+1a+1 = ba = 0=a bi -1，所以可得，解得，所以z二i，所以复数z在复平面内对应点0,1、-b = a-1P=1在虚轴上.故选D.JI 13.为了得到函数 y=cos2x的图像，可将函数 y =si n2x 的图像（）I 6丿nA.向右平移一个单位长度6C.向左平移 一个单位长度6【答案】D.nB .向右平移一个单位长度3D .向左平移一个单位长度3【解析】（兀）r （兀）兀、.2x +一 =si

3、n2 x 十一I- I 2丿1I22x y - 3W 0，设x2 y - 4x的最大值点为x - y - 3W 0A,则经过点A和B(-2, -3)的直线方程为(A 3x -5y -9 =0x y_3 = 0 C. x_y_3=05x -3y 9 = 0【答案】A【解析】在直角坐标系中,x1满足不等式组X y -3W 0可行域为:x _ y _3W 0222y 4 x 2 y -4表示点P -2,0到可行域的点的距离的A, B两点直线方程为平方减4 如图所示，点3,0至惊 -2,0的距离最大，即 A 3,0，则经过26.已知函数f x =X【答案】C【解析】因为f(x)=x Inx=f(x)，

4、所以函数 y=f(x)为偶函数，所以排除 D,又f X =10，所以排除A、B,故选C.则该三棱锥的表面积为(7.某三棱锥的三视图如图所示，设正方形的边长为a,A. a2B. 、3a2C .三 a262 a三棱锥的棱长为、,2a % in 60 -2,3a2 .故选d .【答案】D&已知等差数列界的前n项和为S,【解图所示，该三棱锥是2方体因此此正三棱的表面积以且S=4, S=16,数列、b/满足bn = a* an -1，则数列b 的前9和丁9为(A. 80B . 20D . 166【答案】【解析】设等差数列备的公差为d,因为bn = an an 1 ,所以bn 1 = an -1 - an

5、 2，两式相减bn 1 bnp 1 an 2 -an -an 2d为常数，所以数列也为等差数列.因为订鳥为等差数列，且 S = 4, S = 16,所以b3 = a3 *4 = S4 - S? = 12，所以等差数列皿的公差2b32bl-4 ，所以前n项和公式为 =4n 丄丄422=2n ，2n，所以 T9 -180 故选 C.已知函数f x =logax Jog丄8a111(a0，且 a1,在集合，- 3,4,5,6,7 中任取一个14 3 2J数 a,贝y f (3a+1) f (2a) 0 的概率为()1A.-4B.3C.2【答案】f(x)= loga0时，无解)；0 . a : 10沁

6、a 13a 1 2a = a 4 18 810 .已知函数f (x)=+1,F (x) =f (x)x- 1，且函数F ( x)有2个零点，则实数a的取值范围为(A. (一 8, 0B. 1 , +8)C. (一 * 1)D. (0, +8)a1【答案数形结合数二次：x) = X2 +ax +1中一0时，符合题意=-时,22符合题意排A.故选C。11.已知抛物线x2=2py (p 0)的焦点F是椭圆弓二的一个焦点，若P,Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线 PQ经过焦点F,则该椭圆的离心率为()C.、-2 -1D.2 - 22A.2V2 -1B-2【答案】C.【解答】由题意，p=2c,不妨设P (

7、伍匚，c),即P (2c, c)代入椭圆方程，可得cl *=1，9 * 十 e2a a - c1 - e整理可得 e4- 6e2+1=0,/ 0 v ev 1 ,. e-. 故选12 .已知函数f x = x2-2x ex，关于f x的性质，有以下四个推断:f x的定义域是=； 函数f x是区间0,2上的增函数; f x是奇函数； 函数f x在x二.2上取得最小值.其中推断正确的个数是(【解析】根据题意可得，函数f X的定义域为花牡，所以为正确；因为f x : 0，所以函数f X I： 2x 2 exX2 2x ex px2 2 ex，当 _ .,2 ： x ： .2 时,f x 0，在2，f

8、 x在-.2, 2为单调递减函数，当- 2或x 2时,、.2；匕齐；为单调递增函数，又2 y=x -2x 在 -：,0，2,壯辽上为正，在0,2f -x 二 x2 2x e，可见上为负，所以函数在 x =疥2上取得最小值，所以正确，错误.f x是非奇非偶函数，所以错误.故选C.本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个试题考生都必须作二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分。13.如图所示，在梯形ABCD中，/ A= n，AB2，BC= 2,CE BD =【解析】以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系,C 2,0，E 0,-，B00， 2 三，- CE 二-2,，廿门12丿，所以

9、 CE BD = -3 1 二-214.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为【解析】当n =1时，s =03当n =2时，S=1 .4T_ 143515当n =3时，S :14 .8T2915715AD誇点E为AB的中点，则答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。291518S十一 ?51155当n =4时,当n =5时,353n =6,输出S的值为353 5515已知数列 七奁为1,3,7,15,31川|,2n -1，数列IbJ满足0=1 ,11则数列i lbnj前n 一1项和Sn为【解析】由数列曲得通项公式a2n -1,所以 bn=an-an=2_ _ 1,

10、所以数列 的通项公式为LbnJ1bn，由此可知数列是以首项为1,公比为 -bn2的等比数列，所以其前n -1项和Sn=2_2216 已知双曲线C的渐近线方程为y=,焦点为(3.2,0)，若过双曲线上一点P分别作两条渐近线的平行线与两条渐近线围成四边形OAPB则四边形 OAPB的面积为【解析】双曲线C的标 准 方2 2程为：y 1,特例法p(3,0),则四边形999OAPB的面积为 -2。因或设 P(xo,yo)边形OAPB为矩形，P到两条渐近线的距离分别为:|X0 -山 J?| X。 - y |2以四边形OAPB的面积为a d2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (本小

11、题满分12分)已知锐角三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且满足2 2 2cos B -cos C -sin A = sin Asin B , sin A -B = cos A B .(1) 求角 A、B、C;(2) 若a =2，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.【答案】(1) A，, B=2 二，C 二；(2)2 , S“BC=33 .412324【解析】(1)因为A, B均为锐角，sin A-B = cos A B , sin AcosB -cos As in B = cos AcosB -sin Asi n B ,sin AcosB sin Asi

12、n B = cos A cos B cos As in B , si nA cosB sin B 二 cosA cosB sinB/ B 为锐角， cos B si nB=0, .si nA = cosA ,则 A = 4 .在厶ABC中,1 .173 厂晶+迈 3+73Sa abc = sinC ab2=2 2224cos2 B -cos2C -sin2 A = sin Asin B , 1 -sin2 B i1 -sin2 C -sin2 A - -sin Asin B , sin2 C -sin2 B sin2 A - -sin Asin B ,22217Ta b=_ab,.osCs,6

13、35 B =3412ab(2)根据正弦定理，得sin A sin Ba sin Bsin A二 2sin5 n1218. （本小题满分12分）2017年4月1日，中共中央、国务院决定设立的国家级新区雄安新区.雄安新建立后，在该区某街道临近的A路口和B路口的车流量变化情况，如表所示：天数t （单位：天）1日2日3日4日5日A路口车流量x （百辆）0.20.50.80.91.1B路口车流量y （百辆）0.230.220.511.5（1）求前5天通过A路口车流量的平均值和通过 B路口的车流量的方差，（2）根据表中数据我们认为这两个临近路口有较强的线性相关关系，第 10日在A路口测得车流量为3百辆时，

14、你能估计这一天B路口的车流量吗？大约是多少呢？（最后结果保留两位小数）（参考公式：nXi xyi _y_鼻 n , a = y _bx ,Xj -xi =7552Z(X x)(yi y)拓 0.69正(x x) =0.5)i 4【解析】（1）由题意可知,1竺卫0.7050.230.22 0.5 1 1.5 门“y0.695所以通过B路口的车流量的方差为:2 1 2sy(0.23-0.69 ) +(0.22 -0.69 ) +(0.5-0.69 ) +(百辆2).$ 卜 0.24故前5天通过A路口车流量的平均值为0.70百辆和通过B路口的车流量的方差为 0.24 （百辆2）；（2）根据题意可得，

15、5_瓦(x -x)( yi -y ) (Xi -x)2i 11.38，a =0.69-1.38 0.7 一0.28,所以A路口车流量和B路口的车流量的线性回归方程为 y=1.38x-0.28 , 10分当 x =3时，y =1.38 3 -0.28 =3.86 (百辆)故这一天B路口的车流量大约是3.86 （百辆）。12分19.（本小题满分12分）如图，正四棱锥P- ABCD各棱长都为2，点O,M ,N,Q分别是AC,PAPC,PB的中点.(I)求证：PD/平面 QAC;(H)求三棱锥 P- MND的体积.19 .【分析】(I)连结BD,交AC于O,连结QO,贝U QO/ PD,由此能证明PD

16、/平面QAC.()三棱锥 P- MND 的体积 Vp mnd=Vd-，由此能求出结果.【解答】证明：(I)连结BD,交AC于O,连结QO,正四棱锥 P- ABCD中，ABCD是正方形， O是BD中点,P/ Q 是 PB 中点， QO/ PD,/ QO?平面 QAC, PD?平面 QAC, PD/平面 QAC.解：（n）T正四棱锥 P- ABCD各棱长都为2,点O, M , N, Q分别是AC, PA PC, PB的中点， AC=Ju=.：弋:,P0=- ：-,三棱锥P- MND的体积:Vp-MND=Vd -PMNX620.(本小题满分12分)设椭圆C：2 2仔每=1 a b 0的左顶点为-2,

17、0 ，且椭圆C与直线a bx 3相1求椭圆的标准方程;(2)过点 P 0,1的动直线与椭圆C交于A, B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得OAOB PA PB 7 ?请说明理由.2 2【答案】(1)-1,( 2)存在,43【解析】(1)根据题意可知a =2，所以，由椭圆C与直线“二，相切，联立得2 22 2互14 b2y 3消去 y 可得：b2 6 x2 12,6x 36-4b2 =0所以椭圆的标准方程为：2 2x y143: =0，即 12 6-4 b2 6 36-4b2 =0，解得三 0(舍)或3,（2）当过点 P的直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y = kx 1 ，设

18、 A、B两点的坐标分别为xi,yi , X2,y2 ,x-ix2联立得_1，化简 3 - 4k2 x2 8kx - 8 = 0，所以XiX2 =8k 24k 384k23.：0恒成立、T T T T所以 OA OB ： PA PB =畑2+ y1 y2+ x1x2 + (y11)(y21)2 24k23 1 k2 住 k X1 X2 18(1 + 2(1+ k) -生 1_2 4-4 4k2 3 -2 4k2 3一2， 4=+1 = 22 九-3,4k2 3所以当=2时,OB PA PB74k +3当过点P的直线AB的斜率不存在时，直线即与y轴重合，此时 A 0.3 , B 0 .3 ，所以O

19、A OB PA PB - -3+ (、31)(-31) - -3-2,所以当=2时,OA OB PA PB 7 ；综上所述，当，=2时,【解析】（1 ）根据题意可得,f e =-eOB PA PB 二-7 In x +121.（本小题满分12分）设函数f X ：X（1）求曲线y = f x在点e, f e 处的切线方程;（2）当x1时，不等式f X -丄 ajX -恒成立，求a的取值范围.XXIn xIn e 1亦f x2 ，所以f e 2=2，即xe e2 1 2所以在点 e, f e 处的切线方程为 y2 x -e，即xe2y-3e = 0 . 5分e e221 a(x 1) Inx a(

20、x -1 (2 )根据题意可得，f x 0在x1恒成立，x xx令 g(x) =ln X -a X -1 , x1 ,1所以g (x) 2ax6分x当ag 1 =0,所以不等式f x 成立即aw 0x合题意；，令10时，令2ax = 0 ,解得x =x1=1，解得 a = 2，当1,0 : a 1 时,2所以gx)在1I畑丿上g(x) 0，在辽aL+O0上 g (x) ： 0 ,所以函数y =g(x)在1,11g( )Tn aa上单调递增，在i上单调递减,g 丿1 1时,J?1g(x)w0在1：上恒成立，所以函数 y=g(x)在1,:上是单调递减，1所以 g(x)不符合题意；综上所述，a的取值范围为订| a0/22. ( 本小题满分 1 0 分) 极坐标系与参 数方已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线I x = V5 cosal的极坐标方程为3tcost ；sin二-6 =0，圆C的参数方程为_,y = 1