2019年普通高等学校招生全国统一考试全国卷

1、1 已知集合 A x|x2 5x 6 0, B x|x 1 0,则 Ap|B () A(,1)B.( 2,1)C.( 3, 1)D.(3,)解：A (,2儿(3,)B I ,1)A|B (,1)选A2设z 3 2i,则在复平面内Z对应的点位于()A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:z 3 2i 对应点（3, 2） 在第三象限C.2(D.3选C3 已知 AB (2,3), AC (3,t)，A. 3B. 2解:：C AC AB (1,t 3)|BC=.1 (t 3)21t 3BC (1,0)AB BC 2 13 02选C4.2019年1月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背

2、面软着陆，我国 航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通信联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行。L2点是平衡点，位于地月连 线的延长线上。设地球质量为 M1,月球质量为M2,地月距离为R，L2点到月球的M1(R r)23 3 3 4 5-3(1 )D.3jR.3M1距离r，根据牛顿运动定律和万有引力定 律，r满足方程:设 丄。由于 的值很小，因此在近似计算中R3,则r的近似值为a麗2 RB.2M21R。3幣12(1(1L)2(丄)2RRM1m2(1(1)2()233 345m2(1)2M1

3、33 3453 3由(1 )Mi解：岛參(R心得：3巴2M1即叫)3 M2R选D5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数B.平均数C方差D.极差解：记9个原始评分分别为a,b, c, d, e f, g, h,i(按从小到大的顺序排列)，易知：e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，不变的数字特征是中位数，选A6若a b,贝UAln(a b) 0B.3a3bC.a3 b3D.|a| |b|解:(1由函数y In x的图像知：当 0 a b 1 时,l

4、n( a b) 0选项A不正确；''函数y 3x在R单调递增当 a b时,3a 3b选项B不正确；''函数y x3在R单调递增当 a b时,a3 b3选项C正确；:当b a 0时a| |b|选项D不正确。综上知：选C7. 设，为两个平面，则|的充要条件是A内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. ，平行于同一条直线D. ，垂直于同一平面解:(1)内有无数条直线与 平行，当这无数条直线相互平行时, 与 可能相交，选项A不正确；(2) 根据两平面平行的判断定理与性质定理知，选项 B正确;(3) 平行与同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行， 选项C不正

5、确；(4) 垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的 选项D不正确。综上知：选B2 21的一个焦点，贝U p=8. 若抛物线y2 2px(p 0)的焦点是椭圆 二 3p pA2B.3C.4D.8解：由题意知：抛物线的焦点坐标为(E,o)2椭圆的焦点坐标为(2p,0)解之得：p 89下列函数中，以？为周期且在区间(匸三)单调递增的是Af(x) |cos2x|B.f (x) |sin2x|C.f (x) cos| x|D.f (x) sin|x|o解：1函数f(x) |cos2x|的周期为-, 当 X时,2x (,)4 22函数f (x)单调

6、递增，选项A正确;(2) f (x) |sin2x|的周期为刁,当x (孑)时,2x (歹)函数f (x)单调递减，选项B不正确;(3) f(x) cos| x | 选项C不正确；(4) f (x) sin | x|cosx的周期为2sin x(x 0)sin x(x 0)综上知：选A10已知(°，2)，2sin 21A_B.-55解：2sin 21cos214sin cos1 2sin212sin cos1 sin2cos2在x 0和x 0时，f (x)均为以2为周期, 但在整个定义域上f(x)不是周期函数，D不正确。cos21,则 sin02cos 02sin cos1tan 2

7、sin5选B2 211设F为双曲线C :每a2b21(a 0,b 0)的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2 y2 a2交于P、Q两点。若|PQ| |OF|，则C的离心率为B. 3C.2D. 5解：以OF为直径的圆的方程2 为(x 2)2 y2 c 冊 记x2 y2 all川II2由-得：x L c即直线PQ的方程为：X(a)224-22c 4a c42e 4ee 2选Aa2(三)24a44 l12设函数f (x)的定义域为R,满足f (x 1) 2f (x),且当x (0,1时,f(x) x(x 1)=若对任意x (，m，都有f(x)8 '则血取值范解:当1 x0时,0x1

8、1则f(x)一 f (x21)1尹1)x当1X2时,0x1 1则f(x)2f (x1)2(x 1)(x 2)当2X3时,0x2 1则f(x)2f (x1)22f (x 2)22(x 2)(x 3)川Hi由此可得min1(x 1)x( 1 x 0)f(x) x(x 1)(0 X 1)2(x 1)(x 2)(1 x 2)22(x 2)(x 3)(2 x 3)min作出函数f(x)的图像，当 2 x 3时，由22(x 2)(x 3)89得：3x 7)(3x 8)0解之得x 7或x 833要使对任意x ( ,m都有f(x)89只需m -3选B13. 我国高铁发展训练，技术先进。经统计，在经停某站的高铁

9、列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98，有,10个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为()解：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值% 10 0.97+20 0.98+10 0.99 ,为=0.9810+20+10ax0时，f(x) e。若 f (ln 2)8,则a (B孑则ABC的面积为()14. 已知f (x)的奇函数，且当x 解：当 x 0时,x 0, f( x) e ax :函数f (x)为奇函数当 x 0时，f (x) f ( x) e axf (In 2) e aln2 (!)a 8a 315. 在 ABC

10、中,若b 6, a 2c,解：；b2 a2 c2 2accosB62(2 c)2 c2 2 2c c cos 3c 2 3a 4 311S - acsin B 一 4 3 2 3 sin 63223BE EC1BE 平面 EB1C1AE，求二面角B EC G的正弦值.17.如图，长方体ABCD ABGU的底面ABCD是正方形，点E在 棱AA上，(1) 证明：1By(2) 若 AE(1证明：:BQ 平面ABB1A1,BE 平面ABBABQ BE11i BE EGBE 平面 EB1C1由(1知：BEB190°由题意知：Rt ABE Rt A1B1EAEB 45°AE AB AA

11、 2AB以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在 直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系贝UC(0,1,0), B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1)在平面 EBC中，取 CB (1,0,0), CE (1, 1,1) 为基底，记其法向量 n1 (X1,y1,乙)n1 CB 0/曰 x 0由&得n, CE 0x y z 0取 (0,1,1)i在平面 ECG中，取 C巳(1, 1,1),CC； (0,0, 2) 为基底，记其法向量 匕 (X2, y2, Z2) 由昶0得Z2 0n2 CE 0X2 y2 Z2 0取n1 (1,10)叫.ni n i 12二面角B EC C1的

12、正弦值为身|ni |n2 |cos IV r2 I I 1 2 |18.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后, 每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲乙 两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立。在某局双方 10:10平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束.(1)求 P(X 2);求事件“X 4且甲获胜”的概率.解：1)P(X2)0.5 0.4 (1 0.5) (1 0.4)0.5(2) P(X 4且甲获胜)0.5 (1 0.4) (1 0.5) 0.4 0.5 0.4 0.119.

13、已知数列an禾和 bn满足 a11,b10, 4an 13anbn4,4bn 13bnan 4(1)证明:an bn是等比数列，an bn是等差数列；求an和佝的通项公式.解：1由题知:4(an 1 bn 1) 2(an bn)1 a 1 b 1_(a b )1 n 12< I 严E 1数列an bn是首项为1,公比为由题意知 4(am bm) 4(an bn)an 1 bn 1 an bn 2,a1b11数列an Q是首项为1,公差为1-的等比数列。282的等差数列。(2)由(1)知：an han bn 2n 11an 2 (an bn)1bn- (an bn) (S)2 21(anb

14、n)歹11n _21n -220已知函数 f(x) lnxX 1(1)讨论f(X)的单调性，并证明f(X)有且仅有两个零点；设X0是f(x)的一个零点，证明曲线y lnx在点A(x0,ln X0)处的 切线也是曲线y ex的切线.1.+1皿；7解(1函数f(x)的定义域为(0,1)|J(1,)11 f (x) 12 0x (x 1)函数f(x)在(0,1)、1,)单调递增。"f(e) 1bf(e2) 2e 1亍e2 1e2 e7 1f (x)在(1,)有唯一零点x“ f(xj又"011,'x1f(丄)Inx 9f(xj 0x1x1 11函数f(x)在(0,1)有唯一

15、零点x1综上知：f(x)有且仅有两个零点1，一 e1 x°InxoX。1 、点B( In x0,)在曲线y ex上x由题意知：f (x0)0,x 1x 1则直线AB的斜率丄x 1x x 11x 1 xx0x 1即：In x0连接AB,1k A_lnx0lnx0xAX01x"曲线y ex在点B( In x°,_)处切线的斜率是1x。曲线y Inx在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是曲线y In x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y ex的切线.121.已知点A( 2,0), B(2,0)，动点M (x, y)满足直线AM与BM的斜率之积为 。记2M的

16、轨迹为曲线C.(1) 求 C的方程，并说明C是什么曲线；(2) 过坐标原点的直线交 C与P、Q两点，点P在第一象限，PE x轴，垂足为E, 连接QE并延长交C于点G.(i) 证明：PQG是直角三角形；(ii) 求PQG面积的最大值.解据题意知：L2x 2 x 222 2化简得：L L 1(x2)42曲线C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点)。(i)设直线PQ的斜率为k 则其直线方程为kx2y2y kx(k 0)y由x24解之得:1 2k221 2k2则 P(u,uk),Q( u, uk), E(u,0)k2直线QG的斜率为u)消去y其方程为y联立 2x"4k.y尹k(

17、x22y_2k2u2 80得：(2 k2)x2 2uk2x"口和冷是上方程的两个根XgkPG2uk2Xg fvu(3k22)2 k2uk3rvuk3.2 uk2 k2 u(3k22)2 u2 k2PGPQPQG是直角三角形.IPGI 害PQG的面积S(18k (1 k2)k2)2k )(218(k日1 21 2(k r)2k(当且仅当k则Srt2"函数(t)t1时取二号)= -(t 2)2t 1t2t1在2,)递增t(t)取得最小值(2)= 92当且仅当k 1时，S取得最大值竺9当t 2时,22.在极坐标系中，O为极点，点M( o, o)( o 0)在曲线C:4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当 0时，求0