212向量的几何表示

1、2.1.2向量的几何表示自主预习探新知i. 向量与数量向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2) 数量：只有大小，没有方向的量称为数量.2. 向量的几何表示(1) 带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度(2) 向量可以用有向线段表示.向量 AB的大小，也就是向量 AB的长度(或称模)，记作.向量也可以用字母a, b, c,表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD.思考：(1)向量可以比较大小吗？(2) 有向线段就是向量吗？提示(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(2) 有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量.3. 向量的有关

2、概念零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作心小规疋：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a= b基础自测1. 思考辨析(1) 零向量没有方向.()(2) 向量AB的长度和向量BA的模相等.()单位向量都平行.()(4)零向量与任意向量都平行.()解析错误.零向量的方向是任意的.正确.(3)错误.单位向量的方 向不一定相同或相反，所以不一定平行.(4)正确.答案X V (3)x V2. 有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速.其中可以看成是向量的有()A. 1个B . 2

3、个C. 3个D . 4个B 不是向量，是向量.3. 如图2-1-1,四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是 填序号).(1) AD与BC； (2)OB与0D ；(3) AC与BD ； (4)A0与0C.(1)由平行四边形的性质和相等向量的定义可知:aD= BC, Obm0DACMBD, A0= OC.合作探究攻重难|AX1JJ向量的有关概念例判断下列命题是否正确，请说明理由:(1) 若向量a与b同向，且|a|>|b|,贝U a>b；(2) 若向量|a| = |b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3) 对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同，贝U a= b;(

4、4) 由于 0方向不确定，故 0 不与任意向量平行；(5) 向量a与向量b平行，贝U向量a与b方向相同或相反.思路探究 解答本题应根据向量的有关概念,注意向量的大小、方向两个 要素解 ( 1 )不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向 量不能比较大小(2) 不正确由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.(3) 正确因为|a|=|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得 a= b.(4) 不正确依据规定： 0与任意向量平行(5) 不正确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，贝其方向不定规律方法 1.理解零向量和单位向量应注意的问题(1) 零向量的

5、方向是任意的，所有的零向量都相等(2) 单位向量不一定相等，易忽略向量的方向 2共线向量与平行向量(1) 平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2) 共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3) 平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同 提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心 方向和长度跟踪训练 1 给出下列命题： 若 a / b, b/ c，贝U a / c. 若单位向量的起点相同，贝U终点相同. 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； 向量AdB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上.其中正确命题的序号是 . 错误.若b= 0,则

6、不成立; 错误.起点相同的单位向量，终点未必相同； 正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的. 错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量AB, CD必须在同一直线上.一一J向量的表示及应用卜例如图2-1-2, B, C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点，可以写出向量.图 2-1-2(2)在如图2-1-3所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出图 2-1-3 0A,使|0A|= 4 .2,点A在点O北偏东45° aB,使|AB|= 4,点B在点A正东； BC,使BC匸6,点C在点B北偏东30°【导学号：8

7、4352172】(1)12 (1)可以写出 12 个向量，分别是：AB, AC, AD, BC, BD, CD,BA, CA, DA, CB, DB, DC(2)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|OA匸4,2，小方格边长为1,所以点A距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4,于是点A位置可以确定，画出向量OA如 图所示.由于点B在点A正东方向处，且 AB匸4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定，画出向量AB如 图所示.由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|= 6,

8、依据勾股定理可得：在坐标纸 上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3.3" 5.2,于是点C位置 可以确定，画出向量BC如图所示.规律方法1.向量的两种表示方法：(1) 几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的 长度确定向量的终点.(2) 字母表示法：为了便于运算可用字母 a, b, c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB, CD,eF等.2. 两种向量表示方法的作用：(1) 用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何冋题打下了基础.(2) 用字母表示法表示向量，便于向量的运算.跟

9、踪训练2 .某人从A点出发向东走了 5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10 .2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了 10米到达D点.(1)作出向量AB, BC, CD;求AD的模.解(1)作出向量AB, BC, CD,如图所示:(2)由题意得， BCD是直角三角形，其中/ BDC = 90° BC= 12米，CD =10米，所以BD= 10米. ABD是直角三角形，其中/ABD= 90° AB= 5米， BD= 10 米，所以 AD= 52+ 102 = 5 5(米)，所以 |AD匸5 5米.寻找相等向量和共线向量探究问题1. 两个相等的非零向量的起点与终点是否

10、都分别重合？提示：不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等 向量，与起点和终点位置无关.2. 若AB/CD，则从直线AB与直线CD的关系和AB与CD的方向关系两个 方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况直线AB和直线CD重合，AB与 CD同向;(2) 直线AB和直线CD重合，AB与CD反向;(3) 直线AB /直线CD，AB与CD同向；(4) 直线AB /直线CD，AB与CD反向.例如图2-1-4，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后, 共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与 AC平行且长度为2 2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向

11、量)【导学号：84352173】图 2-1-4思路探究所求向量有以下两个特征：(1)表示此向量的有向线段所在直线 与AC平行或重合.(2)长度是边长为2的正方形的对角线.8 如图所示，满足与AC平行且长度为2 2的向量有AF, RA, EC, CE, (3H，HG,订,JI共8个.A C R母题探究：1.本例中，与向量AC同向且长度为2 2的向量有几个?解与向量AC同向且长度为2 2的向量占与向量AC平行且长度为2 2的 向量中的一半，共4个.2本例中，如图2-1-5，与向量A0相等的向量有多少个?c70/与向量A0方图 2-1-5解图中每个小正方形的对角线所在的向量中, 向相同的向量与其相等

12、，共有8个.规律方法相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确 定哪些是同向共线.(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再 构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起 点，起点为终点的向量.提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.当堂达标固双基1. 下列结论正确的个数是()(1) 温度含零上和零下温度，所以温度是向量；(2) 向量的模是一个正实数；(3) 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；(4) 若 |a|>|b|,贝U a>b.B 错误.温度是数量不是向量；（2

13、）错误.零向量的模为0.（3）正确.因 为零向量与任意向量共线；（4）错误.向量不能比较大小.2. 设O是正方形ABCD的中心，则向量AO, BO, OC, OD是（）A .相等的向量C.有相同起点的向量B .平行的向量D .模相等的向量D 由正方形的性质知 AO|=|BO|= |OC匸|OD|.3. 在下列判断中，正确的是（ 长度为0的向量都是零向量; 零向量的方向都是相同的； 单位向量的长度都相等； 单位向量都是同方向； 任意向量与零向量都共线A .C.【导学号：84352174】B .D .D 由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然正确，不正确，故选D.4. 在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量