数学人教B版选修1-2第2章2.1.2演绎推理

1、2.1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.知识点一演绎推理的含义思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点.(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2) 一切奇数都不能被 2整除，(2 100+ 1)是奇数，所以(2 100+ 1)不能被2整除.答案都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论.梳理 演绎推理的含义(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理.(2)特征：当前提为真时，结论必然为真.知识点二演绎推理规则思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电

2、，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？ 答案分为三段.大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电.梳理演绎推理的规则一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断所以，S是P1 .演绎推理的结论一定正确.(X )2 .在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断.(V )3 .大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的.( V )类型一三种演绎推理的形式例1选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程.函数y= sinx(x C R)

3、是周期函数；(2)当 k>1 时，ylk-y/>y/kn-yk;(3)若nC Z,求证n2-n为偶数.解(1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提y= sin x(x C R)是三角函数，小前提y= sin x(x C R)是周期函数.结论(2)传递性关系推理：当 k>1时，邓一。口= f=.>>>= =%水+ 1 一、fk.加水口2# #+匹n寸 丫(3)完全归纳推理：n2n=n(n 1) , 当 n 为偶数时,n2n 为偶数,当n为奇数时，n-1为偶数，n2n为偶数，当nC Z时，n2n为偶数.反思与感悟对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯

4、一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理.跟踪训练1选择合适的推理规则写出下列推理过程.(1)75是奇数；(2)平面 a , 3 ,已知直线 l / a , l / 3 , a n 3 = m,则 l / m.解(1)三段论推理：一切奇数都不能被2整除.大前提75不能被2整除.小前提75是奇数.结论(2)传递性关系推理：如图，在平面 a内任取一点P(P?m), l / a ,.P?l ,则l与点P确定一平面与 a相交，设交线为 a,则a/ l ,同理，在3内

5、任取一点 Q(C?m), l与 点Q确定一平面与 3交于b,则l / b,从而all b.由 PC a, P?m, . a? 3 ,而 b? 3 , a/ 3 .又 a? a , a A 3 = m, . a / m, . . l / m.类型二三段论的应用命题角度1用三段论证明几何问题例2 如图，D, E, F分别是BC, CA AB上的点，/ BFA Z A, DE/ BA,求证：ED= AF,写出三段论形式 的演绎推理.证明 因为同位角相等，两直线平行，大前提/BFD与/A是同位角，且/ BFD= /A,小前提所以FD/ AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE/

6、BA,且 FD/ AE /、前提所以四边形AFDE为平行四边形.结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED= AF.结论反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式X X X X X X大前提X X X X X X小前提X X X X X X结论(2)用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路.找出每一个结论得出的原因.把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.跟踪训练2已知：在空间四边形 ABCD中，点E, F分别是AB, AD的中点，如图所示，求证： EF/平面BCD.证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E, F分别是AB, AD的中

7、点，小前提所以EF/ BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF?平面BCD BD?平面BCD EF/ BD,小前提所以EF/平面BCD结论命题角度2用三段论解决代数问题xe例3 设函数f(x) =x2 + ax+a,其中a为实数，若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.解 若函数的定义域为 R,则函数对任意实数恒有意义，大前提因为f(x)的定义域为R,小前提所以x2+ax+aw 0恒成立，结论所以 A = a2 4a<0,所以0<a<4.即当0<a<4时，f(x)的定义域为 R.引申探究 若本例的条件不变，求 f(x)的单

8、调增区间.x, x x+ a 2 e解-f (x) = x2+ax+a2,由 f ' (x) = 0,得 x= 0 或 x= 2 a.0<a<4, .当 0<a<2 时,2a>0.，在(一8, 0)和(2 a, +8 )上，f'(x)>0.f(x)的单调增区间为(一8, 0), (2a, +8).当a=2时，f ' (x) >0恒成立，1. f(X)的单调增区间为(一00, +OO ).当 2<a<4 时，2a<0,.在(8, 2 a)和(0, +8)上，f'(x)>0 ,f(x)的单调增区间为(

9、一8, 2-a) , (0, +8).综上所述，当0<a<2时，f(x)的单调增区间为(一巴 0), (2a,十8)；当a=2时，f(x)的单调增区间为(一00, +oo )；当2<a<4时，f(x)的单调增区间为(一巴 2- a) , (0 ,十8).反思与感悟 (1)很多代数问题不论是解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理.(2)在解题过程中常省略大前提.跟踪训练3已知函数f(x) = ax+ x(a>1),证明：函数f(x)在(一1, +°°)上为增函数. x I 1证明x x+1-3 x 3f(x) =a+rr=a+1-xn.所以x3f (

10、x) = a In a +x+ 12.因为x>- 1,所以(x + 1)2>0,所以2>0. x+1又 a>1,所以 In a>0 , ax>0,所以 axln a>0，所以 f ' (x)>0.是，f(x) = ax+ x-1在(-1, +8 )上是增函数.x I 11.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行，同旁内角互补，如果/A与/ B是两条平行直线的同旁内角，则/ A+ /B=180°B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性

11、质D.在数列an中，ai=1, an=1 an 1 + (n >2),由此归纳出an的通项公式 2an-1答案 A解析 A是演绎推理，B, D是归纳推理，C是类比推理.2 .指数函数y=ax(a>1)是R上的增函数，y = 2冈是指数函数，所以y = 2冈是R上的增函数.以上推理()A.大前提错误B .小前提错误C.推理形式错误D.正确考点“三段论”及其应用题点小前提或推理形式错误导致结论错误答案 B解析 此推理形式正确，但是，函数y = 2冈不是指数函数，所以小前提错误，故选 B.3 .三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的”，

12、其中的“小前提”是()A.B.C.D.答案 D4 .把“函数y = x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提： ;小前提：；结论：.答案 二次函数的图象是一条抛物线函数y=x2+x+1是二次函数 函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线5 .设m为实数，利用三段论证明方程 x2-2mx+ m- 1 = 0有两个相异实根.证明 因为如果一元二次方程 ax2+bx + c= 0(aw。)的判别式 A=b24ac>0,那么方程有两个相异实根， 大前提方程x2 2mx+ m 1 = 0的判别式A = ( 2m)2 4(m 1) = 4n2 4m+ 4= (2m1)2+3>0,小

13、前提所以方程x22mx+ m- 1 = 0有两个相异实根.结论1,应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然 的，则可以省略.2 .合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊 的推理.3 .合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想 的正确性必须通过演绎推理来证明 .一、选择题1 .论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是（A.类比

14、推理B.归纳推理C.演绎推理D. 一次三段论答案 C2 .下列表述正确的是（）归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理.A.B.C.D.答案 D解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道正确.3”命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了 “三段论”，但推理形式错误D.使用了 “三段论”，但小前提错误答案 C解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误

15、.4 .“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P）,某奇数（S）是9的倍数（M）,故某奇数（S）是3的倍数（P）上述 推理是（）A.小前提错B.结论错C.正确的D.大前提错答案 C解析由三段论推理概念知推理正确.5 .在证明f（x） =2x+1为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数f（x） = 2x+1满足增函数的定义是大前提；函数f（x） = 2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是（）A.B.C.D.考点“三段论”及其应用 题点三段论的结构答案 Af(x) =2x+1满足增函数的定义;解析 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小

16、前提是 结论是f(x) =2x+1为增函数，故正确.6 .下面几种推理中是演绎推理的是()A.因为y=2x是指数函数，所以函数y = 2x经过定点(0,1)B.猜想数列,的通项公式为an=1 . (n Nk)1 a 2 2 a 3 3/ 4nn 十 1C.由圆x2+y2=r2的面积为兀r2,猜想出椭圆02+ b2= 1的面积为兀abD.由平面直角坐标系中圆的方程为(x a)2+(yb)2= r2,推测空间直角坐标系中，球的方程为(x - a)2+ (y b) 2+ (z c) 2= r2 答案 A7.自主招生联盟成形于 2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”

17、联盟和“京派”联盟.在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时，得到如下结果：a.报考“北约”联盟的学生都没报考“华约”联盟；b.报考“华约”联盟的学生也报考了 “京派”联盟；c.报考“卓越”联盟的学生都没报考“京派”联盟；d.不报考“卓越”联盟的学生就报考“华约”联盟.根据上述调查结果，下列结论错误的是()A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的学生一样多C.报考“北约”联盟的学生也报考了 “卓越”联盟D.报考“京派”联盟的学生也报考了 “北约”联盟答案 D解析 令集合U表示调查的全体学生.集合E表示报考“北约”联盟的学生，集合 F表示报考“华约”联盟的

18、学生，集合 G表示报考“京派”联盟的学生，集合H表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得EA F=?, F? GA中，FAH= ?,结论正确；B中，F=G,结论正确；C中，E? H,结论正确.Hn g= ?uH= F.8.在R上定义运算？： x?y = x(1 -y).若不等式(x a) ?(x + a)<1对任意实数x都成立，则()B. 0<a<231D. 2<a<2A. 1<a<113C.一*<2答案 C解析由题意知,(x a) ?(x + a) = (x a)1 (x + a) = - x2+ x+ a2 a . 一 x + x + a a&l

19、t;1,即x2x a2+a+1>0对任意实数x都成立，则 A = 1 -4( -a2+a+1)<0 ,2-134a -4a-3<0,解得2<a<2.二、填空题9 .在求函数y = Wog2x 2的定义域时，第一步推理中大前提是当 也有意义时，a0;小前提是log汉2 有意义；结论是.答案 y = log 2x 2的定义域是4, +°0 )解析 由大前提知log 2x-2> 0,解得x>4.10 .有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：3是整数；结论：3是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 错误.(填“大前提” “小前提” “结论

20、”)答案大前提11 .锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半，所以所有三角形的面积都等于底乘高的一半，以上推理运用的推理规则是.答案完全归纳推理解析“钝角三角形、直角三角形、锐角三角形”这一分类方法包含了所有的三角形，若这三类三角形的面积都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面积都等于底乘高的一半，故其推理规则为完全归纳推理.12 .若 f(a +b) = f(a)f(b)(a ,bCN+),且 f(1) =2,则于+ .+fl018：.1113 I 2017答案 2018解析利用三段论. f(a +b)= f(a)f(b)(a , bC N),大前提令b=1,则中工=f(1) =2,小前提faf 2 f 4f 1 =f 3f 2018f 2017=2,结论原式=2 422 4 42 = 2018.1009三、解答题13 .如图所示，在锐角三角形ABC中，AD)± BG B已AG D, E是垂足，用三段论形式证明 AB的中点M到D, E的距离相等.证明 有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在4ABD中，AD± BDD 即/ ADB= 90° ,小前提所以 ABD直角三角形.结论同理， AEB也是直角三角形.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为DM是RtABD