21从位移、速度、力到向量学案

1、从位移、速度、力到向量1. 1位移、速度和力1. 2向量的概念1. 理解向量的有关概念及向量的几何表示.（重点）课标解读 2.掌握共线向量、相等向量的概念.（难点）3.正确区分向量平行与直线平行.（易混点）向量及其表示【问题导思】1. 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？【提示】 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向？2. 对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示岀来？【提示】利用有向线段来表示？1. 定义既有大小又有方向的量叫作向量2. 有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段.其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终AAA点的有向

2、线段记作 AB,线段AB的长度也叫作有向线段 AB的长度.记作冋|.3. 向量的长度? ?（或）表示向量（或a）的大小，即长度（也称模）4. 向量的表示法（1） 向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表 示向量的方向.（2） 向量也可以用黑体小写字母如a, b, c来表示，书写用 a , b , c 来表示.向量的有关概念名称定义表示方法零向量长度为零的向量0单位向量与向量a同方向，且长度为丄（向量a方的向量，叫作a方向上的单位?0向上）向量靜多近动探究合作探 究区*向量的有关概念破疑欢 师生互动 找知肚相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b,记作a-b向量

3、平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与&平行或共线，记作a/b下列说法正确的是（）?例A.B.?C. 向量AB若向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D必在同一直线上若向量a与0平行，贝! J a与b的方向相同或相反?度与向量BA的长度相等D.单位向量都相等【思路探究】利用共线（平行）向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否.【自主解答】对于A,考查的是有向线段共线与向量共线的区别.事实上，有向线段 共线要求线段必须在同一直线上？而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上？对于B ,由于零向量与任一向量平行，因此若a , b中有一人

4、为零向量时，其方向是不确定的.对于C,向量与BA方向相反，但长度相等？对于D,需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同?【答案】C?向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条I规律方法I1. 对共线向量的理解是本题的关键点直线上或平行？2. 熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基AOJUIO 东下列说法正确的是()ACD所在的直线? A AKAB/ CD就是AB所在的直线平行于B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度等于0D. 共线向量是在同一条直线上的向量A AAA【解析】CD包含AB所在的直线与

5、 CD所在的直线平行和重合两种情况，故选项 A错;相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B错；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D错.【答案】C卜例达D点.| X： 1 2向量的表示一辆汽车从 A点岀发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向北偏西40。走了 200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到(1)作岀向量 AB、BG CD求|AD|.【思路探究】先作岀表示东南西北的方位图及100 km长度的线段，然后解答问题【自主解 答】由题意，易知又AB = CD.:.在四边形 ABCD中，統 CD.四边形ABCD为平行四边形

6、:.AD = BC , |A 划=BC = 200(km)I规律方法I1. 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向？2. 用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想.应注意的是有向线段是向量的表示方法，并不是说向量就是有向线段.3 .要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向？.侮个小正方形的边长为1)卜变垃训练在如图的方格纸中，画岀下列向量(1)|0A|=4，点A在点0正北方向|(95|=2人2，点B在点0东偏南45。方向； 画一

7、个以C为起点的向量c,使|c|=JL并说岀c的终点的轨迹是什么?【解】的图像如图所示？*Ci0c1 fB?-?*cc的终点轨迹是以 C为圆心半径为边的圆相等向量与共线向量如图2-1-2所示，“ABC勺三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB. BC的中点.写出与EF共线的向量；A写岀与EF的模相等的向量；A(3)写岀与EF相等的向量.【思路探究】解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解【自主解答】？?？、F分别是AC、AB的中点，EFW BC , S.EF = ABC.又T D是BC的中点，EF =BD = DC.A? ?A? A A(1)与EF共线的向量有:FE,BD , DB , DC,

8、CD,BC ,CB.? ? ?与EF的模相等的向量有:FE , BD , DB ,DC ,CD.?与EF相等的向量有： DB , CD.I规律方法I求几何图无1. 本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共纟戋向量的知识于其中, 解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来，用共线向量反映形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长度关系？2. 判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点位置关.对于共线向量，则只要同向或反向即可4互动嬴穽? A在本例条件不变的情况下，写岀与AC共线的向量和与 CE相等的向量A A A ? A A A

9、A【解】与AC共线的向量有：CA , FD , DF , CE , EC , AE , EA；? ? ?与CE相等的向量有：EA , DF.易找易i吴辨析巧分辨解疑拆洪迓P8阱“技能提升区I忽视零向量方向致误卜典例给岀下列六个命题 两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同 若 a-b, 贝 ij a=b;AAB=DC则ABCD是平行四边形 在平行四边形 ABCD中, 一定有 AB=DC ; 若n=k,贝Ij m=k 若 a/b, b/c, 贝,!j aff c.其中不正确的命题的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【错解】选B.【错因分析】 中若万=0则结论不成立，因为0的方向不确定.【

10、防范措施】对于向量的概念要认真理解，尤其是零向量一定要记住其特殊性?【正解】两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故不正确？根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而中方向不一定相同，故不正确.也不正确，因为 A ,B,C ,D 可能落在同一条直线上？零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故中若b = 0 ,则a与c就不一定平行了 .因此也不正确.【答案】C1. 学习了向量的概念及其表示，明确了有向线段与向量之间的关系2. 掌握了特殊向量及向量之间的关系，以及它们的性质特点3. 能在具体图形中找岀相等向量与共线向量当多双

11、基达标隧愛练主生笙动达？?双标“ ggj1. 下列命题中，正确的是（）B. abAabD. |a|=0*a=0A. a=bVa bC. abAa/b【解析】如果两个向量相等，则这两个向量必定平行？【答案】C2. 如图2 1 3, AB=DCAC与BD相交于点0,则相等的向量是（）A. AD 与 CBB. 0AA0CCACADBD. D0 与 0B【答案】D3. 给岀下列命题:A若|a|0|贝U a0；若a=b,则a万;若|a|=0,则a=0; 0=0向量AB大 ?于向量CD ;方向不同的两个向量一定不平行.其中，正确命题的序号是.(把你认为正确的命题序号都填上 )【解析】不正确阀0|知模的大小

12、,而不能确定方向，向量不能比较大小；正确？共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；正确；不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0| = 0 ;不正确.因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；不正确？因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况.4.【答案】如图,O且平彳丁于 AB的线段.写岀图中的各组共线向量;写岀图中的各对同向向量;写岀图中的各对反向向量? ? ? ?【解】 向量DC , BA , EO , OF为一组共线向量;向量? ?A0与OC为一组共线向量;向量? ?OD与0B为一组共线向量;向量? ?AE与ED为一组共线向量;向量A ABF

13、与FC为一组共线向量. ? ? ? ? ? ? ? ? ?向量DC与 EO, OF为同向向量，向量 A0与0C , AE与ED, BF与FC分别为同向向量. DC与B4 , BA与EO, B4与OF , OD与OB为反向向量升区I彳“知能检测课下测自我许怙找“考？ M 、选择题1.如图2-1-5,在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）Dr C图 2-1-5A. DA 与 BCB. AB 与 DCC. DC 与 D4D.BC与AB【解析】TABUDC,. AB与冋用同一条有向线段表示【答案】BAB与DC的关系是（）h.AB=DCB.C. ABDCD. ABDC【解析】|AB|与

14、|DC|表示等腰梯形两腰的长度，故相等?【答案】BA3. 如图所示，AABC勺二边均不相等，E、F、D分别是AC、AB. BC的中点，贝U与A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个【解析】?: E、F、D分别是边 AC、AB和BC的中点，EF的模相等的向量共有（）:.EF=ABC, BD=DC=ABC.又?: AB, BC, AC均不相等，从而与 EF的模相等的向量是： FE, BD, DB, DC, CD.【答案】B4.如图，点0是正六边形ABCDE的中心，则以图中 A, B, C, D, E, F,0中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 量共有（）A. 6个C.

15、8个0A外，与向量Q4共线的向B. 7个【解析】由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量A A A A A AAD , DA , EF , FE , BC , CB , 共有 9 个.故选 D.【答案】D5.下列说法中，不正确的是（）A. 0与任意一个向量都平行B. 任何一个非零向量都可以平行移动C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D. 9个A A A A0A共线的向量有AO ,0D ,D0 ,D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同D.【解析】 易知A、B、C均正确，D不正确，它们的终点可能相同，故选【答案】D.、填空题已知边长6. 为3的等边AABC则BC边上的中线向量 A

16、D的模等于 【解析】 由于AD =普AB =AD = 3【答案】冷B? ? ? ? ? ?7.如图，设0是正方形ABCD的中心，贝0: ?AO=OC ?AO/AC;AB与CD共线;AO=B其.中，所有正确的序号为 .【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知正确，A0与ABO的方向不相同，故不正确？【答案】&如图2-1-10所示，四边形 ABCD是边长为3的正方形，把各边二等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取 2个交点组成向量，则与 AC平行且长度为2边的向 量个 数是-【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它 们分别是连接左下和右

17、上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个.【答案】8三、解答题9.已知0是正方形ABCD对角线的交点，在以 O, A, B, C, D这5点中任意一点为 起点， 另一点为终点的所有向量中，写出：与BC相等的向量;?与长度相等的向量A与DA共线的向量【解】 女口图可知，易知 BC = AD ,所以与BC相等的向量为 AD.?(2) 由0是正方形ABCD寸角线的交点可知 OB = 0D = 0A = 0C ,所以与0B长度相等的A A A A A A A 向量有 BO , 0C , CO , 0A , AO , OD , DO.A A A A(3) 与D4共线的向量有 AD , BC , CB.10?如图2-1-11所示，四边形 ABCD中AB=DC, N M分别是AD、BC上的点，且CN=MA.A A求证：DN=MB.?【证明】:AB = DC, |AB| = |Z)C|fi AB| CD,:.四边形ABCD是平行四边形，?=|CB| ,且 DA| CB.A A A A又tDA与CB的方向相同，：.CB = DA.同理可证，四边形 CN4M是平行四边形，：.CM = NA. := |NA| , :. MB