算术平方根(第一课时)教学设计

1、人教版数学七年级下册第六章第一节算术平方根赣州市赣县石芫中学黄新杰人教版七（下）6.1平方根（第1课时）一一算术平方根教学设计、教学任务分析教 学 内 容 解 析本节课是义务教育课程标准实验教科书人教版七年级（下）第六章实数的第一节平方根的第1课时，主要是“算术平方根”的概念和性质的教学， 属于“数与代数”领域.其 数学本质是已知哥和乘方指数 2求正底数，即求正数乘方的逆运算问题.本节课是在七年级上册学可了有理数的乘方运算的基础上安排的，是学习平方根、无理 数、实数、二次根式、一元二次方程以及解三角形等内容的准备知识.由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，从而完成了初中

2、阶段数的扩展；运算方面，在乘方的基础上引入了开方运算，使代数运算得以完善.因此，本节课是有助于了解平方根、开方、n次方根的概念，为今后学习根式运算、方程、函数等知识作铺垫.同时也为学习有关的物理、化学公式的计算打卜扎实的基础.教 学 目 标1 . 了解算术平方根的概念， 会求一个正数的算术平方根， 能用数学符号表示算术平方根， 了解算术平方根的性质；进一步培养学生的数感、符号感2 .通过探究V2大小，培养学生估算意识，感知无限/、循环小数的特点，渗透“数形结 合”“夹逼法”等数学思想方法.3 .能运用算术平方根的知识解决实际问题，增强数学与生活的联系4 .在概念形成过程中，让学生体会知识的来源

3、与发展，提高学生的思维能力；在合作交 流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识.激励学生树立远大理想，并为实现自己的理 想目标而努力.重 点理解算术平方根的概念、性质.难（1）理解算术平方根的意义；点（2）正确求出一个非负数的算术平方根.学 情 分 析学生的知识技能基础： 学生已学完有理数的乘方， 具备了乘方运算的基础， 对哥中的底 数、指数等概念有了一定的了解；并且有计算正方形等几何图形面积的技能.这就是本节课 的教学出发点，有助于本节学习活动的进行.学生活动经验基础：此阶段的学生具有很强的好奇心、强烈的“自我”和自我发展的意识，因此对新鲜事物或新内容特别感兴趣，但缺乏学习的方法.在前面的学

4、习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流 的能力.教学 策略结合本节课的知识内容的特点与学生的知识能力基础，拟米用探究法、类比法、数形结 合法、夹逼法等方法进行教学 .分析、教学流程安排活动流程图内容和目的活动一：创设情景，引入新课数学生活化，从生活中的实例引入，激发学生的 学习兴趣，引发学生的认知冲突，为形成算术平 方根概念做准备.活动二：知识类比，形成概念从已有知识（二次哥运算）入手，感知一个正数 的平方运算与求算术平方根的互逆过程，类比理 解概念.活动三：理解概念，初步应用通过文字语言叙述算术平方根的初步运用，强化对概念的认识，经历算

5、术平方根求解过程.活动四：符号表达，感受简洁运用数学符号表示算术平方根，感受数学符号的 简洁美.活动五：数形结合，感知估算数形结合，动手操作，体验“夹逼法”，探究估算22的大小，感知无限/、循环小数的特征.活动六：学以致用，强化新知生活数学化，学以致用，运用算术平方根的知识 解决实际问题，体现概念与运算的一致性 .活动七：小结提升，合作交流小结反思，回顾所学的知识方法，形成体系，提 升学习方法与学生素养.活动八：分层作业，共同进步关注差异，落实人文精神，使不同层次的学生都 能体会到学习的成功，获得/、同的发展.三、教学过程设计问题情境师生行为设计意图活动1创设t青景，引入新课（1）同学们，在某

6、校举行的以“中国梦，我的梦”为主题的绘回比赛中，欢欢同学准备了一些止方形的回布，根据卜表止方形的边长，你能快速求出相应止方形的面 积吗？（2）填表：（表1）学生课前聆听歌曲 中国梦我的梦，欣 赏一组“中华民族复兴” 的图片.学生利用乘方的法 则进行（表1） “已知 止方形边长求面积”运 算；利用乘方的互逆运 算进行（表2） “已知正 方形的面积求边长”的 计算.创设中国梦我 的梦为主题的绘画 活动情景，切入课题.（表1）已知一个 正数，求这个正数的 二次哥；（表2）是已 知一个正数的二次 哥，求这个正数，即求 一个二次哥的正底 数.止方形的边长/dm120.523止方形的面积/dm已知止方形的

7、边长，求面积 .（已知一个正数，求这个正数的二次哥.）问题情境师生行为设计意图（表2）本次活动应重点关 注：学生通过观察发现 两道题的解答过程中对 乘方运算及其互逆运算 的感知.通过对比，让学 生感知(表1)与(表2) 运算的互逆过程，从 乘方入手，为形成“算 术平方根”的概念做 准备.一 、一,，一 -2止刀形的面积/dm140.2549止方形的边长/dm(教师在学生完成的基础上与学生共同总结：已知正方 形的面积求边长，实际上就是已知一个正数的二次哥， 求这个正数，即求一个二次哥的正底数.)活动2知识类比，形成概念(1) 表1和表2中的两种运算有什么关系？ (互逆运算)(2)如果表1中正方形

8、的边长用 x表示，面积用a表 示，可以得到x2 = a .在这个式子x2 =a中，a叫做x 的二次哥，正数x是二次哥运算中的什么数？ (正底数)正数x又叫做a的算术平方根.(3)归结概念：一般地，如果一个正数 x的平方等于a ,即x2 = a ,那 么这个正数x就叫做a的算术平方根.引导学生观察、分析乘方运算x2 = a中x与a的思义，由乘方运 算定义算术平方根.引 导学生用文字语言进行 表述算术平方根定义.教师完善并板书定义.本次活动中，教师 应重点关注：(1)让学生充分经 历探究算术平方根定义 的过程，让学生感受到 正数的二次哥运算和求 二次哥的正底数运算互 为逆运算.(2)从特殊到一般、

9、 具体到抽象的数学思想 方法及归纳的能力的培 养.从学生已有的 “乘方”运算知识入 手，帮助学生认识到 x是二次哥a的正底 数，我们也将“正数x 叫做a的算术平方 根”，这样学生容易理 解定义。经历从特殊到一 般的数学思想方法.让学生亲身体验 概念的形成过程，进 而准确地运用数学语 言表达算术平方根的 概念，充分体现了学 生的主体作用，发展 学生抽象概括的能 力.活动3理解概念，初步应用(1)试一试：因为42=16 ,所以是16的算术平方根；因为0.52=0.25 ,所以是0.25的算术平方根；因为(4)2=16 ,所以是的算术平方根.981(2)想一想：判断下列说法是否正确.5是25的算术平

10、方根；()0.01是0.1的算术平方根；()0的算术平方根是0.()(规定：0的算术平方根是0.)对照概念，学生先 独立完成，再交流互补， 不断完善.教师给予评 价和鼓励.本次活动中教师应 重点关注：(1)让学生充分经 历探索求一个正数的算 术平方根过程.(2)学生在自主完 成时应让学生什-个独 立思考、交流意见的时 间和空间.结合概念，从乘 方运算入手，运用文 字语言叙述一个具体 正数的算术平方根.进一步增强对概念的 理解，强化对算术平 方根概念的认识.理解规定“0的算 术平方根是0” .问题情境师生行为设计意图活动4符号表达，感受简洁（1）怎样用符号来表示算术平方根？a的算术平方根可记为

11、后,读作“根号a”，a叫做被 开方数.也就TE说，在等式 x =a （x>0）中，规te x = <a .如：16的算术平方根是 4；（文字语言）可记为：晒=4.（符号语言）0.25的算术平方根是 0.5;可记为：.（符号语言）16的算术平方根是4;819可记为：.（符号语言）（2）例1:求卜列各数的算术平方根 . 0.04; 25; 100.16（师生共同归纳：求一个正数 a的算术平方根的一般步骤以及算术平方根的性质.）算术平方根的性质：正数只有一个算术平方根；算术平方根等于它本身的数有0和1 ；被开方数越大，对应的算术平方根也越大.（3）填空：（看谁算得又对又快！）一个数的算术

12、平方根是 3,则这个数是.J8T的算术平方根是.2的算术平方根可记为 .让学生尝试用数学 符号表示算术平方根， 掌握其书写及读法.教师引导学生对 照概念，运用数学符 号表示算术平方根， 并与文字叙述进行对 比，体会数学符号表 示法的简洁性，培养 学生的符号感.通过检测学生对 算术平方根概念的掌 握情况，规范解题格 式，让学生进一步体 会求算术平方根和乘 方运算的互逆关系.归结算术平方根 的有关性质，加深对 概念的理解.通过逆用概念 （已知算术平方根， 求被开方数）、概念间 的综合运用，进一步 强化与提升概念的理 解.（第小题师生同 做，后两小题找学生板 演.注意后两小题的解 题格式.）学生完成

13、例1后， 教师及时引导学生反 思，归纳小结求一个正 数a的算术平方根的一 般步骤以及算术平方根 的性质.由学生讨论交流， 共同探讨填空题的解答 思路.本次活动中教师应 重点关注：（1）问题的解决依 据于算术平方根的概念（2）学生在活动中 的参与意识及积极性.问题情境师生行为设计意图活动5数形结合，感知估算（1）男拼游戏：用两个面积为1 dm的止方形拼成一个面积为2dm2的正方形.有几种剪拼方法？面积为 2dm2的 止方形的边长是多少？（2） J2到底后多大呢？方法1:用二个面积分别为 1dn2, 2dm2, 4dn2的止方形比较它们边长的大小， 学生观察图形感受 J2的大小，得 到1<K

14、<2.（从“形”的角度去感知）你想进一步感知 J2的大小吗?方法2：借助电子表格，一步一步推导出J2的近似值.（夹逼法）方法3:计算器演示.（从“数”的角度去估算）（3） J2是有限小数吗？ J2是循环小数吗？（J2是一个小数位数无限， 且小数部分不循环的小数.这样的数我们称之为无限不循环小数.）这样的数你以前见过吗？是什么？（ 兀） 也和兀是有理数吗？（它们是我们今后要学习的无理数.）（无理数的出现引发了数学史上的第一次数学危机！希帕索斯是发现无理数的A人！他为了捍卫“无理数存在”的真理，挑战权威 ，付出了宝贵的生命！）学生进行小组合 作，动手操作，拼接图 形，教师巡视、观察、 适时参

15、与、引导.出示三边长分别为1、J2、2的的止方形， 让学生进行观察比较， 在此基础上让学生初步 感知J2的大小.借助电子表格、计 算器进一步探究J2的大小.感知，2是无限 不循环小数的特征.了 解有关数学史实.本次活动中教师应 重点关注：（1）学生能否熟练 地进行图形的剪拼.（2）电子表格、计 算器在数学中的运用.在动手操作的过 程中，培养学生的合 作精神与活动经验.从“形”的角度 粗略直观感知J2的 的大小.从“数”的角度进一步估算/2的大小.了解“夹逼法” 中利用耳、足近似值和过剩近似值估算 J2的大小，以及数学学 习工具“计算器”在 数学学习中的作用， 培养学生的数感.利用数学史实， 适

16、时对学生进行人文 教育.活动6学以致用，强化新知例2:自由卜落物体的高度学生审题，理解关 系式的含义，以及已知 数的意义，自主完成练 习，教师巡视，并给予 评讲.本次活动中教师应 重点关注：（1）理解关系式中 已知量与未知量；（2）能正确将已知 值代入关系式，进行公 式变形，运用方程思想 及算术平方根概念求 解.运用算术平方根 的知识解决实际问 题，进行数学建模， 将实际问题转化为运 用算术平方根的知识 求解.生活数学化.以 增进学生对数学价值 的体悟.h （米）与下落时间t （秒）的关系J®为h=4.9t .有一铁球从19.6米趣局的建筑物上自由卜落，到达地，微面需要多长时间？nr

17、问题情境师生行为设计意图活动7小结提升，合作交流(1)通过这节课的学习，我知道了，我学会了，我发现了(2)在探索知识的过程中， 体验了哪些数学思想方法？数形结合思想；夹逼法、用信息技术探究数学知识的方法.学生反思后充分发 表自己的意见，教师倾 听.本次活动中教师应 重点关注：(1)积极评价/、同 层次的学生对本节课的 /、同认识.(2)通过小结明确 本节课的学习内容，思 想方法.通过回顾、梳理、 反思，使学生对所学 知识得到充分的消化 和吸收，理顺各知识 点间的关系.培养学 生善于反思的良好习 惯，倡导学生要善于 发现、勇于探索、敢 于创新.活动8分层作业，共同进步1 .必做题：习题6.1第1

18、题，第2题.2 .选做题：请你观察卜列计算过程：因为12=1，所以<1 =1 ；因为 112 = 121，所以 121= = 11 ；因为 1112= 12321，所以 J12321 = 111 ； 由此猜想： $2345654321 = .3 .课外知识阅读：第一次数学危机和根号的由 来.教师布置作业，学 生按要求独立完成.本次活动中教师应 重点关注：(1) /、同层次的学 生对算术平方根的掌握 程度，应有针对性的分 析与点评.(2)学生的动手能 力和数形结合思想的培 养.关注学生差异， 设置分层作业，使不 同层次的学生均能体 会到由学习的成功带 来的成就感，实现“不 同的人在数学上获

19、得 /、同的发展”目标.通过课外知识的 阅读，丰富学生的数 学知识，激发对数学 学习的积极性，培养 学生良好的数学素 养.附：板书设计6.1算术平方根1、如果一个正数x的平方等于算术平方根.即：如果x2 =规定：0的算术平方根是2、例题a,那么这个正数x就叫做a的a ,那么 x= Ja( x>0).o.学生板演附录：课外阅t材料：两则第一次数学危机 根号的由来1、第一次数学危机第一次数学危机起因于无理数 J2的发现，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前 370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了 一直以来在西

20、方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世 界关于无理数的研究的开始。直角三角形的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感 到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用 有理数表示”的信仰。所以，通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数”是该学派的哲学基石。而 、切数均可表成整数或整数之比 ”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由 毕

21、达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 理的诞生。小小22的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发 现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这 一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有

22、理数。 这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的22的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的 是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方 数学史上一场大的风波，史称 第一次数学危机2、根号的由来现在，我们都习以为常地使用根号（如 L, 3厂等等），并感到它使用起来既简明又方便，那 么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？古时候，埃及人用记号“厂”表示平方根；印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka;阿拉伯人用48表示J48; 1840年前后，德国人用一个点".”来表示平方根，两点".”表示4次方 根，三个点"”表示立方根，比如，.3