课时1-2.1曲线与方程_教学设计_教案

1、教学准备1 .教学目标1 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系2初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义3强化“形”与“数” 一致并相互转化的思想2 . 教学重点/难点教学重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程3 .教学用具多媒体设备4 . 标签教学过程教学过程设计1复习引入【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直 线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方 程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题：【板演/PPT】思考1直线y = x上任一点

2、M到两坐标轴距离相等吗？思考2到两坐标轴距离相等的点都在直线 y = x上，对吗？思考3到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？【生】学生思考交流2新知介绍1结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念【师】：引导学生发言总结【板演/PPT】答 y=±x.理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0, y0)满足y0 =x0或y0= x0,即(x0, y0)是方程y= ± x的解；反之，如果(x0 , y0)是方程丫 = 乂或丫= x的解，那么以(x0 , y0)为坐标的点 到两坐标轴距离相等.【师】思考下面问题：思考4曲线C上的点的坐标都是方程f(x ,

3、 y)=0的解，能否说f(x , y)=0 是曲线C的方程？思考5判断下列命题是否正确.(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y=y-过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x| =2.【生】思考总结【板演/PPT解(1)不正确.设(x0, y0)是方程y=，7q 的解，则y0=/F,即 x02+y02=r2.两边开平方取算术平方根，得 G+W = r即点(x0, y0)到原点 的距离等于r,点(x0, y0)是这个圆上的点.因此满足以方程的解为坐标的点_ 都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、半径为 r的圆上的一点如点.在圆上，却不是y=#l ，的解,这就不满足曲线上的点的坐标都是方

4、程的 解.所以，以原点为圆心,半径为r的圆的方程不是y=>T,而应是y = ± 二，V'. 、直线上的点的坐标都满足方程I x | =2、满足方程| x | =2的点不一定在直线上结论：过A (2, 0)平行于y轴的直线的方程不是I x | =2【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念【板演/PPT】曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的 轨迹)上的点与一个二元方程f(x , y) =0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲

5、线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.【师】 引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义【板演/PPT定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可.从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x , y) =0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x , y)=0是曲线C的方程的充分条件.因此，在判断或证明f(x , y)=0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立.【板演/PPT从集合角度理解为：定义的实质是平面曲线的点集M|p(M)和方程f(x , y)=0的解集(x ,y)|f(x , y)=0之间的一一对应关系.由曲线和方程的这一对应关

6、系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程2概念应用【师】下面我们看屏幕上的例题【板演/PPT例1：若命题”曲线C上的点的坐标都是方程f(x , y)=0的解”是正确的， 则下列命题为真命题的是().A.不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x , y)=0B.坐标满足方程f(x , y)=0的点均在曲线C上C.曲线C是方程f(x , y) =0的曲线D.不是方程f(x , y)=0的解，一定不是曲线C上的点.【师】从定义入手，考虑充要条件【生】思考回答【板书/PPT】解析 二题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的 解”，并未指出“以方程f(x , y) =

7、0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，.A, B, C都是假命题，如曲线C:平面直角坐标系一、三象限角平分线上的 点，与方程f(x , y)=x2y2 = 0,满足题设条件，但却不满足选项 A, B, C的 结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的.【师】规律方法(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适 合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.从而建立方程的解与 曲线上点的坐标的一一对应关系. 定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为 所给定方程的曲线的准则，缺一不可.因此，在证明 f(x , y)=0为曲线C的方 程

8、时，必须证明两个条件同时成立.【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题【板书/PPT 例2下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正.(1)也一 A=o； (2)->2=0； (3) |JT| -y=o*【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合【板书/PPT】解：不对，应为y=x【师】引导学生反思总结【板书/PPT反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与 原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.【板书/PPT例3已知方程£+1/=10.”判断点RL -2), 4?('2, 3)是否在此

9、方程表示的曲线匕【师】引导学生思考【板书/PPT方法点拨(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否 是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上.解：带入验证知P点在此方程所表示的曲线上，Q点不在。【板书/PPT若点J/|,一必；在此方程表示的曲线上，求 m的值.解：将点广也带入方程后解方程得:£ J加工2或身 5迁移训练(12分)若曲线y2 = xy + 2x + k通过点(a , a), aCR,求k的取 值范围.【师】引导学生思考审题指导点( 口 . U)在曲线上4 ( Ut 口)适合方程利用求值域得L的范围【板书/

10、PPT】'''曲线 y£ = xy+2x+k过点-a, a2= 一 a计 2a+k-A= 2a，- 2&=2 3- 6。 iu£r二A的取值范围是+8).43新知应用【师】为了深刻的理解本节内容，我们来看下列一个问题【板书/PPT1 .曲线C的方程为y=x (1 <x< 5),则下列四点中在曲线 C上的是()A.(0,0)B.(1,5)C.(4,4)C.(4,2)2 .已知坐标满足方程f(x , y)=0的点都在曲线C上，那么()A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x , y)=0B.凡坐标不适合f(x , y)=0的点都不在C上

11、C.不在C上的点的坐标必不适合f（x , y）=0D.不在C上的点的坐标有些适合f（x , y）=0,有些不适合f（x , y）=03 .下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是【师】 能否根据引例中的检验方式进行相关分析4 .方程y=3x2 （x >1）表示的曲线为（）A. 一条直线B. 一条射线C. 一条线段D.不能确定5 .方程x2 + xy = x表示的曲线是（）A.一个点B. 一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线6 .”点M在曲线y2 = 4x上”是“点M的坐标满足方程y= 2式”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7 .请说出下列方程表示什么曲线？（工- 1 Nf + J 2 - 4 = 0（工十丁一1）心- 1 = 0浮+- 4x+ 2j-+ 3 = 0答案：CCDBCB课堂小结1 .曲线的方程和方程的曲线