人教版初三数学二次函数知识点及难点总结材料

1、实用标准初三数学 二次函数 知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口 .|a|越大，则二次函数图像的开口越小.1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与 b异号时（即ab< 0 ），对称轴在y轴右.事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与 y轴的交

2、点处的该二次函数图像 切线的函数解析式（一次函数）的斜率 k的值.可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点.二次函数图像与y轴交于（0, c）一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，a/0）的函数，叫 做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a#0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y =ax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一i次项系数，c是常

3、数项.精彩文档实用标准二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(0, 0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0 .a <0向下(0, 0)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x = 0时，y有最大值0 .2. y =ax2 +c的性质：上加下减a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(0, c)y轴x >0时，y随x的增大而增大； x <0时，y随x的增大

4、而减小； x=0日寸，y有最小值c .a <0向下(0，c)y轴x >0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大时，y有最大值c .3. y=a(x_hj的性质：左加右减a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h, 0)X=hx a h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小； x = h时,y有最小值0.a <0向下(h, 0)X=hxh时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大； x = h时,y有最大值0.4. y =a(x-h )+k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h

5、, k)X=hx A h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小；x = h时，y有最小值k.a <0向下(h, k)X=hx a h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大；x = h时，y有最大值k.精彩文档三、二次函数图象的平移1.平移步骤:方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x.hj+k ,确定其顶点坐标（h,k）； 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h,k）处，具体平移方法如下:y=ax2y=a(x-h)2向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）平移|k|

6、个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位 > y=ax 2+ k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位为 y=a (x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减方法二:y =ax2+bx+c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y=ax2+bx + c变成y=ax2+bx+c + m (或 y = ax2+bx+cm )y =ax2+bx+c沿轴平

7、移：向左(右)平移 m个单位，y = ax2+bx + c变成y =a(x +m)2 +b(x +m) +c (或 y =a(x - m)2 +b(x - m) + c)四、二次函数y =a（x-h 2+k与y =ax2+bx+c的比较从解析式上看，y=a（x-h）2+k与y =ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y=a.l+2gb2,其中卜=上j=史函.2a 4a '2a 4a五、一次函数y=ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y=ax2+bx+c化为顶点式y = a（x.h）2+k,确定其 开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称

8、轴两侧，左右对称地描点画图 .一般我 们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2h,c）、 与x轴的交点3，0 ）, （&,0 ）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y =ax2 bx,c的性质f .2 、1 .当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=.b ,顶点坐标为IE,竺i.2a12a 4al当xc.2时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大; 2a2a2当x=_二时，y有最小值4az.2a4a2 .当a<0时，抛

9、物线开口向下，对称轴为, 弋，顶电坐标为，整当x<-b时，y随x的增大而增大；当x>-b时，y随x的增大而减小； 2a2a当x = _包时，y有最大值型 2a4a七、二次函数解析式的表示方法1 . 一i般式：y =ax2+bx+c （a, b, c为常数，a#0）；2 .顶点式：y=a（x-h）2+k （a, h, k 为常数，a#0）;3 .两根式：y =a（x-为"-x2）（a#0,为，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2-4ac20时，抛物线的解

10、 析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y=ax2+bx + c中，a作为二次项系数，显然a/0 .当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大;（2）当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口 的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a >0的前提下，当b>0时，-<0 ,即抛物线的对称轴在y轴左

11、侧；2a当b=0时，一9=0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b<0时，b>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 2a 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时，2>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b=0时，一9=0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当bM0时，一9<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧. 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴x =-且在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则ab < 0 ,2a概括的说就是“左同右异”总结：3 .常数项c(1)当ca0时，抛物线与y轴的交点在x轴上

12、方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；(2)当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为0;(3)当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；3 .已

13、知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于X轴对称y =ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2bxc;y=a(x-hj+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=a(xh2-k；2 .关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-hj+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h2+k；3 .关于原点对称y =ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c;y

14、=a(x -h f+k关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a(x + hf-k ;4 .关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180 )y =ax2+bx+c关于顶点对称后 得到的解析式是y =-ax2 -bx+c；2ay =a(x-h 2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-hf+k.5 .关于点(m, n对称y =a(x -h f+k关于点(m, n )对称后，得至的解析式是 y = -a(x + h-2m ) +2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的

15、形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶 点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一元二次方程ax2 +bx+c =0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y = 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当=/ 4ac >0时，图象与x轴交于两点A（x1，0卜B（x2 , 0 ）（为0%）,其中的为，x2是 一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0）的两根.这两点间的距离AB = x2%=血了.a当小=0时，图象与x轴只有一个交点

16、；当A<0时，图象与x轴没有交点.1'当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y <0.2 .抛物线y =ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 , c）；3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y =ax2+bx+c中a , b , c的符号，或由二次函数中a , b , c 的符号判断图象的位置，要数形结

17、合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c（a=0）本身就是所含字实用标准母x的二次函数；下面以a >0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之一次函数图像参考：c 2y=2x;二 | .-.jy=2 x2+2.Llrxxx27飞二y=-2x 2y=3(x+4) 2 y=3x 2 AiV/II一" 干 h . jJi ?yy i八八J. y=-2x 2y=-2(x-3) >0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可

18、正、可零、可负一兀一次方程有两个不相等实根0 =0抛物线与X轴 只有一个交 点二次三项式的值为非负一兀一次方程有两个相等的实数根0 <0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正兀一次方程无实数根.卜一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以X为自变量的二次函数y=(m-2)X2 +m2m 2的图像经过原点， 则m的值是2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx+b的图像在

19、第一、二、三象限内，那么函数 y = kx2+bx-1的图像大致是()1、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x=,求这条抛物线的解析式。32、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y=ax2+bx+c (a#0)与X轴的两个交点的横坐标是31、3,与y轴交点的纵坐标是一2(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 .5 .考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛

20、物线的位置确定系数的符号例1 (1)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1,则点M(b,-)在() aA .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(2)已知二次函数y=ax2+bx+c (a#0)的图象如图2所示，？则下列结论：值只能取0.其中正确的个数是()【点评】弄清抛物线的位置与系数 a,.4个a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当y=-2时，x的b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2 , O)、(x1，0),且1<必<2,与y轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方.下列结论

21、：a<b<0;2a+c>O4a+c<O2a-b+1>0,其中正确结论的个数为()A 1 个B. 2 个C. 3 个D . 4个 会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为x=-2 ,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()A(2 , -3) B.(2,1) C(2,3) D .(3,2)答案：C例4、如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动, 直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 y品.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=

22、2,3.5时，y分别是多少?(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物 线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y= x2+x- 5 .22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A B,求线段AB的长.【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次 函数与一元二次方程的关系.例6、 “已知函数y =x2+bx+c的图象经过点A （c, 2）,2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，

23、请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c, 2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数, 所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑 可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标， 可以给出顶点 的坐标或与

24、坐标轴的一个交点的坐标等Ox=3,解答（1）根据y=2x2+bx + c的图象经过点A（C,1 2c bc c = -2,得«解得? = "3' c = 2.2M .3一 2 1,22所以所求二次函数解析式为y=；x2 -3x+2.图象如图所(2)在解析式中令 y=0,得；x2-3x + 2 = 0,解得 x1 = 3+V5,x2 = 3-。5.所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+75,0）”或“抛物线与x轴 的一个交点的坐标是（3-而0）.令x=3代入解析式，得y=-|精彩文档实用标准所以抛物线y =1x2 .3x 2的顶点坐标为（3,心）, 22所以

25、也可以填抛物线的顶点坐标为（3,一？）等等。2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；,借助多种现实背 景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数 与相关知识的联系。MWWWWWVMaWWWWWWWWaWWWUWWWUMWWWWIWWW用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE如图），其中AF=2 BF=1.试在AB上求一点P,使矢!形PNDMT最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合 在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思

26、路留下了思 维空间.x（元）152030y （件）252010（元）？与广品的日销例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x 售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数 关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ ？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b.则!15k+b* 解得k=-1 , b=40, 2k b =20?即一次函数表达式为y=-x+40 .（2）设每件产品的销售价应定为 x元，所获销售利润为w元w= （x-10） （40-x） =-x

27、2+50x-400=- （x-25） 2+225.产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为 225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两 点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，? “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2） ?问的求解依靠配方法或最 值公式，而不是解方程. 二次函数对应练习试题一、选择题1 .二次函数y =x2 -4x-7的顶点坐标是（）A.（2, 11） B.（ 2, 7）C.（2, 11） D. （2, -3）2 .把抛物线y = -2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. y -

28、 -2（x 1）2 B. y - -2（x -1）2 C. y - -2x2 1 D. y - -2x2 -1精彩文档实用标准3 .函数y=kx2_k和y=K(k#0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的() x4.已知二次函数y = ax2 +bx + c(a#0)的图象如图所示，则下列结论： 卜 a,b同号；当*=1和*=3时，函数值相等；4a + b = 0当y = 2/精彩文档时，x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个5 .已知二次函数y = ax2+bx + c(a=0)的顶点坐标(-1 , -3.2 )及部分图象(如图)，由图象可知关于x

29、的一元二次方程ax2+bx + c = 0的两个根分别是x,=1.3和x2=()A. - 1 . 3B.-2.3C.-0.3D.-3.36 .已知二次函数 y =ax2+bx+c的图象如图所示，则点(ac,bc)在(A.第一象FMB.第二象限C.第三象限D .第四象限C.2 个.3 个与y轴交于点C,且OC=2则这条抛物线的解析7 .方程2x-x2=2的正根的个数为( xA.0个 B.1 个8 .已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0), 式为y - -x2 x 2y = -x2 -x-2 或 y = x2 + x + 2A. y =x2 -x - 2B.C. y =x2-x-2或 y =-

30、x2+x + 2D.、填空题9 .二次函数y =x2+bx+3的对称轴是x=2,贝U b =10 .已知抛物线y=-2 (x+3) 2 +5,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.11 . 一个函数具有下列性质：图象过点(一1, 2),当x<0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可)。12 .抛物线y=2(x2)2-6的顶点为C,已知直线y = kx+3过点C,则这条直线与两 坐标轴所围成的三角形面积为。13 .二次函数y =2x2 4x1的图象是由y=2x2+bx + c的图象向左平移1个单位，再向 下平移2个单位得到的，则b= ,c=

31、。14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M处5米的地方，桥的高度是 J兀取3.14).三、解答题：15 .已知二次函数图象的对称轴是x+3 = 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(o, -2).(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？16 .某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t (秒)符合关系式h=v0t-ggt2 (0<t <2),其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以V0=20米/秒的初速 度上升，(1

32、)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下 降，并说明理由.17 .如图，抛物线y =x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标 轴的两个交点A B,此抛物线与x轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使S&pc : S&cd =5 :4的点P的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货 源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时, 月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经 市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨.综合考 虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x (元)，该经销店的月利润为y (元).(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由. 练习试题答案一，选择题、1 .A 2.C 3. A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C二、填空题、9.