点线面的位置关系与平行关系---课件

1、精品教学课件设计| Excellent teaching plan点、线、面位置关系以及线面平行关系【知识点梳理】1、公理及推论公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内.用符号语言表示公理 1： A l,B l,A ,B l .公理1作用：判断直线是否在平面内.公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号：平面”和3相交，交线是a,记作 加3= a.符号语言：P AI B AI B l,P l .公理2作用：它是判定两个平面相交的方法.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.它可以判断点在直线上

2、，即证若干个点共线的重要依据.公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面.公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据；它是证明平面重合的依据.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.2、空间直线与直线之间的位置关系(1)异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线性质：既不平行，又不相交.(3)异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线.(4)异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角.两条异面直线所成角的范 围是(0。，90 ,若两

3、条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.(5)求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角.C、利用三角形来求角.(6)异面直线的距离： 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做 两条异面直线间的距离.(7)两条异面直线的公垂线有且只有一条.(8)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有无数个公共点.直线不在平面内户目交一一只有一个公共点.(就直线在平面外平行一一役有

4、公共点.三种位置关系的符号表不' ：a a； a A a= A; a / a.直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外.4、平面与平面之间的位置关系：平行一没有公共点： all 3；相交一有一条公共直线：加3= l.5、直线和平面平行的判定定理: 面平行.（记忆口诀：线线平行符号表示为：a , b如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平线面平行）,a/ba/ .图形如右图所示.6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.a ,b,a I b P用符号表不为：,/a/ ,b/图形如右图所示.7、直线和平面平行的性

5、质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（记忆口诀：线面平行线线平行）a/用符号表示为： aa/b .I b图形如右图所示.8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为： ，I a, I b a/b.其它性质：，l l / ; ，l l ;夹在平行平面间的平行线段相等.图形如右图所示.【典型例题】 题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1:如图，已知空间四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且 EF交GH于P.求证：P在直线BD上.变式1:如图，

6、在空间四边形 ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点,点，且CFCBCGCD2,则(3(A) EF与GH互相平行(B) EF与GH异面(C) EF与GH的交点M可能在直线 AC上，也可能不在直线 AC上(D) EF与GH的交点M，定在直线AC上F、G分别是边BC、CD上的变式2：如图所示，设 E , F , G , H分别是空间四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA上的点，且AE AHCFAB ADCB(1) E, F , G ,CGCDH四点共面;(2)当时，四边形EFGH是平行四边形;(3)当时，四边形EFGH是梯形.题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2: A是A

7、BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点,(1)求证：直线 EF与BD是异面直线;(2)若ACBD, AC=BD,求EF与BD所成的角.变式3:给出下列关于互不相同的直线 l,m,n和平面，的三个命题:若l,m为异面直线，l ,m ，则 / ；若 / , l , m ，则 l / /m;若 I l, I m, I n, l / / ,则 m/n,其中真命题的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定 例题3:如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，侧面对角线AB 1, BCi上分别有两点E, F,且BiE=CiF.求证：EF/平面 ABCD

8、 .变式4: 一个多向体的直观图和二视图如图所不，其中M、N分别是 ABFG-GD时，在棱AD上确定一点P,使得GP平面FMC ,并给出证明.主视图左视图门-E. a.题型四、证明线面平行与线面平行性质的运用例题4:如卜图，两个全等的止方形 ABCD和ABEF所在平囿相交于/证：MN /平面BCE.、AC的中点，G是DF上的一动点.当AB3BB , M e AC , N e FB 且 AM=FN ,求A.F11f7Dr /n/M/ B QEc一一A -F d4 ./ m/二叶-7N / B1rzz e 心二二一一一变式5:如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过 AB的中点O作平面

9、”与a、b分别平行, M、N分别是a、b上的任意两点，MN与“交于点P,求证：P是MN的中点.变式6：如图所示，PA是圆柱的母线， ABCD为矩形，E,F,G分别是线段PA, PD, CD的中点，求证:PB/面 EFG .变式7：如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E, P分别是BC,AQi的中点，M , N分别是AE, DQ的中点，求证：MN /面ADD1A .题型五：证明面面平行与面面平行性质的运用例题5:如图，在四锥P - ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形 ABCD的对角线AC的中点.求证：过 O、M、N三点的平面与侧面 PCD平行.凡变式

10、8:正方体ABCDAiBiCiDi中.(1)求证：平面 AiBD/平面BiDiC; (2)若E、F分别是AAi, CCi 的中点，求证：平面 EBDi/平面FBD.ABFC【方法与技巧总结】1 .位置关系：(1)两条异面直线相互垂直证明方法：证明两条异面直线所成角为 90o；证明线面垂直，得到线线垂直；(2)直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；利用平行四边形. 利用三角形中位线.(3)面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可.(4)掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化.2 .求角：(1)两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移

11、，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是(0,；2(2)直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形.【巩固练习】1. A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线,表示不同的平面，下列推理不正确的是 ()A. A l,A , B l, BC. l ,A l AB. A ,A , B ,BAB直线D. A,B,C , A,B,C 且A,B,C不共线 与重合2.对于直线 m、n和平面 ，下面命题中的真命题是(A .如果m ,n ,m、n是异面直线，那么nB.如果m ,n ,m、n是异面直线，那么 n与 相交C

12、.如果m , n / , m、n共面，那么m/ nD .如果m/ , n/ , m、n共面，那么 m/ n3 .有以下命题，正确命题的序号是 .直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行;直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行;直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行.4 .在三棱锥P ABC中，O,D分别是AB,PB的中点.求证：OD/平面PAC.5 .如图，在四B P ABCD中，底面ABCD是矩形，E, F分别是PB,PC的中点，证明：EF/平面PAD.6 .如图所示，在三棱柱 ABC AB1C1中，D点为棱AB的中

13、点，求证：ACi /平面CDBi .4_7 .如图，在四锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形,平面ACM .。为AC中点，M为PD中点.证明：PB/8 .如图，已知 DE / AB , 2AB=DE ,且F是CD的中点，求证： AF /平面BCE .A l2/ aC l2/ a或 l2 aD l2与a相交2.设平面 与平面交于直线l,直线a ，直线b,a b M ,则 M l.3.直线 AB、AD ,直线 CB、CD，点E AB,点F BC,点G CD,点H DA,若直线HE直线FG=M ,则点 M必在直线 上.9 .在棱长为a的正方体ABCD AB1C1D1中，E是线段A1C1的中点，

14、底面ABCD的中心是F ,求证：CE /平面AiBD .【课后作业】1.已知直线l1、l2,平面a, 1i/12, 1i / %则12与a的位置关系是（）4 .如图，在棱长为 a的正方体 ABCD-A iBiCiDi中，M、N分别为AAi、C1D1的中点，过 D、M、N三点 的平面与直线 AiBi交于点P,则线段PBi的长为.5 .如图，正方体 ABCD-A iBiCiDi中，对角线 BD i与过Ai、D、Ci的平面交于点 M,则BM : MDi=.（5题）（6题）6 .直线a、b不在平面 内，a、b在平面 内的射影是两条平行直线，则a、b的位置关系是7 .正方体 ABCD-AiBiCiDi中

15、，E、F、G、H分别为AA i、CCi、CiDi、DiAi的中点，则四边形EFGH的形状是8 .空间四边形ABCD 中，AD=i ,BC= 3 , BD= * , AC=立,且AD 2BC ,则异面直线AC和BD所成的角为,，八_ i _9 .在四麴t P ABCD中，AB/CD, AB DC,E为PD中点，F为PC中点.求证：AE / /平面PBC . 2Di0,如图，矩形ABCD, AB为圆O的直径，点F在圆。上，设FC的中点为M ,求证：OM /平面DAFii. M、N分别是正方体ABCD-A iBiCiDi 的棱 BB i、BiCi 的中点，（求MN与CDi所成的角.12 .如图，已知

16、空间四边形 ABCD的对角线AC=i4cm ,BD=i4cm ,M、N分别是AB ,CD的中点，MN= 7V3 cm,求异面直线AC与BD所成的角.13 .已知四面体ABCD中，M, N分别是 ABC和ACD的重心，求证:(1) BD平面 CMN ;(2) MN平面 ABD .EFGH14 .如图，空间四边形 ABCD被一平面所截，截面（1）求证：CD/平面 EFGH;（2）求异面直线 AB, CD所成的角.15 . M , N, P分别为空间四边形 ABCD的边AB , BC, CD上的点，且 AM : MB=CN : NB=CP : PD.求证:(1) AC平面 MNP , BD平面 MN

17、P;(2)平面 MNP与平面 ACD的交线/AC.【拓展训练】1 .（四川卷）l1,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. l1±l2,l21l3?1i/13B.l1±l2,l2/l3? l1 1 l3C. l1 / l2/l3? l1,l2, l3 共面D.l1, l2,l3 共点？ l1, l2, l3 共面2 .（浙江卷）若直线l不平行于平面”，且l %则（）A . a内的所有直线与l异面B . a内不存在与l平行的直线C. a内存在唯一的直线与l平行D. a内的直线与l都相交3 .（四川卷）下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则

18、这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5 .（四川卷）如图，在正方体 ABCD ABCiDi中，M、N分别是CD、CCi的中点，则异面直线 AiM与DN所成角的大小是 6 .如图，ABCDEF A1B1C1D1E1F1是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB作圆柱的截面交下底面于 C1E1 ,已知FC1 J13,证明：四边形FBE1cl是平行四边形.7 .如图，四棱柱ABCD ABiCiDi的底面ABCD

19、是平行四边形，E,F分别在棱BBi,DDi上，且AF / ECi ,求证：AE/FCi .【参考答案】i、巩固练习答案i .【答案】C2 .【答案】C3.【答案】4 .【答案】因为，O,D分别为AB, PB的中点所以，OD/PA又因为，PA 平面PAC , OD 平面PAC所以，OD/平面PAC5 .【答案】因为，E,F分别是PB,PC的中点所有，EF/BC由题可得，AD/BC ,即AD/EF又因为，AD 平面PAD , EF 平面PAD所以，EF/平面PAD6 .【答案】连接CiB交CBi于点E,连接ED在平行四边形BB1CC1中，E为CiB中点又因为D为AB中点所以，ED/CiA又因为，E

20、D 平面CDBi, CiA 平面CDBi所以，CiA/平面CDBi7 .【答案】证明：连接BD,MO在平行四边形 ABCD中，因为。为AC的中点，所以。为BD的中点,又M为PD的中点，所以PB/MO因为PB 平面ACM , MO 平面ACM所以PB/平面ACM .8 .【答案】取CE中点P ,连结FP, BP ,L - , ,一 i _. F 为 CD 的中点，PF/ED,PF ED2pi又 AB/ED, AB -DE2.AB/PF, AB PF，ABFP为平行四边形， AF/BP.又. AF 平面 BCE , BP 平面 BCE AF/平面 BCE9 .【答案】连接AF因为 AAi / BB

21、i / CCi , AAi BBi CCi,所以ACCiAi为平行四边形，因此 AC/AiCi, AC ACi在正方形 ABCD中，F为中心，即F为AC中点由于E是线段AiCi的中点，所以FC/AE, FC AE,所以AiEFC为平行四边形，即 FA1 /CE因为FA 面ABD , CE 平面AiBD ,所以CE /平面ABD2、课后作业答案1.【答案】C 2.3. BD4. 3a 5. 2:1 6.平行或异面47 .等腰梯形8. 9009 .【答案】证明：连接EF ,1E为PD中点.F为PC中点，则EF/CD,EF -CD21 因为 AB/CD, AB CD,2所以EF/AB,EF AB,则

22、四边形 ABEF是平行四边形.所以AE/BF因为AE不在平面PBC内，BF在平面PBC内，所以AE/平面PBC .10 .【答案】 设DF的中点为N ,则 MN / 1CD，又 AO / 1CD , 22则MN / AO ,四边形MNAO为平行四边形，OM / AN又AN 平面DAF , OM 平面DAF , OM / 平面 DAF .11 .解：（1）在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，AD/B 1C1 B1C1与MN所成的锐角（或直角）是 AB、CD所成的角.A乙别是8/遇C的中点Z G= 900 n AA弭Af是等腰直角三角形&G =珥JB1NM=45 0MN与AD所成的

23、角为 450.（2）连接A1B,过M在面A1B中作A1B的平行线交 A1B1于点L,连接LN ,可以证明DC | 4月|=：. LM/D 1CLMN （或其补角）即为MN与CD1所成的角.“鬻?点卜尾刖中点3V砧LsJ | J2同理*小,=民LN= ；4G> =>必光是等边三角形可以求得4月=。声=4GLMN=60 0 MN与CDi所成的角为60°.12 .解：取BC的中点P,连接PM, PN,可证 MPN （或其补角）是异面直线 AC与BD所成的角,在 PMN 中，由 MP=NP=7 , MN=7j3,可得 cos MPN = 1 MPN =120 0.2，则异面直线A

24、C与BD所成的角为600.13 .连接AM , AN,并延长分别交 BC, CD于点E, F,连接EF,由M, N分别是 ABC和 ACD的重心，得E, F分别是BC, CD的中点,贝U EF/BD ,易证得 BD平面 CMN ;ASJ AV 2由,得 MN/EF ,可证 MN 平面 ABD .AC AF 314 . （1）由四边形EFGH是矩形可得，EF/GH ,可证得EF平面BCD ,又因CD是过EF的平面ACD与平面BCD的交线，则 EF/CD ,所以CD平面EFGH .(2)由CD平面EFGH ,可证得 CD/GH ;同理可证 AB/GF ;FGH就是异面直线AB , CD所成的角（或补角）因为EFGH是矩形，所以 FGH=90 0,则异面直线ABCD所成的角为900.15.证明：（1）(2)JA/ CV-=A/Ar| JCMB NS