必修二立体几何复习+经典例题

1、、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线 ，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一

2、个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

3、4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义:成90 口角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线 ，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线 ，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角则两面垂直2、 一个平面经

4、过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为 90°2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面0二 900 ,90 1:0 << 900 ,90 1:0：二 900 ,90 1;取值范围是：0隈曰180立（0口,180刃九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是2、直线与平面所成的角的取值范围是3、斜线与平面所成的角的取值范围是4、二面角的大小用它的平面角来度量十、三角形的心1、 内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、 重

5、心：中线的交点4、 垂心：高的交点咧题分析】例2 在四麴隹P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M, N分别是AB, PC的中点，求证：MN /平面PAD.吩析】要证明 线面平行”，可通过 线线平行”或 面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造（添加）中位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点E,连接AE, NE.底面ABCD是平行四边形，M, N分别是AB, PC的中点，一一 一 1 、. MA/CD, MA=CD.2.E是PD的中点,1”. NE/CD, NE CD.2. MA /NE,且 MA = NE,. AENM是平行四边形，. MN /AE.又AEu平面PAD,

6、 MN d平面PAD,. MN /平面 PAD.方法二取CD中点F,连接MF, NF.MF/AD, NF /PD,平面MNF /平面PAD,. MN /平面 PAD.呼述】关于直线和平面平行的问题 ，可归纳如下方法：证明线线平行：alc, b Hc,a" a, a= Ba / 3a -L a, b -L aad B= bn a= a,n 3= b=a/bna/b=a /b=a /b(2)证明线面平行a n a=/a /ba/ 3b 'a二 aau 3na / a二 a / a二 a / a(3)证明面面平行aCl 3= 0all 3, b / 3a± a, a

7、77; 3a /, 3 /a, b匚 a, anb = A=a/ 3na / 3=a / 3na / B例 3 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AAi = AC, AB±AC,求证：ACBC1 .吩析】要证明 线线垂直”，可通过 线面垂直”进行转化，因此设法证明 AiC垂直于经过BCi的平面即可.证明：连接ACi.ABC- A1B1C1是直三棱柱，. AAd平面 ABC,. ABXAAi.又 AB± AC,. AB,平面 AiACCi,. AiC±AB.又 AAi = AC,.侧面AiACCi是正方形，. AidACi.由，得AC平面ABCi,. AiC&#

8、177; BCi,呼述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的 直三棱柱”及ABAC”都要将其向 线面垂直”进行转化.例4 在三麴隹P ABC中，平面PAB，平面ABC, AB± BC, APL PB,求证：平面 PAC，平面 PBC.吩析】要证明 面面垂直”，可通过线面垂直”进行转化，而线面垂直”又可以通过线线垂直”进行转化.证明：,平面PAB，平面ABC,平面PABA平面ABC=AB,且AB± BC,.BC，平面 PAB, . APXBC.又 AP± PB,AP，平面 PBC,又AP二平面PAC,平面PACL平面P

9、BC.呼述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法(1)证明线线垂直a± c, b /c,a± ab匚a=a±b二a±b(1)证明线面垂直a±m, a±na"b, b± aall 3, a± 3a_L B, aCl B= lm, nU& m A n= Aac & a±l=a_L an a_L a=a_L an a _L a(1)证明面面垂直ZAiAB=60° ,E, F分别是 ABi, BC 的中点.(I )求证：直线EF/平面AiACG；(n)在线段AB上确定一点

10、G,使平面EFGL平面ABC,并给出证明证明：(I)连接AiC, AiE.,侧面AiABBi是菱形，E是ABi的中点，E也是AiB的中点，又F是BC的中点，EF/AiC.AiC二平面 AiACG, EF0平面 A1ACC1,.直线 EF/平面 AiACCi.BG 1 .(2)解：当 =一时，平面EFG，平面ABC,证明如下：GA 3连接EG, FG.侧面A1ABB1是菱形，且ZAiAB= 60° ,，AiAB是等边三角形.E 是 AiB 的中点，BG = - , . EG±AB.GA 3平面AiABBi，平面ABC,且平面 AiABB-n平面ABC= AB,EG,平面 AB

11、C.又EGU平面EFG,，平面EFGL平面ABC.例6 如图，正三棱柱 ABCAiBiG中，E是AC的中点.(I )求证：平面BEG ±平面ACCiAi; ( n )求证：ABi /平面BEG .吩析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质 ，适当添加辅助线帮助思考.证明：(IABCAiBiCi是正三棱柱，AA平面ABC,BEX AAi.ABC是正三角形，E是AC的中点，.BEX AC,.BEX平面ACC1A1,又BE二平面BEG,平面BEG，平面ACGAi.(n)证明：连接 BiC,设 BCiABiC=D.BCCBi

12、 是矩形，D 是 BiC 的中点，/.DE/ABi，又DE二平面BEC, ABi值平面BEG, ABi /平面 BECi.例7 在四锥 P ABCD中，平面PAD，平面ABCD, AB/ DC, PAD是等边三角 形，已知 BD=2AD = 8, AB =2DC =4j5.(I )设M是PC上的一点，证明：平面MBD,平面PAD；(n)求四棱锥PABCD的体积.吩析】本题中的数量关系较多，可考虑从 算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点 分析知，MB, MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面 MBD内不动”的直线BD是否 垂直平面 PAD.证明：(I )在4ABD中，由于 AD = 4, B

13、D=8, AB=4，g,所以 AD2+BD2=AB2.故 ADBD.word可编辑.又平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD, BDu平面ABCD,所以BD，平面PAD,又BD二平面MBD,故平面 MBD，平面PAD.(n)解：过P作PO±AD交AD于O,由于平面PAD，平面ABCD,所以PO,平面ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高，3又4PAD是边长为4的等边三角形.因此PO=yx4 = 2J3.在底面四边形 ABCD中，AB/DC, AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形，在RtAADB中，斜边AB边上的高为4m = "，即为4.55梯形ABC

14、D的高，所以四边形ABCD的面积为S = 2M ：-尺鳖 =24.故 25VP3BCD =1 24 2 3 =16.3.II_/ J _/9.如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D,E分别是AB, AC边上的点，AD = AE ,F是BC的中点，AF与DE交于点G，将 MBF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥(1)证明：DE 平面BCF ;(2)证明：CF,平面ABF ；2 . 当AD =一时，求三棱锥F -DEG的体积Vf_deg .C3word可编辑.图49.答案】(1)在等边三角形 ABC中，AD = AEAD AE DB -EC，在折叠后的三棱锥A - BCF中也成立，DE/BC

15、 ； DE值平面BCF,BCu平面 BCF，二 DE/平面 BCF ;-1BF =CF =(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF,BC，2.2BC =222在三棱锥 A BCF 中，2 ,二 BC2 =BF2+CF2, CF _L BF :BFCCF =Fj. CF _L平面ABF .;(3)由可知GE/CF，结合可得GE,平面DFG .- VF -DEG =VE-DFG1 11DG FG GF "一3 231 _ 33 324word可编辑.4.如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形，/APD=90。，面PADXW ABCD,且 AB=1

16、, AD=2 , E、F 分别为 PC 和 BD 的中点.(1)证明：EF/面 PAD;(2)证明：面 PDCXW PAD;(3)求四棱锥P-ABCD的体积.4.如图，连接AC,ABCD为矩形且F是BD的中点，AC必经过F 又E是PC的中点， 所以，EF/AP.EF在面PAD夕卜，PA在面内，EF/面PAD(2) .面 PAD，面 ABCD, CDXAD ,面 PAD 门 面 ABCD=AD ,，CD，面 PAD,又 AP 二面 PAD, .-.APXCD又,APPD, PD和CD是相交直线，AP±W PCD又 ADU 面 PAD,所以，面 PDCXW PAD(3)取AD中点为O,连接PO,因为面PAD，面ABCD及 PAD为等腰直角三角形，所以POL面ABCD,即PO为四棱锥 P-ABCD的高i一 2AC=BC= 1AAi ， D 是棱 2. AD=2 , .-.PO=I ,所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V = PO AB AD =一1.如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底面，/ACB=90 ,AAi的中点 (I )证明：平面BDCi，平面BDC(n)平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.i.邮析】(I )由题设知BC ± CCi ,BC