用旋转构造“手拉手”模型

1、中考专题复习一一几何题用旋转构造“手拉手”模型、教学目标：1 .了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征.2 .借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题.3 .举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题.二、教学重难点：1 .挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等.2 .用旋转构造全等的解题方法最优化选择.三、教学过程：1 .复习旧知师：如图， ABD, ABCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：(1) ABEA DBC (2) ABGA DBF(3) ACFBA EGB (4) BFG 为等边三角形(5) AAGBA DGH (6)/DHA = 60° (

2、7) H , G , F , B 四点共圆(8) BH 平分/ AHC师：我们再来重点研究 ABE与DBC,这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外,还有什么共同特征呢?生：它们有同一个字母 B,即同一个顶点 B.师：我们也可以把 DBC看作由 ABE经过怎样的图形运动得到?生：绕点B顺时针旋转60。得到.2 .引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等.师：我们可以称之为“等线段”.生：有同一个顶点.师：我们可以称之为“共顶点” .师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形

3、运动？生：旋转.师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转.3 .小题热身DB图2图31 .如图 1, ABAD 中，Z BAD = 45 , AB=AD, AEBD 于 E, BCXAD 于 C, 则 AF =BE.2 .如图2, ABC和ABED均为等边三角形， ADE三点共线，若BE = 2, CE = 4,则AE =.3 .如图 3,正方形 ABCD 中，/ EAF = 45 , BE = 3, DF =5,则 EF =.师：我们来看第1,第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”.生：题1中，等线段是 AC, BC,共顶点是 C, 4ACF绕点C

4、逆时针旋转90°得 BCD .题2中，等线段是 AB, BC,共顶点是B, 4ABD绕点D顺时针旋转60°得4CBE.师：我们再来看第 3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有.师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是 AD, AB,共顶点是 A.师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90° .师：为什么是逆时针旋转 90。，你是如何思考的？生：我准备构造一个和 ABE全等的三角形， AB绕点A逆时针旋转90°即为AD ,那么将AE逆时针旋转90°可得AG,连接GD,证明全等.师：说的不错，谁能再来

5、归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转.师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转.旋转角为两条“等线段”间的夹角.方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致.师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓.但是，很多题目中只是隐含了 “手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1 :先找有没有“等线段，共顶点”.步骤2:选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转.步骤3:旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另

6、一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等 线段”间的夹角.师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接GD后，要证明G, D, F三点共线.4 .例题精讲例 1:等边 ABC 中，AD = 4, DC = 3, BD = 5,求/ ADC 度数.师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将 ADC绕点A顺时针旋转60° .师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB = AC, A为“共顶点”，我选择的旋转线段是AD,因为AC绕点A顺时针旋转60°至ij AB,所以 ADC也要绕 点A顺时针旋转60° .也可将 ADB绕点A逆时针旋

7、转60° .【解答】 将AD绕点A顺时针旋转 60°到AE,连接BE, DE.则 ADE也为等边三角形.易证 AEBAADC, BE = DC = 4,根据勾股定理逆定理，可证/BED= 90° ,则/ AEB = Z ADC = 150°例2:如图，4ABO和CDO均为等腰直角三角形， ZAOB = ZCOD =90若BOC的面积为1,试求以 AD、BC、OC + OD的长度为 三边长的三角形的面积.师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？ 生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE,即可使OC, OD共线，再通过证明确定

8、 4BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形.【解答】如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE,连接BE.易证 OADAOBE, AD=BE, .BCE 即是以 AD、BC、OC+OD长度为三边长的三角形.又 OC= OE ,SAbce = 2SaBOC = 2.5 .自主练习1 .如图，在四边形 ABCD 中，AD = 4, CD = 3, /ABC = /ACB =Z ADC =45 ,则 BD 的长为 .师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法.生：“等线段”是 CA和BA, “共顶点”是 A.方法是将AD绕点A顺时针旋转90° .2 .如图，在

9、 ABC中，BC=2, AB = 72,以AC为边，向外做正方形ACDE ,连接BE ,则BE最大值为.师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法.生：“等线段”是 CA和EA, “共顶点”是 A.方法是将AB绕点A逆时针旋转90 ° .师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形?生：ABC,因为AC是逆时针旋转90°至ij AE,所以AB也绕点A逆时针旋转90°3 .如图，点 A在O B ±, AB=1, BC=2, 4ACD是等边三角形, 求4BCD面积的最大值.师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法.生：“等线段”是 CA和CD, “

10、共顶点”是 C.方法是将CA绕点C逆时针旋转60° .附：自主练习解答1 .如图，将 AD绕点A顺时针旋转 90°至AE,易证 EACA DAB,可得 CE = BD,又/ EDA = 45° ,/ CDE = 90° ,CD = 3, DE = 4a/2,则 RtCDE 中，CE2=CD2+ DE2= 32 + (42)2=41CE=相,D DB=41BC2 .如图，将 AB绕点A逆时针旋转 90°至AF,易证 EAFACAB, 可得 EF=BC=2. RtBAF 中，AF = AB = 72,，BF = 2.由三 角形三边关系易知，BEWEF+BF,，BE最小值为4.3 .如图，将CB绕点C逆时针旋转 60 °至CE,连