3平面向量的数量积及其应用

1、学案26平面向量的数量积及其应用导学目标：1理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.自主梳理1. 向量的夹角已知两个非零向量 a和b,作oA= a,OB = b，则/ AOB = 0叫做向量a与b的(2)向量夹角0的范围是 时，夹角 0=.夹角0=;a与b反向(3) 如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作 .2向量数量积的定义(1

2、) 向量数量积的定义： ，其中|a|cos a, b叫做向量 a在b方向上的投影.(2) 向量数量积的性质： 如果e是单位向量，则 a e= ea =; 非零向量a, b, a丄b? ; a a =或 |a |=; cos a, b>=; |a b|a|b|.3向量数量积的运算律(1) 交换律：a b =;分配律：(a+ b) c=;数乘向量结合律：(扫)b = a (力)=七b.4向量数量积的坐标运算与度量公式(1) 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a = (a1, a2), b= (b1, b2),贝U a b?(2) 设 a = (a1, a2), b= (b1, b

3、2)，贝U a丄 b?;(3) 设向量 a = (a1, a2), b= (b1, b2)，贝U |a|=,cos a, b>=.(4) 若 A(x1, y1), B(x2, y2),则 AB =，所以 |AB|=.自我检测1 . (2010 湖南改编)在 Rt ABC 中，/ C= 90° AC = 4,贝U AB AC =.2. (2010 重庆改编)已知向量 a, b 满足 a b = 0, |a|= 1, |b|= 2,则 |2a b| =.3. 已知 a= (1,0), b= (1,1), (a + %)丄b,贝U 匸.4平面上有三个点 A( 2, y), B 0,

4、2 , C(x, y),若Ab丄BC,则动点C的轨迹方程为1 2 5. (2009天津)若等边 ABC的边长为2 .3,平面内一点 M满足CM = 6CB + ；CA，则 63MA MB =.探究点一向量的模及夹角问题例 1 已知 |a|= 4, |b|= 3, (2a 3b)(2a+ b)= 61. (1)求a与b的夹角0; (2)求|a + b|;若AB= a, BC =匕，求厶ABC的面积.变式迁移1 (1)已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a c) (b c)= 0，则|c|的最大值为 .(2) 已知i, j为互相垂直的单位向量，a= i 2j, b = i +

5、莎，且a与b的夹角为锐角，则实数入的取值范围为.探究点二两向量的平行与垂直问题例2 已知a = (cos a, sin a), b = (cos B, sin ®,且ka + b的长度是a kb的长度的J3倍 (k>0). (1)求证：a + b 与 a b 垂直；(2) 用k表示a b;(3) 求a b的最小值以及此时 a与b的夹角0变式迁移 2 设向量 a= (4cos a, sin a), b= (sin B 4cos ®, c= (cos B 4sin B.(1)若a与b 2c垂直，求tan(a+ B的值；求|b+ c|的最大值；(3)若tan otan B=

6、 16,求证：a / b.探究点三向量与三角函数的综合应用33例3 已知向量a = cos, sin,x. x 口 厂 n nb = cos , sin ,且 x 3 , 4 .(1)求 a b 及 |a + b；若f(x) = a b |a+ b| ,求f(x)的最大值和最小值.变式迁移3 在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c,且2sin2筈B + cos 2C= 1.(1)求角C的大小；b(2)若向量 m= (3a, b),向量 n = a, - § , m±n , (m+ n) ( m+ n) = - 16.求 a、b、c 的值.禦堂小结1. 一些

7、常见的错误结论：(1)若|a|= |b|,则 a= b; (2)若 a2= b2,则 a = b; (3)若 a / b, b / c,则 a / c; (4)若 a b = 0, 则 a = 0 或 b = 0;(5) |a b|=|a|b|; (6)(a b)c= a(b c); (7)若 a b= a c,贝U b= c.以上结论都是错误的，应用时'VTTT、；要注意.2证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：(1) 要证 AB = CD，可转化证明 AB2= CD2或 |AB|= |CD|.(2) 要证两线段 AB/ CD，只要证存在唯一实数将0,使等式AB = CD成

8、立即可.(3) 要证两线段 AB丄CD，只需证AB CD = 0.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1. 已知非零向量 a, b，若|a|= |b|= 1，且a丄b，又知(2a + 3b)丄(ka-4b)，则实数 k的 值为.f f15r2. 已知 ABC 中'AB = a, AC = b, a b<0, Saabc= "4, |a|= 3, |b|= 5'则/ BAC =.3. (2010湖南改编)若非零向量 a, b满足|a|= |b|, (2a + b) b = 0,贝U a与b的夹角为4. (2010英才苑高考预测)已知a = (2,3)

9、, b = (-4,7)，贝U a在b上的投影为 .5. (2011 南京月考)设 a= (cos 2 a, sin a, b = (1, 2sin a- 1), a j n 若 ab=；，则sin a=.6. (2010 广东金山中学高三第二次月考)若|a|= 1, |b| = 2, c = a + b,且c± a,则向量 a与b的夹角为.7 .已知点 A、B、C 满足 |AB|= 3, |BC|= 4, |CA|= 5，则 AB BC + BC CA+ CA AB的值是3 n8 .已知向量m = (1,1)，向量 n与向量 m 夹角为，且 mn = - 1，则向量 n =2分)9. (12分)已知0为坐标原点且OA= (2,5), OB= (3,1), OC= (6,3)，在线段0C上是否存 在点M，使MA丄MB，若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.nn10. (14 分)已知向量 a= (cos(- 0), sin( - 0), b = (cos -° , si nq- e).(1) 求证：a丄b;(2) 若存在不等于0的实数k和t，使x = a+ (t求函数f(x