【创新方案一轮回扣】2015高考（北师大版）数学（理）复习配套试题：直线与圆锥曲线（知识回扣%2B热点突破%2B能力提升）

1、第九节直线与圆锥曲线【考纲下载】1掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；b0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACB

2、D的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值自主解答(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3|.由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【互动探究】若本

3、例的条件不变，则四边形ACBD的面积有最小值吗？若有，求出其值；若没有，说明理由解：由(2)可知3x24nx2n260，又yxn与椭圆1相交，(4n)243(2n26)8(9n2)0，即3n3,0n29，而SACBD，00.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(kb)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)【方法规律】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点

4、的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)高频考点考点三 圆锥曲线中的定值问题1圆锥曲线中的定值问题，是近几年来高考

5、命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为高档题2高考中关于圆锥曲线中的定值问题有以下几个命题角度：(1)求代数式为定值；(2)求点到直线的距离为定值；(3)求某线段长为定值例3(2013江西高考)椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值自主解答(1)因为e，所以ac，bc.代入ab3，得c，a2，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程

6、为yk(x2)，把代入y21，解得P.直线AD的方程为：yx1.与联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知，解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)法二：设P(x0，y0)(x00，x02)，则k，直线AD的方程为：y(x2)，直线BP的方程为：y(x2)，直线DP的方程为：y1x，令y0，由于y01，可得N联立解得M，因此MN的斜率为m，所以2mk(定值)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、

7、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得如图所示，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合(1)求椭圆C的方程；(2)ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求证：直线AB、AD斜率之和为定值解：(1)由题意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线BD的方程为yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m2640，则2mmn0.基础问题2：直线l与y

8、轴重合时S1，S2各等于什么？S1|BD|OM|a|BD|，S2|AB|ON|a|AB|.基础问题3：|BD|，|AB|各等于何值？|BD|mn，|AB|mn.(2)基础问题1：设直线l为ykx，则M、N到直线l的距离各是多少？M到l的距离d1，N到l的距离d2.基础问题2：S1、S2各等于什么？等于什么？S1|BD|d1，S2|AB|d2，.基础问题3：与xA、xB有何关系？.基础问题4：如何用xA、xB、a、m、来表示k2?A(xA，kxA)、B(xB，kxB)分别在C1、C2上，所以1，1，0，依题意得xAxB0，所以xx，所以k2.基础问题5：如何求的取值？由k20，得0，解得1，由，

9、即11.规范解答不失分依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1：1，C2：1.其中amn0，1. 1分(1)如图1，若直线l与y轴重合，则|BD|OB|OD|mn，|AB|OA|OB|mn；S1|BD|OM|a|BD|，S2|AB|ON|a|AB|.所以， 3分若，则，化简得2210，由1，可解得1.故当直线l与y轴重合时，若S1S2，则1.5分(2)法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2.根据对称性，不妨设直线l：ykx(k0)，()点M(a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则因为d1，d2，所以d1d2. 6分又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以，

10、即|BD|AB|.由对称性可知|AB|CD|，()所以|BC|BD|AB|(1)|AB|，|AD|BD|AB|(1)|AB|，于是. 7分将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得xA，xB.根据对称性可知xCxB，xDxA，于是() . 9分从而由和式可得. 10分令t，()由(1)可知当1，即t1时，直线l与y轴重合，不符合题意，故t1.于是由可解得k2.因为k0，所以k20，于是式关于k有解，当且仅当0，等价于(t21)0，由1，可解得t1，即1，由1，解得1， 12分所以当11时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2；当1时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2.13分法二

11、：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2，根据对称性，不妨设直线l：ykx(k0)，()点M(a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则因为d1，d2，所以d1d2. 6分又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以.因为，所以. 8分由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，可得1，1，两式相减可得0，依题意xAxB0，()所以xx.所以由上式解得k2. 10分因为k20，所以由0，可解得1.从而1，解得1，所以当11时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2；当1时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2. 13分易错警示要牢记易错点一()

12、处没有注意对称性，kR，使后面求解受阻易错点二()处不注意对称性，则|AD|与|BC|的比值不易求出，从而思路受阻易错点三()处不注意对称性，则变量xA、xB、xC、xD较多运算较大，也易出错易错点四()处如果不换元，则运算量较大，易出现错误易错点五()处如果不注意xAxB，则对的范围的限制条件发生变化，从而造成结果出错全盘巩固1如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2 C. D.解析：选B设椭圆长半轴长为a(a0)，则双曲线半实轴的长为，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为2c，所以双曲线的离心

13、率e1，椭圆的离心率e2，所以2.2(2013新课标全国卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D由题意知kAB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0.由AB的中点是(1，1)知则，联立a2b29，解得a218，b29，故椭圆E的方程为1.3(2014长春模拟)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为()A. B. C.或 D.或7解析：选C因为4，m,9成等比数列，所以m6，当m6时，y21为椭圆a26，b21，c25.所以离心率e；当m6时，

14、y21为双曲线，a21，b26，c27，所以离心率e.4(2013山东高考)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.解析：选D抛物线C1：yx2(p0)的焦点坐标为，双曲线y21的右焦点坐标为(2,0)，连线的方程为y(x2)，联立得2x2p2x2p20.设点M的横坐标为a，则在点M处切线的斜率为y|xaxa.又双曲线y21的渐近线方程为y0，其与切线平行，则，即ap，代入2x2p2x2p20得，p或p0(舍去)5(2013全国高考)已知抛物线C：y28x与点M(2,2)

15、，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若0，则k ()A. B. C. D2解析：选D如图所示，设F为焦点，取AB中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0，知MAMB，则|MP|AB|(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MPAGBH，所以GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以AFMAGM90，则MFAB，所以k2.6. 如图，已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6m4的值是()A1 B. C2 D4解析：选C设A(

16、x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，m，将xmym代入抛物线方程y22px(p0)中，整理得y22pmy2pm0，由根与系数的关系，得y1y22pm，y1y22pm，则(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又OAB的面积S|y1y2|(m)42，两边平方即可得m6m42.7(2013安徽高考)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_解析：法一：设直线ya与y轴交于点M，抛物线yx2上要存在点C，只要以|AB|为直径的圆与抛物线yx2有除A、B外的交点即可，也就是使|AM|MO|，即a(a0)，所

17、以a1.法二：易知a0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(，a)，则(m，m2a)，(m，m2a)，因为，所以m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)0.因为由题易知m2a，所以m2a10，故a1，)答案：1，)8若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_解析：由椭圆y21知c2413，c，C，D是该椭圆的两焦点，令|MC|r1，|MD|r2，则r1r22a4，又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.答案：19曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线

18、C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：因为原点O到两个定点F1(1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a1，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1，0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面积不大于a2，所以正确答案：10已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于

19、椭圆顶点的两点A，B，且2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解：(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意，知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即消去y，得(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系，知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，所以x12x2.则所以22.整理，得(9m24)k282m2，又9m240时等式不成立，所以k20，得m20.所以m的取值范围为.11已知椭圆1(a

20、b0)的左焦点F1(1,0)，长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：为定值解：(1)由已知得解得a2，b.故所求椭圆方程为1.(2)证明：由已知F1(1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为yk(x1)(k0)由得(34k2)x28k2x4k2120.由于0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，|AB| .同理|CD|.所以.当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|3，|CD|4；或|AB|4，|CD|3，.综上，为定值.12(2013江西高考)如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心

21、率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：(1)由P在椭圆上，得1.依题设知a2c，则b23c2.代入解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)法一：由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)代入椭圆方程3x24y212，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.在方程中令x4，得M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.由于A，F，B三点共线，则有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意法二：设B(x0，y0)(x01)，则直线FB的方程为y(x1)，令x4，求得M，从而直线PM的斜