概率论(仅供参考)

1、精选优质文档-倾情为你奉上前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点内部使用，仅供参考，不承当任何后果。参考：课本课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：AB=BA，AB=BA结合律(AB)C=A(BC）（AB)C=A(BC）分配律：A(BC) = (AB)( AC )A(BC) = (AB)(AC）德·摩根律第二节频率性质1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）2. 样本事件概率和为1（规范性）3. 如果AB互斥 4. 如果AB不排斥 5.第三节 古典概型性质1. 样本空间中样本点有限，既事件有限2. 样本点概

2、率等可能发生3.例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1. 求出状态方程2. 根据定义域画图3. 求概率=阴影面积/总面积第四节 条件概型公式：条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题全概率公式例题 书 p25贝叶斯公式第五节 独立性如果AB事件独立若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章 重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节 离散型随机变量及其分布律1. 两点分布、01分布既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币记为 Xb（1，p） p表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p表示相

3、反事件概率2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n次，记为 Xb（n，p） p表示事件的概率样本点个数为n3. 泊松分布记为 X()，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的二项分布Xb（n，p）当n充分大，p充分小时，对于任意固定的非负整数k，与泊松分布概率近视相等，并且=nb（数学期望相等）4. 几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性5. 超几何分布既抽取问题不放回情况第三节 随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题）求事件概率公式，p51 1. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式求出各个点

4、的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。2. 已知分布律求发布函数（p52，例题）第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型分布函数几何意义：为连续型概率密度函数的面积所以两者转化与积分有关题型：1. 已知概率密度函数，求常数c（p55 例题）根据公式2. 分布函数求密度函数（习题2 8题）对分布函数求导3. 已知密度函数求分布函数均匀分布密度函数 记为 XU（a，b）分布函数 指数分布密度函数： 记为 XE () 分布函数 经常用来描述寿命问题正态分布（必考）（高斯分布）密度函数：记为XN (, 2).正态分布密度函数性质书上p60也了解根据公式： 可进行查表来求分布律根

5、据事件概率公式可求：例如 正态分布可以看出许多分布的近似分布第五节 随机变量函数的分布1. 离散型2. 连续型公式: （p67 例题）例如：已知密度函数fx（x），求Y=X+1的密度函数1. 求Y=X+1 的反函数：h（y）=Y-12. 套用公式3. 的正负于Y=X+1单调性有关，严格单调递增为+，严格单调递减为-第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量二维变量的联合发布函数性质：对于固定的x，y公式：二维离散型随机变量可以根据其分布规律，用表格表示二维连续型随机变量性质： 该性质用于求函数 （G为平面的一区域）二维均匀分布区域公式：第二节 边缘分布既把x或者y边缘化二维离散型随机变量

6、的函数的分布书p84 例题二维连续型随机变量的函数分布第三节 条件分布P89 例题离散型随机变量的条件分布律既 联合分布律的固定样本点/边缘分布的固定样本点P90 例题连续型随机变量的条件分布密度求法;1. 求出X，Y的边缘密度函数2. 根据条件分布公式，求出条件密度函数3. 求分布密度P92页例题第四节 相互独立的随机分布若 X , Y 相互独立，由定义知，既边缘分布之积求法：书p95例题第五节 两个随机变量函数的分布离散型二维随机变量的函数分布求法：1. 列表2. 对应概率值合并P97页例题连续型二维随机变量的函数分布没懂P99第四章 随机变量的数组特征第一节 数学期望（必考）既 样本的平

7、均值离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 考试真题样本满足概率密度分布函数f（x）=cx3 0<x<11. 求c2. E（x）解 ： 第一问 = = 1/4 *c = 1解得 c = 4第二问 E（x）= =4/5随机变量函数的数学期望例如 E（3x+1）的数学期望离散型 ：连续型：数学期望性质：.1. EC=0（c为常数）2.3.4.常见数学期望：1. 二项分布Xb（n，p） 数学期望为 np2. 几何分布 数学期望为1/p3. 指数分布 XE () 数学期望为1/4. 正太分布XN (, 2). 数学期望为5. 泊松分布X() 数学期望为第二节 方差对数学期望的偏

8、差值求法:DX = E(X EX)2 为标准差或者叫均方差常用公式：真题样本满足概率密度分布函数f（x）=4x3 0<x<13. 求D（x）解：D（x）=2/75常用方差泊松分布 X (l) 方差：正态分布 X N ( m, s 2) 方差 均匀分布XU(a, b) 方差 指数分布 XE () 方差 二项分布X b( n , p) 方差方差性质：D(aX+b ) = a2DXD(c)=0第三节 协方差与关系系数协方差 对于二维随机变量（x,y）,当x，y不相互独立时，xy之间用协方差来描述其中关系协方差公式 ： 协方差性质：1. 2.3.4.5.相关系数X，y的相关系数公式：若其为

9、0表示 xy不相关离散型求相关系数：连续型求相关系数： P137页例题第四节 矩与协方差矩阵矩：对于随机变量x 存在， 称 k 为 X 的 k 阶原点矩存在, 称 mk 为 X 的 k 阶中心矩下一章要用到第五章 大数定理与中心极限定理第一节 大数定理切比雪夫不等式或者： 不太懂，记下公式，例题p145大数定理书上一箩筐看不懂的大数定理证明就是说明了一个东西，在n（样本基数）足够大的时候，算术平方根几乎是一个常数，无限趋近于数学期望书上和ppt上都没例题，基本上不要考第二节 中心极限定理中心极限定理多个独立随机变量满足同一分布，并且具有相同的方差和数学期望，其极限近似与正态分布公式： 例题德莫

10、佛-拉普拉斯定理该定理表明, 正态分布是二项分布的极限分布对于充分大的n 近似有 n的状态分布 既数学期望和与方差和第六章 样本及抽样分布第一节简单随机抽样（代表性与独立性）若总体的分布密度函数为 f (x) , 则样本的联合密度函数为 （表示累乘）经验分布函数P161 例题第二节 抽样分布这节课逃了，没听，好烦，根本看不懂第七章 参数估计第一节 矩估计参数是刻画总体某方面概率特性的数量.例如，X N (m ,s 2), 若m, s 2未知, 通过构造样本的函数, 给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容点估计，估计未知参数的值区间估计，范围设总体的 r 阶矩存在，记为 样本 X1, X2

11、, Xn 的 r 阶矩为经典例题例题第二节 极大似然估计求法设P（x）为概率函数似然函数：对数似然函数：既在其左右加对数然后令其为0，求极大值 例题：第三节 估计量的评选标准设总体服从任意分布， Ex=, Dx= 2既得样本平均值：x， 方差为S2既x为的无偏估计量，S2为2的无偏估计量根据性质：Ex（平均值）=E S2 =2Dx（平均值）=Dx / n第四节 区间估计置信度： 置信区间求法求出，根据置信度查正态分布表求出u计算公式：如果 未知，用方差S来代替，然后查t表 第八章 假设检验看书考点（必考）P111 7题 X 0 1 2 3 Y 0 0.84 0.03 0.02 0.011 0.

12、06 0.01 0.008 0.0022 0.01 0.005 0.004 0.001求1.在Y=1的情况下，X的分布律 2.X=2的条件下，Y的分布规律P143 21题 X -2 -1 1 2Y1 0 0.25 0.25 04 0.25 0 0 0.25证明 XY不相关 也不独立求出边缘分布规律X边缘分布：X -2 -1 1 2Px 0.25 0.25 0.25 0.25求得Ex = -2*0.25+（-1）*0.25 + 0.25 +0.5=0Y的边缘分布Y 1 4Py 0.5 0.5Ey = 0.5+4*0.5 = 2.5有E（yx） = -0.25+0.25 -2 +2 = 0有根据相

13、关系数 cov（x,y）=E（xy）-E(x)*E（y）=0既可以证明，XY不相关又 可以怎么XY不独立P153 3题每袋茶的期望值为100g，标准差为10g，一盒有200袋茶，求一盒茶重20.5kg的概率以(1,2,200)表示一袋茶叶的净重, 由已知,.记为一盒茶叶的净重, 则,因各袋茶叶的净重可以认为相互独立, 即随机变量(1,2,200)相互独立, 从而有,由独立同分布中心极限定理知,近似服从正态分布, 由此知.P171 2题 给出一组样本，求平均值，和方差平均值 ：全部相加/样本个数方差： （所有的（样本个体-平均值）的平方）/样本个数P208 2题一批零件抽取8个 长度如下53.0

14、01 53.003 53.001 53.005 53.000 52.998 53.002 53.006服从正态分布，求平均值和方差的矩估计值，然后求其小于53.004的概率由矩法估计知：， . 从而和的矩估计值分别是：=0.由此知零件长度服从的分布为：. 故.P214 例题每袋大米标准重量为100kg，重量服从正态分布，标准差为0.9kg，随机取9袋大米为100.5 98.6 105.0 98.4 102.5 101.2 99.5 98.9 99.3问大米机是否正常解： 首先标准差已经知道，并且由题可知，服从标准重量，大米机就工作正常所以，提出两个对立的假设H0： u=u0 H1： u！=u0根据公式 解出 |u| = 2.2 >1.96(查表得到)，既拒绝H0，大米机工作不正常P237 2题正常人脉搏72/min，铅中毒的患者中有10个人脉搏如下54 67 68 78 70 66 67 70 65 69为正态分布，在a=0.05下，铅中毒与正常患者的脉搏有没有显著的区别本题是在未知方差的条件下，检验总体均值=72, 取检验统计量为检验假设可设为, .在为真时, 检验统计量, 由已知数据计算可得：, , 代入检验统计量, 得统计量的观测值为,又, 查分布表得, 由此知.故拒绝，即