关于多项式系数微分方程复振荡理论的两个结果

1、第17卷第1期Feb.1997关于多项式系数微分方程复振荡理论的两个结果陈宗煊(江西师范大学数学系,南昌330027)摘要本文证明了:如果ak-j(j=1,k)为多项式,degak-j=nk-j,存在某个ak-s(1sk)满足:当1j<s时,nk-j jnk-s s;当s<jk时,nk-j<nk-s-(j-s).如果F 0是整函数且满足(F)=<(nk-s+s) s,那么微分方程f(k)+ak-1f(k-1)+a0f=F的解满足.(f)=(f)=(f)=(nk-s+s) s,或满足(f)=关键词线性微分方程,整函数,零点,级.分类号AMS(1991)34A20,30D3

2、5 CCLO175§1引言与结果本文使用值分布论的标准记号(见1,5,10).文2,4,7研究了微分方程fp(k)+ak-1f(k-1)+a0f=p1(z)ep0(z)(1.1)的复振荡理论,其中ak-1,a0,p1(z),p0(z)为多项式,其中系数a0的次数对于其结果起着主要影响,其自由项p1e0是仅有有限多个零点的整函数.在本文中,将其推广到更一般的情况,以某个ak-s替换a0,即存在某个ak-s(1sk-1),ak-s的次数对方程解的振荡性质起主要影响,并将自由项推广到一般的整函数.证明了下面定理.定理1假设ak-j(j=1,k)为多项式,degak-j=nk-j,存在某个a

3、k-s(1sk)满足:当1j<s时,nk-j jnk-s s;当s<jk时,nk-j<nk-s-(j-s).假设F(z) 0为整函数,且(F)=<(nk-s+s) s,那么微分方程f(k)+ak-1f(k-1)+ak-sf(k-s)+a0f=F(1.2)的解f为整函数,满足(1.3)(f)=(f)=(f)=(nk-s+s) s;或者满足(f)=.而且当nk-s1时,满足(1.3)式的解一定存在.而满足(f)=的任意二个解f0与f3最多相差一个多项式且deg(f0-f3)<k-s.55© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optica

4、l Disc Co., Ltd. All rights reserved.,其它所有解满足(1.3).定理2假设ak-j(j=1,k)为多项式,且degak-j=nk-j,存在某ak-s(1sk)满足:当js时有nk-j j<nk-s s.假设F(z) 0为整函数,且(F)=(nk-s+s) s,则方程(1.2)的所有解f为整函数,且(f)=(nk-s+s) s.如果(F)=(F),那么所有解满足(f)=(f).mp(z)如果(F)<(F),F=zQ(z)e(m为非负整数,Q(z)为F的非零零点构成的典型乘积(z)s)=nk-s时,或多项式,(Q)<(F),p(z)为次数等于

5、的多项式),那么当deg(ak-s+(p方程(1.2)最多有一个例外解f0满足(f0)=(F)(当F仅有有限多个零点时,f0也仅有有限多个零点),其它所有解满足(1.3).§2引理引理1假设f(z)为超越整函数,(f)=<,则存在对数测度为无穷的集合E1<(1,+),满足(2.1)lim=lim=,rrlogrlogrrE1rE1其中.f(r)为f(z)的中心指标证明由(f)=<,所以存在rn(rn+),满足(2.2)lim=.rnlogrn令:E1<(1,+),E1满足:E1包含了所有使(2.2)式成立的rn中的点,并且对任意rn<E1,.那么容易证明

6、E1的对数测度lmE1=.rn时,都有(2.2)式成立由f为有限级及6的定理1.12,可知lim=1,rlog(r)(r)6其中(r)为整函数f的最大项,(r)= af(r) rf.由(2.3)可知当r充分大时+logM(r,f)2log(r)2log af(r) +2.f(r) logr(2.3)由E1的定义可得limr=.logrrE1引理2假设ak-j(j=1,k)和F如定理1所设,f(z)为微分方程(1.2)的解,且(F)=<(f)<,那么(f)=(nk-s+s) s.证明假设给定任意小的(0<2<(f)-),那么当r充分大时有+(2.4) F(z) <e

7、xpr.另一方面,由引理1可知存在对数测度为无穷的集合E1<(1,+),满足(2.1)式.从而当rE1,且r时M(r,f)>expr(f)-,及(2.5)+(f)-<expr-r0.M(r,f)56© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.6,8,9由Wiman2,取 z =r满足 f(z) =M(r,f),最多除去一个对数测度Valiron理论为有穷的r集合E2<(1,+),有(j)j)(1+o(1)(j=1,k).(2.6)=(f(z)zn假设ak-j=

8、Ak-jzk-j(1+o(1)(Ak-j为非零常数,j=1,k),将它们代入(1.2),由(2.5),(2.6),当取 z =rE1-E2,满足 f(z) =M(r,f),r时,可以得到n-1kk-1)(1+o(1)+Ak-1 zk()(1+o(1)+(zz+Ak-s znk-s(z)k-s(1+o(1)+A0 z0(1+o(1)=o(1).n(2.7)由于代数方程解是系数的连续函数,所以当rE1-E2,r时,可知存在常数c10及有理数满足(2.8)f(r)c1r.由(2.1)与(2.8)可知(f)=,且(nk-s+s) <(nk-s+s) s.如果s,则(2.7)式中仅有一项nk-s)

9、(1+o(1)的次数为最高,矛盾.所以(f)=(nk-s+s) Ak-s zk-s(s.z引理3假设a0,ak-1如定理1所设,则方程f(k)+ak-1f(k-1)+ak-sf(k-s)+a0f=0(2.9)的非零解f或者为次数小于k-s的多项式,或者为超越整函数且满足(f)=(nk-s+s) s,并且这种超越整函数解,当nk-s1时一定存在.进一步,如果还满足k-s=0;或者k-s=1,a0 0;或者k-s2,a0 0,a0,ak-s-1的次数满足:nk-t-(k-t)(t=(s+1),k)互不相等,那么方程(2.9)的所有非零解f满足(f)=(nk-s+s) s.利用3,使用类似引理2的证

10、法可证明.引理4假设bk-j(j=1,k)为多项式,degbk-j=nk-jj(-1)(j=1,k-1),degb0=n0=k(-1),Q为整函数,(Q)=(Q)<,那么微分方程最多一个例外解g0满足(g0)=(g0)=(Q)=(Q),其它所有解g都满足(g)=(g)=(g)=.使用类似于2中引理3的证法可证.g(k)+bk-1g(k-1)+b0g=Q(2.10)§3定理的证明定理1的证明由2,4可知(1.2)的所有解f(z)为整函数,且满足(f)(nk-s+s) s.而由引理2,可知f满足(f)=,或满足(f)=(nk-s+s) s.再由2,4可知:满足(f)=(nk-s+s

11、) s的解一定满足(1.3)式.当nk-s1时,假设f1,fk为(1.2)所对应的齐次方程(2.9)的基础解,由引理3,可知至少存在一个解,设为fk满足(fk)=(nk-s+s) s.而(1.2)的任意解f可以表示为f=c1f1+ckfk+f00(c1,ck为任意常数),57© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.其中f00为(1.2)的某一特解,那么或者(f00)=(nk-s+s) s,或者(f00+fk)=(nk-s+s) .s,所以(1.2)一定存在满足(1.3)式的解如果

12、f0与f3为(1.2)的解,且(f0)=(f3)=,那么(f0-f3)<(nk-s+s) s,且33f0-f为(1.2)所对应的齐次方程(2.9)的解,由引理3可知f0-f为多项式且deg(f0-f3)<k-s.进一步,如果满足中任一条件时,且f0与f3为(1.2)的解,满足f0 f3,(f0)=(f3)=,那么(f0-f3),而f0-f3为(1.2)所对应齐次方程(2.9)的非零解,由引理3,(f0-f3)=(nk-s+s) s,矛盾.所以(1.2)最多一个例外解f0满足(f0)=,其它所有解满足(1.3).定理2的证明由2,4可知(1.2)的所有解f为整函数,且(f)=(nk-

13、s+s) s,当(F)=(F)=时,有(f)=(f).mP(z)下面假设(F)<(F),F=z Q(z)e(m为非负整数,Q(z)为F的非零零点构成的s=).典型乘积或多项式,(Q)=(Q)<,p(z)为多项式且degp=(nk-s+s)pz令f(z)=g(z) e,并将它代入方程(1.2)得到()g(k)+bk-1g(k-1)m+b0g=z Q(z),(3.1)其中bk-j(j=1,k)为多项式,可以算出多项式bk-j的次数:)k-s+(p)k=k(-1),degb0=degak-s(pdeg(bk-j)j(-1)(j=1,k-1).所以由引理4,可知(3.1)的所有解g满足(g

14、)=(g)=(g)=(nk-s+s) s,且最多一个例外解g0满足(g0)=(g0)=(Q)=(F).从而方程(1.2)的所有解f满足(1.3)式和最多一个例外解f0满足(f0)=(F).如果F仅有有限多个零点,那么由4可知(1.2)的例外解f0也仅有有限多个零点.§4关于(f)<(nk-s+s) s的例例1方程f(4)+z2f +z5f+z3f-z2f=(z5+z3+1)ez满足定理1的条件,degak-s=dega2=5.它具有解fc=ez+c z(c为任意常数),(fc)=(F),当c=0时,f0仅有有限个零点,当c0时,有(fc)=1,而F仅有有限个零点.这里,满足条件

15、(f)<(nk-s+s) s的解,不具有定理2中例外解的性质.例2方程f-2zf-f=2z cosz ez满足定理2的条件,这里degak-s=dega1=z1,=(F)=(nk-s+s) s=2,(F)<2.它具有例外解f0=sinz e,满足(F)=(f0),(f0)=.22例3方程f-2zf-f=ez满足定理2的条件,它具有例外解f0=ez,f0与F都没有零点.2258© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.参考文献Math.Soc.,273(1982),351

16、-363.2陈宗煊、高宗升,非齐次线性微分方程解的复振荡,数学学报,35:2(1992),196-203.LondonMath.Soc.(3),53(1986),407-428.quationswithpolynomialcoefficients,Proc4GaoShian,Twotheoremsonthecomplexoscillationtheoryofnon2homogeneouslineardifferentiale25W.Hayman,MeromorphicFunctions,ClarendonPress,Oxford,1964.6何育赞、肖修治,代数体函数与常微分方程,科学出版社,

17、1988.7I.Laine,Anoteonthecomplexoscillationtheoryofnon2homogeneouslineardifferentialequations,ResultsinMath.,18(1990),282-285.8G.Valiron,LecturesontheGeneralTheoryofIntegralFunctions,Cleisea,NewYork,1949.9G.Valiron,FunctionsAnalytiques,PressesUniversitairesdeFrance,Pairs,1954.10杨乐,值分布论及其新研究,科学出版社,198

18、2.TwoResultsontheComplexOscillationTheoryofDifferentialEquationswithPolynomialCoefficientsChenZongxuan(Dept.ofMath.,JiangxiNormalUniversity,Nanchang,330027)AbstractInthispaper,weprove:ifak-j(j=1,k)arepolynomials,degak-j=nk-j,thereex2jnk-s sif1j<s;andnk-j<nk-s-(j-s)ifistssomeak-s(1sk)suchthatnk-js<jk,ifF 0isanentirefunctionsatisfying(F)