质点运动学典型例题

1、.求解风吹气球时气球的运动情况一气球以速率V0 从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按Vxby 增大，其中 b 是正的常量， y 是从地面算起的高度，x 轴取水平向右的方向。试计算：(1) 气球的运动学方程；(2) 气球水平飘移的距离与高度的关系；(3) 气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。解：（ 1）取平面直角坐标系 x0y ，如图一，令 t=0 时气球位于坐标原点 （地面），已知VyV0 ， Vxby.显然，有yV0t.（1）而 dxbybV0t , dxbV0 tdt,dtxt对上式积分，dxbV0 tdt , 得到00bV0 t 2（2）x.2故气球的运动学方程为：

2、rbV0 t 2 i V0 tj .2(2)由（ 1）和（ 2）式消去 t，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系xby 2 .2V0（3）气球的运动速率VVx2V y2b2V02t 2V02b2 y 2V02气球的切向加速度adVb 2V0tb2V0 ydt.b2 t 21b2 y2V02.c.2a2和 a222dV x)2(dV y22 2, 可得而由 anaaxa y()b V0dtdtbV02.anb2 y2V02V 2由 an，求得V 2(b 2 y 2V02 ) 3 / 2anbV02小船船头恒指向某固定点的过河情况一条笔直的河流宽度为 d，河水以恒定速度 u 流动，

3、小船从河岸的 A 点出发，为了到达对岸的 O 点，相对于河水以恒定的速率 V （V>u ）运动，不论小船驶向何处，它的运动方向总是指向 O 点，如图一，已知 AO r0 , AOP0, 试求：小船的运动轨迹。若 O 点刚好在 A 点的对面（即AO d ），结果又如何？.c.解：选定极坐标系， 原点为 O 点，极轴为 OP 。在任一时刻t，小船的位置为 （ r ,），小船速度的径向分量和横向分量VrdrVu cosV r du sindtdt两式相除，得到r ddu sindtdrrVu cosdrdt分离变量，drV u cos d(Vctg ) d ,ru sinu sin积分后，得到

4、rdr(Vctg)dr0ru sin0lnrV(lntanln tan0 )r0u22tgsinln2V / u0),(sintg02rtgsin 0既2V / u).r00(sintg2这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。若 O 点刚好在 A 点的对面，则 r0 d, 代入，得rd(tg)V / u .sin2(ln sin0ln sin)0，2求解小环对地的运动情况一细杆绕端点O 在平面匀角速旋转，角速度为，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设 t0 时小环位于杆的端点O，求：小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。.c.解：本题采用极坐标系较为方便。取t=0 时细

5、杆的位置为极轴，此时小环位于端点O.任意时刻 t ，小环的位置 rut,t .这就是小环在极坐标系中的运动学方程。消去 t，便得小环的轨迹方程：ru,式中 u 为常量， r与 成正比， 小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。在任意时刻，小环的径向速度Vrdru,dtr d横向速度Vrut,dt速度的大小VVr2V 2u 2(r ) 2u 12 t 2 .速度的方向指向阿基米德线的切线方向。小环的径向速度的大小不变，横向速度随r的增大而增大。任意时刻，小环的加速度adVd (ur 0r0 ) ，dtdtr 0 和0 为径向和横向的单位矢量，则a u dr 0drdtdt0drdt0u d0drdt2

6、 r 0dtr2u00rdr 0dt既径向加速度ar2u2 t;横向加速度 a2u.加速度的大小为aa 2a 2u 42t 2尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变化引起的。即使 u=0,小环停在半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速度。横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。.c.求解烟对船的速度当蒸汽船以15km/h 的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正向。过一会儿，船以 24km/h 的速度向正向航行，船上的人则观察到烟飘

7、向正西北方向。若在这两次航行期间，风速的大小和方向都不变，求：风速。（烟对地的速度即风对地的速度。）解：设风速为 V ，则人观察到烟的飘向速度为V烟船 V冯地 V船地由图一所示，可知V sin15（1）24V（ 2）sin(1350)sin 450由（ 2），得到cossin24 .V将（ 1）代入上式，得到cossin248sin15/ sin,55 cos5sin8 sin ,得到tg51.67 ，5903即风来自西偏南59 0 ，风速大小为17.5km/h.运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间一架飞机由 A 相对于空气的速度为求：处向北飞往B 处，然后又向南飞回A 处。已知A、 B

8、 相距为 L，飞机V ，而空气相对于地面的速度（即风速） 为 u，其方向为北偏西角，飞机往返一次的飞行时间。.c.解：由分析可知，V机对地 V机对气 V气对地 ，为了使飞机相对于地面的速度V 的方向指向正北。飞机相对于空气的速度V 必须北偏东角，如图一所示。由上面的矢量式，得到VxV sinu sin0VyV cosu cos .消去，得到VyV 2u 2 sin2u cos所以往程所需时间为t1LV y当飞机由B 返回 A 时， V、 u、 V三者的关系如图二所示。同样可得，VxV sinu sin0,Vy V cosu cos消去，得到 VyV 2u 2 sin2u cos .所以返程所需

9、时间为t2LV y则所求时间可求。.c.运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力在桌上有质量为m1 =1kg 的板，板与桌面之间的摩擦因数u10.5.板上有放有质量m2 =2kg 的物体，板与物体之间的摩擦因数20.25 ，如图一。今以水平力F=19.6N 将板从物体下抽出。问：板与物体的加速度各为多少？解：当用力 F 拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下抽出。现分两种情况分别讨论。（ 1） 物体的运动滞后于板的运动的情况物体和板的受力情况如图二所示。注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦力均为

10、滑动摩擦力。设板的加速度为a1 ，物体的加速度为a2 。列出板和物体的运动方程：对板： Ff 1f 2m1a1 ,N 1N 2m1 g0 ，f2m2 a2 , N 2m2 g0.又因为f11 N 1 , f 22 N 2联立方程组，得a1F2 m2 g1 (m1m2 ) gm1, a22 g.代入数值，得 a10, a20.25g 2.45m / S2在本题的条件下，a2a1 , 这显然是不合理的。（ 2） 物体与板相对静止，物体与板一起运动的情况物体与板的受力图如图三所示。这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。板与物体的加速度相同，设为a，列出板与物体的运动方程

11、：Ff1f 2m1a,N 1N 2m1 g0,f2m2 a, N 2m2 g0,.c.又因为 f 11N1.联立解方程，得到aF1 (m1m2 ) gm1m2,f2m2F1 ( m1m2 ) g ,m1m2代入数值，得到a1.63m / S2 ， f 23.26N .所求得的静摩擦力f2 小于最大静摩擦力 （ f mzx2 N 2 4.9N ），所以是可能实现的。由第一种情况的讨论可知，只有 a1a2 才能将板从物体下抽出，根据以上计算结果，可得F2 m2 g1 (m1m2 ) gm12 g,或者 F( 12 )(m1m2 ) g.代入数值，得到F2.25g22.5N.飞车走壁一杂技演员在圆筒

12、形建筑物表演飞车走壁。设演员和摩托车的总质量为M ，直壁半径为 R，演员骑摩托车在直壁上以速率V 做匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升的距离为h，如图一所示，求：直壁对演员和摩托车的作用力。解：演员受到两个力的作用。一是重力G，另一个是直壁的作用力N. 把 N 分解为沿直壁向上的 N1 和指向圆周运动中心的 N 2 ，如图二所示。同样，把演员的速度V 分解为竖直向上的V1 和绕筒壁做圆周运动的水平速度V2 ，于是.c.N 1Mg ,N 2Ma nM V22.R展开螺旋面成斜面，如图三所示，V 沿斜面向上。且有V2V cosV2 R,h2(2 R)2代入，得到N 2MV 24 2 Rh242 R 2

13、故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为N N12 N22方向与壁成角，N 2arctg42 RV2arctg2 R2.N1( 4h2 ) g求解小船转向的情况一质量为M 的机动船， 在进入河道弯道前Q 点处关闭发动机，以速度 V0 在静水中行驶，设水的阻力与船速成正比。（ 1）若 Q 点至弯道处 P 点的距离为 L0 ，求船行至 P 点时的速度；（ 2）若船行至 P 点时开动发动机，给船以F0 的转向力， F0 与速度方向的夹角为，如图一所示，求：船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。解：（ 1）在 PQ 的河流直道行驶中，船仅受水的阻力，号表示与速度的方向相反。有牛顿运动定律，得到f kV , k 为比例系数，负dVfkVm,.c.L00kVdV dsdVmmV,ds