全等三角形问题中常见的辅助线的作法

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点

2、向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，

3、则中线AD的取值范围是_.本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中.解:延长AD到E,使DE=DA,连接BE.又BD=CD;BDE=CDA.BDECDA(SAS),BE=AC=5.AB-BE<AE<AB+BE.(三角形三边关系定理)即7-5<2AD<7+5.1<AD<6.【经验总结:见中线,延长加倍.】例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.BE+CF >EF证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BGBD=CD，FD=DG，BDG=CDFBDGCDFBG=CFEDFGE

4、F=EG在ABG中，BE+BG>EGBG =CF，EG=EFBE+CF >EF例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2ACACE=BCA，所以BCAACE所以ABC=CAE因为DC=AC，所以ADC=DACADC=ABC+BAD所以ABC+BAD=DAE+CAE所以BAD=DAE即AD平分BAE应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当

5、为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC证明：过D作DMAB，垂足为M,所以AMD=BMD=90°又因为AD=BD,DM是公共边所以ADMBDM(HL)所以AM=BM因为AB=2AC,所以AC=AM,因为AD平分BAC，所以1=2，在ADC和ADM中,AC=AM,2=1,AD为公共边，所以ADCADM,所以ACD=ADM=90,即:CDAC2、如

6、图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD在AB上取点N ,使得AN=ACCAE=EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE又AC平行BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：做辅助线PMBQ，与QC相交与M。（首先算清各角的度数）APB=180°BAPABP=180&

7、#176;30°80°=70°且APM=180°APBMPC=180°70°QBC（同位角相等）=180°70°40°=70°APB=APM又AP是BAC的角平分线，BAP=MAPAP是公共边ABPAMP(角边角）AB=AM，BP=MP在MPC中，MCP=MPC=40°MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在QBC中QBC=QCB=40°BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证：

8、 证明：过点D分别作AB、BC边上的垂线，垂足分别是E、FBCBA点E在AB上，而点F在BC的延长线上DB平分ABCDE=DF在RtAED和RtDCF中DA=DCDE=DFRtAEDRtDCFADE=CDFA+BCD=A+(F+CDF)=A+ADF+90°=90°+90°=180°A+C=180° 5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC延长AC至E，使AE=AB，连结PE。然后证明一下ABPAEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧）PCE中，EC>PE-PCEC=AE-AC，AE=ABEC=A

9、B-AC又PB=PEPE-PC=PB-PCAB-AC>PB-PC 应用：三、平移变换例1 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.设C1点为C的对称点，连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上(1/2BAC+1/2CAC1=90°，所以BAC+CAC1=180°），那么BEC1为三角形，BE+C1EBA+AC1(BC1),因此BE+CEBA+AC,不等式两边同加BC得：PbPa。例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.我不懂

10、其解答过程：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则（为什么要“延长ND交AB于P”？又是怎样想到要这样做的？）BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,AB+AC>AD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD在AC上取点F，使AF=AEAD是角A的平分线角EAO角FAEAO=AO三

11、角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）EO=FO ，角AOE角AOFCE是角C的平分线角DCO角FCO角B60°角A+角C18060120°角COD=角CAO角OCA角A/2角C/260度角OCF180角AOF-角COD180606060°角OCF角CODOC=OC三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等）CF=CDAC=AF+CFAE+CD即：AE+CD=AC2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.(1)证明:连接DB,DC.DG垂直平分BC,则

12、DB=DC;DE垂直AB,DF垂直AC,AD平分角BAC,则DE=DF.故RtDEBRtDFC(HL),得:BE=CF.(2)解:DE=DF(已证);AD=AD.则RtAEDRtAFD(HL),AE=AF.故AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=AE+AF=2AE,即a+b=2AE,AE=(a+b)/2;AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=(AE+BE)-(AE-CF)=2BE,a-b=2BE,BE=(a-b)/2.应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，A

13、CB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：图略.画图正确得1分. (1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD. 2分 (2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立. 证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG. 3分 因为1=2，AF为公共边， 可证AEFAGF. 所以AFE=AFG，FE=FG.

14、 4分 由B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，可得2+3=60°. 所以AFE=CFD=AFG=60°. 所以CFG=60°. 5分 由3=4及FC为公共边，可得CFGCFD. 所以FG=FD. 所以FE=FD. 6分 证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H. 3分 因为B=60°，且AD、CE分别是BAC、BCA的平分线， 所以可得2+3=60°，F是ABC的内心. 4分 所以GEF=60°+1，FG=FH. 又因为HDF=B+1， 所以GEF=HDF. 5分 因此可证EGFDHF. 所

15、以FE=FD. 6分五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。做DPBC，垂足为P，做DQAC，垂足为QD为中点，且ABC为等腰RTAB

16、CDP=DQ=½BC=½AC又FDQ=PDE(旋转）DQF=DPE=90°DQFDPESDQF=SDPE又S四边形DECF=S四边形DFCP+SDPES四边形DECF=S四边形DFCP+SDQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值）四边形DECF面积不会改变例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；解：三角形BDC是等腰三角形，且BDC=120°，所以BCD=DBC=30°三角形ABC是边长为3的等边三

17、角形，ABC=BAC=BCA=60°DBA=DCA=90°顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合，在DMN和DNM中DM=DMMDN=NDM=60°DN=DN所以DMN和DNM全等MN=NM=NC+BM所以 AM+AN+MN=NC+BM+AM+AN=AB+AC=6 所以AMN的周长为6赞同应用：1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）解：ABAD，BC

18、CD，AB=BC，AE=CF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120°，MBN=60°，ABE=CBF=30°，BEF为等边三角形；AE= BE，CF= BF；AE+CF= BE+ BF=BE=EF；图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，则BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60°，ABC=120°，FBC+ABE=60°，FBC+KBC=60°，KBF=FBE=60°，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，B