2008考研数三真题及解析

1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.x(1) 设函数 f (x) 在区间-1,1上连续，则x= 0 是函数g x( ) = ò0 f t dt( ) 的()x( )A 跳跃间断点.( )B 可去间断点.( )C 无穷间断点.( )D 振荡间断点.yC(0,f(a)A(a,f(a)y=f(x)OB(a,0)xD(2) 如图，曲线段方程为 y = f x( ) ，函数在区间0,a上有连续导数，则定积分ò xf ¢(x dx

2、) 等于( ) ( )A 曲边梯形ABOD面积.( )B 梯形ABOD面积.( )C 曲边三角形ACD面积.( )D 三角形ACD面积.(3) 设 f x y( ,) = e x2+y4 , 则函数在原点偏导数存在的情况是()( )Afx¢(0,0)存在, fy¢(0,0)存在 ( )Bfx¢(0,0)存在, fy¢(0,0)不存在( )Cfx¢(0,0)不存在, fy¢(0,0)存在 ( )Dfx¢(0,0)不存在, fy¢(0,0)不存在Oxvx2+y2=u2x2+y2=1Duvy(4) 设函数 f 连续. 若

3、f x( 2 + y2 )F u v( , ) = òòdxdy ，22Duvx + y 其中区域Duv 为图中阴影部分，¶F则 = ()¶u2v2v( )A vf (u )( )B f (u )( )C vf ( )u( )D f (u ) uu(5) 设 A为n阶非 0 矩阵E 为n阶单位矩阵若 A3 = O ，则()( )A E - A不可逆， E + A不可逆.( )B E- A 不可逆， E+ A 可逆.( )C E - A可逆，E + A可逆.( )D E- A 可逆，E+ A 不可逆.æ 12ö(6) 设 A = 

4、31;÷ 则在实数域上与 A合同的矩阵为()è21ø( )A æç-2è 11 ö÷ .-2ø( )B æç 2è-1-1ö÷ .2 ø( )C æç 2è11ö÷ .2ø( )D æç 1è-2-2ö÷ .1 ø(7) 随机变量 X ,Y 独立同分布，且 X 分布函数为 F ( )x ，则Z = max X Y, 分布函数为(

5、)( )AF2 ( )x .( )BF ( ) ( )x F y .( )C 1- éë1- F ( )x ùû2 . ( )D ëé1- F ( )x û ëù é1- F y( )ùû . (8) 随机变量 X : N (0,1)，Y : N (1,4)且相关系数rXY =1，则( )( )A P Y = -2X -1 =1.( )B P Y = 2X -1=1 .( )C P Y = -2X +1 =1 .( )D P Y = 2X +1=1.二、填空题：9-14 小题

6、，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.21,2,xxcxì+£ïíïî3(9) 设函数 f x( ) =在(-¥ +¥,) 内连续，则c =.x > cæ1 öx+ x22(10) 函数 f çè x + x ÷ø = 1+ x4 ，求积分ò2f ( )x dx =.(11) 设D = (x y,) | x2 + y2 £1，则òò (x2 - y dxdy)= .D(12) 微分方程x

7、y¢+ y = 0, y(1) =1, 求方程的特解 y = .(13) 设 3 阶矩阵 A的特征值为 1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则4A-1 - E = .(14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则PX = EX 2= .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 9 分)1 sin x 求极限lim0 x2 ln x .x®(16) (本题满分 10 分) 设 z = z (x y, ) 是由方程x2 + y2 - z =j(x + y + z)所确定的函数，其

8、中j具有 2 阶导数且j¢ ¹ -1，(I) 求dz(II) 记u(x y, ) = x -1 y çèæ ¶¶xz - ¶¶yz ÷øö ，求 ¶¶ux .(17) (本题满分 11 分) 计算òò maxxy,1dxdy, 其中D = (x y,) 0 £ x £ 2,0 £ y £ 2D(18) (本题满分 10 分)设 f ( )x 是周期为 2 的连续函数，t+22(I) 证明对任意实数

9、 t 都有òtf ( )x dx = ò0 f x dx( )xt+2(II) 证明G( )x = ò0 êëé2 f t( )- òtf s ds dt( )ùúû 是周期为 2 的周期函数(19) (本题满分 10 分)设银行存款的年利率为r = 0.05，并依年复利计算. 某基金会希望通过存款 A万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第n年取出(10+9 n )万元，并能按此规律一直提取下去，问 A至少应为多少万元？(20) (本题满分 12 分)设n元线性方程组Ax=b

10、，其中æ 2a1ç2A = ç a2a OçO Oç2 èaö÷÷1 ÷÷2aøn´næ x1 öæ1öç ÷ ç ÷ x20， x = ç÷ ，b = ç ÷ ，ç M ÷ç ÷Mç÷ç ÷è xn øè ø0(I)证明行列式

11、A = (n+1)an ；(II)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1 ；(III)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分 10 分)设 A 为 3 阶矩阵，a1,a2 为 A 的分别属于特征值 -1,1 特征向量，向量a3 满足Aa3 =a2 +a3 . (1)证明a1,a2,a3 线性无关；(2)令P = (a1,a2,a3 )，求 P-1AP .(22)(本题满分 11 分)设随机变量 X 与Y 相互独立， X 概率分布为P X= i= (i = -1,0,1)，Y 的概率密ì10 £ y £1度为 fY ( )y = 

12、7;，记Z = X +Y .î0 其它ì1ü求：(I) PíZ £X = 0ý；î2þ(II) Z 的概率密度 fZ (z) (23) (本题满分 11 分) 设 X1, X2,L, Xn 是总体N (m,s2) 的简单随机样本.记1nX = å X i ，S 2 =1 ån (Xi - X )2 ，T = X 2 - 1 S 2n i=1n-1 i=1n(I) 证明 T 是m2 的无偏估计量； (II) 当m= 0,s=1时，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择

13、题(1)【答案】Bxò f t dt( )【详解】 lim g x( ) = lim0= lim f x( ) = f ( )0 ，x®0x®0xx®0所以x= 0 是函数g(x) 的可去间断点(2)【答案】Còaaaa【详解】xf ¢(x dx)=ò xdf x( ) = xf x( )a0- ò f x dx af a( )=( ) - ò f x dx( )0000òaa 其中af (a) 是矩形ABOC面积，f (x dx) 为曲边梯形ABOD的面积，所以ò xf ¢

14、(x dx) 为00曲边三角形的面积(3)【答案】Cx2+04x【详解】 fx¢(0,0) = lim f x( ,0)- f (0,0) = lim e-1 = lim e -1x®0x -0x®0xx®0xe x -1ex -1e x -1e-x -1lim= lim =1 ， lim= lim = -1 x®0+xx®0+xx®0-xx®0-x故 fx¢(0,0) 不存在02+y4y22fy¢(0,0) = lim f (0, y)- f (0,0) = lim e-1 = lim e-1

15、 = lim y = 0y®0y -0y®0yy®0yy®0 y所以 fy¢(0,0) 存在故选C(4)【答案】 Af u( 2 +v2 )vu2u22【详解】用极坐标得 F u v( , ) = òòdudv = ò dvò f r(r )rdr = vò1 f r dr( 2)01 D u +v¶F2所以 = vf (u )¶u(5)【答案】C【详解】(E - A E)(+ A+ A2) = E - A3 = E ，(E + A E)(- A+ A2) = E + A3

16、= E 故E - A,E + A均可逆(6)【答案】Dæ 1-2ö【详解】记D = ç ÷ø ，è-21l-122l-1-22则lE - D = (l-1) - 4 ，又lE - A = (l-1) - 42 l-1-2 l-1所以 A和D有相同的特征多项式，所以 A和D有相同的特征值. 又 A和D为同阶实对称矩阵，所以 A和D相似由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】 A【详解】F z P Z z PZ( )= ( £ =) maxX Y, £ =z P X z P Y z F z F z F z (

17、 £ ) ( £ =)( ) ( )= 2( )(8)【答案】D【详解】用排除法. 设Y =aX +b，由rXY =1，知道 X ,Y 正相关，得a> 0，排除( )A 、( )C 由 X N(0,1),Y N(1,4) ，得EX = 0, EY =1, 所以 E Y( ) = E aX( +b) = aEX +b = a´ 0+b =1, 所以b=1. 排除( )B . 故选择( )D二、填空题(9)【答案】1ì2 x,x > c【详解】由题设知c ³| x |³ 0 ，所以 f x( ) = ïíx

18、2+1,- £cx £ cïî-2 x,x < -c-22 ， lim+ f x( ) = lim+ 2 = 2因为 lim f x( ) = lim(x +1) = c +1x®cx®cx®cx®c xc又因为 f (x) 在 (-¥ +¥,) 内连续， f (x) 必在 x = c 处连续22 所以 lim+ f x( ) = lim- f x( ) = f c( ) ，即c + =1 Þ c =1x®cx®cc(10)【答案】 ln 3【详解】 f &#

19、230;ç x +，令t = 1 + x ，得 f ( )t = 2 t221111xxxxxx+ö=÷ø+èæ 1öxt - 22ç+ x÷ - 2xè xø22212=2212122x所以 ò2f x dx( )= ò2x2 - 2dx = 2 ln (x - 2)(ln 6 - ln 2) = 2 ln 3p(11)【答案】4【详解】òò (x2 - y dxdy) 利用函数奇偶性òò x dxdy2= 1 ò

20、ò(x2 + y dxdy2 )2DDD= 1 ò2pdqò1r rdr2= p2 0041(12)【答案】 y = xdy-y1xy=【详解】由 = ，两端积分得- ln y = ln x +C1 ，所以 C ，又y(1) =1 ，所以 dxx1y = . x(13)【答案】3【详解】 A的特征值为1,2,2 ，所以 A-1 的特征值为1,1 2,1 2 ，所以 4A-1 - E 的特征值为4´ - =1 1 3， 4´12 - =1 1 ， 4´1 2 - =1 1 所以4A-1 - E = 3´ ´ =1 1

21、 3(14)【答案】e-1【详解】由DX = EX 2 - (EX )2 ，得EX 2 = DX + (EX )2 ，又因为 X 服从参数为 1 的泊松2分布，所以 DX = EX = 1，所以EX 2 = + =112 ，所以 P X= 2= 1 e-1 = 1 e-12！ 2三、解答题(15) 【详解】方法一：limx®0 x12 ln sinx x = limx®0 x12 ln 1æèç + sinx x -1÷öøsin x - xcos x -1sin x1= limx®0x3= limx&#

22、174;03x2= -limx®06x = - 61sin xxcos x -sin xxcos x -sin x方法二：limx®0 x2 lnx 洛必达法则limx®02x2 sin x= limx®02x3-x sin x1 洛必达法则lim06x2= - 6x®(16) 【详解】(I) 2xdx + 2ydy -dz =j¢(x + y + z) (× dx + dy + dz)Þ (j¢+1)dz = -( j¢+ 2x dx)+ -( j¢+ 2y dy)(-j¢

23、+ 2x)dx + -( j¢+ 2y dy)Þ dz =j¢+1(Qj¢ ¹ -1)¶z-j¢+ 2x ¶z-j¢+ 2y(II) 由上一问可知 =,=，¶x j¢+1¶y j¢+11¶z¶z1-j¢+2x-j¢+2y1-2y+2x2所以 u x y( , ) =(-) =(-) =×=x- y ¶x¶yx- yj¢+1j¢+1x- yj¢+1j¢+1&#

24、182;z2x -j¢¶u-2j¢¢(1+ ¶2x) = - 2j¢¢(1+ 1+2j¢ ) = - 2j¢¢(1+j¢+ 23x -j¢) = - 2j¢¢(1+ 2 )3x .所以 =¶x(j¢+1)(j¢+1)(j¢+1)(j¢+1)O0.52xD1D3D2(17) 【详解】曲线 xy = 1将区域分成两个区域D1 和D2 + D3 ，为了便于计算继续对区域分割，最后为òò max

25、 (xy,1)dxdyD= òò xydxdy + òòdxdy + òòdxdyD1D2D31ò2222=dxò 1dy + òdxò x1dy + ò1 dxò1 xydy000 2x= +12ln 2 +- ln 2=+ ln 2(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t，t+202t+2òtf ( )x dx = òt f x dx( )+ ò0 f x dx( )+ ò2f x dx( )t+2tt0 令x

26、= 2+u，则ò2f ( )x dx = ò0 f (2 +u du)= ò0 f u du( )= -òt f x dx( )t+20202所以 òtf ( )x dx = òt f x dx( )+ ò0 f x dx( )- òt f x dx( )= ò0 f x dx( )t+222(II) 由(1)知，对任意的t有òtf ( )x dx = ò0 f x dx( ) ，记a = ò0 f ( )x dx ，则xG x( ) = 2ò0 f u du( )

27、-ax . 所以，对任意的 x ，x+2xG x( + 2) -G x( ) = 2ò0f u du( )-a x( + 2) - 2ò0 f u du( )+ axx+22= 2òx f u du( ) - 2a = 2ò0 f u du( ) - 2a = 0 所以G( )x 是周期为 2 的周期函数.t+2 方法二：(I) 设F t( ) = òtf x dx( ) ，由于F t¢( ) = f t( + 2) - f t( ) = 0 ，所以 F(t) 为常数，22 从而有 F t( ) = F(0) . 而 F (0) =

28、ò0 f x dx( ) ，所以 F t( ) = ò0 f x dx( ) ，即t+22òtf x dx( )= ò0 f x dx( ).t+222(II) 由(I)知，对任意的t有òtf ( )x dx = ò0 f x dx( ) ，记a = ò0 f ( )x dx ，则xx+2G x( ) = 2ò0 f u du( ) -ax ， G x( + 2) = 2ò0 f u du( ) -a x( + 2) 由于对任意 x，(G x( + 2)¢ = 2 f x( + 2) -a =

29、2 f x( ) -a ，(G x( )¢ = 2 f x( ) -a 所以 (G x( + 2) -G x( )¢ = 0 ，从而 G x( + 2) -G x( ) 是常数即有 G x( + 2) -G x( ) = G(2) -G(0) = 0 所以G( )x 是周期为 2 的周期函数.(19) 【详解】方法一：设 An 为用于第n年提取(10 + 9 )n 万元的贴现值，则An = (1+ r)-n (10 + 9 )n ¥¥¥¥¥10 + 9n19nn故 A = ån=1 An = ån=1 (

30、1+ r)n =10ån=1 (1+ r)n + ån=1 (1+ r)n = 200 + 9ån=1 (1+ r)n 设 S x( ) = nxn Î -x ( 1,1)n=1¥nxx因为 S x( ) = x(ån=1 x )¢ = x(1- x)¢ = (1- x)2 Î -x( 1,1)11所以 S() = S() = 420 (万元) 1+ r1.05 故 A= 200+ ´9420 = 3980 (万元)，即至少应存入 3980 万元. 方法二：设第t年取款后的余款是 yt ，由题意

31、知 yt 满足方程yt = (1+ 0.05)yt-1 - (10 + 9 )t ，即 yt -1.05yt-1 = -(10 + 9 )t (1) (1)对应的齐次方程 yt -1.05yt-1 = 0 的通解为 yt = C(1.05)t 设(1)的通解为 yt* = at +b ，代入(1)解得 a=180，b= 3980 所以(1)的通解为 yt = C(1.05)t +180t + 3980由 y0 = A， yt ³ 0得 A=C+ 3980 C³ 0 故 A至少为 3980 万元(20) 【详解】(I) 证法一：222212212131210221221122

32、12301240134(1)2(1)33211)(0nnnaaaaaaaaarraaaaaaanaaanraranannnan-=-+-=×+=××+OOLOOOOOOOOOOOKOOOOOA=2a1证法二：记Dn =| A | ，下面用数学归纳法证明Dn = (n+1)an 当n=1时， D1 = 2a，结论成立2a12当n= 2时，D2 =2= 3a ，结论成立 a2a 假设结论对小于n的情况成立将Dn 按第 1 行展开得0Dn = 2aDn-1 -2a a212a1O O O O Oa212aa21 = 2aDn-1 -a D2n-2 = 2anan-1 -

33、a n2( -1)an-2 = (n+1)an故 | A|= (n+1)an 证法三：记Dn =| A | ，将其按第一列展开得 Dn = 2aDn-1 -a D2 n-2 ，所以 Dn -aDn-1 = aDn-1 -a D2n-2 = a D(n-1 -aDn-2)= a2(Dn-2 -aDn-3) =L= an-2(D2 -aD1) = an 即Dn = an + aDn-1 = an + a a( n-1 + aDn-2) = 2an + +a D2n-2=L= (n- 2)an + an-2D2 = (n-1)an + an-1D1= (n-1)an + an-1 ×2a

34、= (n+1)an(II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax=B知 A ¹ 0 ，又 A = (n+1)an ，故a¹ 0由克莱姆法则，将Dn 的第 1 列换成b，得行列式为nn´=112a10 2a 1a2 2a 1 a2 2a Oa2 2a On-1= Dn-1 = naO O OO O OO O1O O1a22aa22a(n- ´ -1) (n 1)Dn-1n所以 x1 =Dn(n+1)a(III) 方程组有无穷多解，由 A = 0，有a= 0，则方程组为æ 01çç01öæ x1ö

35、0; ö1÷ç÷ç ÷÷ç x2÷ç ÷0çO Oç÷çM÷ = ç ÷M÷ç÷ç ÷ç01÷ç xn-1÷ç ÷0çè0÷øçè xn÷øç ÷è ø0此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩

36、均为n-1，所以方程组有无穷多解，其通解为 k (100 L 0)T + (010 L 0)T ,k 为任意常数(21)【详解】(I)证法一：假设a1,a2,a3 线性相关因为a1,a2 分别属于不同特征值的特征向量，故a1,a2 线性无关，则a3可由a1,a2 线性表出，不妨设a3 =l1a1 +l2a2 ，其中l1,l2 不全为零(若 l1,l2 同时为 0，则a3为 0，由 Aa3 =a2 +a3 可知a2 = 0 ，而特征向量都是非 0 向量，矛盾)Q Aa1 = -a1, Aa2 =a2 Aa3 =a2 +a a a a3 =2 +l1 1 +l22 ，又Aa3 = A l( 1a1

37、 +l2a a a2) = -l1 1 +l22 -l1a1 +l2a2 =a a a2 +l1 1 +l2 2 ，整理得：2l1a1 +a2 = 0 则a1,a2 线性相关，矛盾. 所以，a1,a2,a3 线性无关.证法二：设存在数k k k1, 2, 3 ，使得k1a1 +k2a2 + k3a3 = 0 用 A左乘(1)的两边并由 Aa1 = -a1, Aa2 =a2 得(1)-k1a1 + (k2 + k3)a2 + k3a3 = 0(2)(1)(2)得2k1a1 -k3a2 = 0(3)因为a1,a2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以a1,a2 线性无关，从而k1 = k3 =

38、 0 ，代入(1)得k2a2 = 0，又由于a2 ¹ 0 ，所以k2 = 0 ，故a1,a2,a3 线性无关.(II) 记P = (a1,a2,a3) ，则P 可逆，AP = A(a1,a2,a a a a3) = (A 1, A 2, A 3) = (-a1,a2,a a2 +3)æ-1= (a1,a2,a3)çç 0ç 0è0 0öæ-1÷ç1 1÷ = Pç 001 00ö÷1÷1÷ø01÷ø

39、1; 0èæ-10所以 P AP-1= çç 01ç 00è(22)【详解】0ö÷1÷ .1÷ø1P X(=0,Y £ )11111(I) P Z(£X =0) = P X Y(+£X =0) =2 = P Y( £ ) =ò021dy = 222P X(=0)2(II) FZ (z) = P Z£ z = P X+Y £ z= P X+Y £ z X,= -1+ P X+Y £ z X,= 0+ P X+Y £ z X,=1= P Y£ z +1, X = -1+ P Y£ z X,=