23 映射的概念解析

1、2.3映射的概念【课标要求】1了解映射的概念，掌握映射的三要素2会判断给出的两集合，能否构成映射【核心扫描】1映射与函数的关系(重点)2映射概念的理解(难点)【自学导引】一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的 ，记作f：AB.想一想：1.在映射f：AB中，B中的每个元素，在集合A中是否都有元素与它对应？提示：B中不是每个元素在集合A中都有元素和它对应，即使有元素和它对应，元素也不一定是唯一的2在映射f：AB中，若集合A中元素与B中元素的对应是一对一的，这时集合A与集合B元素个数有什么关系？提

2、示：相等【名师点睛】1映射包括集合A，B以及从A到B的对应法则f，三者缺一不可2对于映射f：AB来说，应满足：集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应集合A中的不同元素，在集合B中对应的元素可以是同一个不要求B中的每一个元素在集合A中都有元素与之对应3映射是一种特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的，也就是说对应法则f具有方向性. 题型一：映射概念的应用【例1】 设f：AB是从A到B的一个映射，其中AB(x，y)，x，yR，f：(x，y)(xy，xy)(1)求A中元素(1，2)在f的作用下，对

3、应B中的元素；(2)若A中的某个元素在f的作用下，在B中与之对应的元素为(1，2)，求A中的这个元素思路探索：本题是映射概念的应用，关键是紧扣定义，充分利用对应法则f：(x，y)(xy，xy)解：(1)由x1，y2，得xy1，xy2，所求B中的元素为(1，2)(2)由得或所求A中的元素为(2，1)或(1,2)规律方法：由于映射f：AB是单值对应，所以由A中元素求B中元素时，结果是唯一的，但由B中元素来求A中元素时，结果可能有多个【训练1】已知集合A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，且aN，kN，xA，yB，映射f：AB，使B中元素y3x1和A中元素x对应，求a和k的值解：根据f：xy3

4、x1可知1,2,3，k的对应元素分别为4,7,10,3k1，那么根据B可知10B，故a410或a23a10，aN，a23a10，a2.此时B4,7,10,16，又3k1B，3k14或3k17或3k110或3k116，得k1,2,3,5，注意到集合A中元素的互异性，经检验k5，a2，k5.题型二：求映射的个数【例2】 已知Aa，b，c，Bd，e问：A到B能构成多少个映射？思路探索：给定两个集合，或构成映射的某些条件，要确定映射的个数，如果集合元素比较少时，可以直接列举出所有符合题意的映射解：根据映射的概念，可以分为“三对一”和“三对二”两种“三对一”型，有两个映射，即f(x)d(xa，b，c)和

5、g(x)e(xa，b，c)“三对二”型，有如图所示的几种情况：共有268(个)映射规律方法：(1)要特别注意的是：所谓A到B的一个映射是指通过对应法则使A中所有元素找到象，不要理解成一个元素对应一个映射(2)一般地，在没有任意限制的条件下，要将一个n元集合映射到一个m元素集合共有mn个映射【训练2】已知集合A1,2，Ba，b，建立从集合A到集合B的映射，并画图表示解：可建立4个映射，它们是：题型三：映射与函数的关系【例3】判断下列对应是不是A到B的映射，是不是A到B的函数？(1)Aa|an，nN*，Bb|b，nN*，f：ab；(2)Ax|x0，BR，f：xy2x；(3)A平面M内的矩形，B平面

6、M内的圆，f：作矩形的外接圆审题指导：本题考查映射的概念以及映射与函数的关系等知识及其在解题中的应用【题后反思】 (1)判断一个对应是不是映射要紧紧抓住映射的定义的本质A中任意一个元素在B中都要有唯一的一个元素与之对应，但集合B中的元素可以没有A中的元素与之对应即映射是两个非空集合A到B的一种确定的“一对一”或“多对一”的对应关系，“一对多”不能构成映射所以映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是一种特殊的对应 (2)判断一个对应是否为函数，首先看其是否为映射，在映射的前提下看两个集合是否为非空数集【训练3】 下列对应是不是从A到B的映射，是不是A到B的函数？(1)Ax|x2，xN，By|y0

7、，yZ，f：xyx22x2；(2)AR，B0,1，f：xy(3)Ax|xR，By|yR，f：xy±；(4)设A矩形，B实数，对应法则f为矩形与它的面积的对应；(5)设A实数，B正实数，对应法则f：x.解：(1)是映射因为yx22x2(x1)211，所以对任意的x，总有y1.又当xN时，x22x2必为整数，即yZ.所以当xA时，x22x2B.所以对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应故(1)是映射因A、B都是数集，故也是函数(2)对于R中任何一个元素x，在B中都有惟一的数0或1对应，故(2)是映射因A、B都是数集，故也是函数(3)任一个x都有两个y与之对应，所以不是映射，也不是

8、函数(4)对每一个矩形，它的面积是惟一确定的，所以是映射，但A不是数集，故不是函数(5)这不是映射，因为x0时，集合B中没有元素与之对应；也不是函数【误区警示】未正确理解映射中的象和原象导致错误【示例】已知映射f：AB中，A中的元素(x，y)和B中的元素(xy，xy)对应求(3,2)在f作用下的对应的原象错解： 因为所以所以(3,2)在f作用下所对应的原象为(5,6)思维突破：求(3,2)的原象，说明(3,2)是B中元素，而求的是A中和它对应的元素，错解恰好弄反了正解：设(3,2)在f作用下所对应的原象为(x，y)，则由题意得解得或所以(3,2)在f作用下所对应的原象为(1,2)或(2,1)追

9、本溯源：正确理解概念是解题的前提条件象和原象的概念是：映射f：AB中，与A中的元素a对应的B中的元素b叫作在映射f作用下的象，a叫做b的原象.1下列各图表示的对应能构成映射的有_(填序号)解析：这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，B中都有惟一的元素与之对应对于，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射对于，A中的元素a3、a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射综上可知能构成映射的是、.答案：2根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素解析：根据f：x2x1知，12×111,32×315,52×519.答案

10、：1593已知集合Aa，b，集合B0,1，下列对应不是A到B的映射的是_解析：均满足映射定义，不满足任一A中元素在B中有惟一元素对应，且A中元素b在B中无惟一元素与之对应答案；4下面对应是从A到B的映射的是_(请写出序号)，是函数的是_A你们班的同学，B生日，f：每个同学对应自己的生日；A0,1,2,3，B0,2,4,6，f：cd(cA，dB)；A非负有理数，BR，f：y(xA，yB)；A2，1,0,1,2，B2，1,0,1,2，f：h(gA，hB)解析:由映射，函数的定义直接判断是映射，不是函数，因为1个人只有一个生日，A、B不是数集是映射也是函数是映射也是函数不是映射，也不是函数，因为0没

11、有对应元素答案5对映射f：AB，下列说法正确的是_A中的每一个元素在B中有且仅有一个象；A中不同的元素在B中的象必不相同；B中的元素在A中都有原象；B中的元素在A中可以有两个以上的原象，也可以没有原象解析:符合定义，是正确的；是错误的，因为A中不同的元素可以在B中有相同的象；是错误的，因为映射定义只要求A中的任一元素在B中都有唯一的象，不要求B中的每一个元素在A中都有原象；是正确的，符合映射定义答案6设集合Ax|4x6，By|yR，映射f：AB，f(x)x23x4.(1)求A中的元素0,1,3在集合B中的对应元素；(2)求B中的元素0在集合A中的对应元素解:1)f(x)x23x4，f(0)4，

12、f(1)0，f(3)14.(2)令x23x40，解得x4，或x1，即B中的元素0在集合A中的对应元素为4或1.7已知映射f：AB，其中A3，2，1,1,2,3,4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素，且对任意aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数有_个解析已知映射f：AB，在集合A3，2，1,1,2,3,4中共有7个元素，其中两个不同元素3,3对应B中相同的象|±3|3；2,2对应B中相同的象|±2|2；1,1对应B中相同的象|±1|1；4对应B中|4|4.答案48已知B1,3,5，若f：x3x2是A到B的映射，则含有三个元素的集合A

13、为_解析由f：x3x2，分别令：3x21，3x23,3x25，得x，.A，答案，9若集合A0,1,2，f：xx22x是从A到B的映射，则集合B中至少有_个元素解析由A0,1,2，f：xx22x，分别令x0,1,2，x22x0，1,0，又根据集合中元素的互异性，B中至少有2个元素答案210现给出两个集合A1,2,3,4，B2,3,4,5,6,7,8,9，请你设计一个对应关系f，并使其成为函数f：AB.则此函数为_(写出一个即可)解析这是一道有助于学生再次理解函数概念的开放型问题，对应关系有很多种，比如f(x)2x1，f(x)x2等答案f(x)2x111如图所示为1988年到2012年的奥运会中，

14、我国每届奥运会获得的金牌数，设年份为x(x1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012)，金牌数为y.试判断y是否为x的函数，x是否为y的函数解由题图知，获得的金牌数y随着年份x的变化而变化，对于每一个x的值，都有唯一确定的一个y与它相对应，所以获得的金牌数y是年份x的函数由图知，金牌数16对应了年份1996和2000，即对于每一个y的值，并非都有唯一确定的一个x与它相对应，所以年份x不是获得的金牌数y的函数12设f，g是由A到A的映射，其对应法则如下表所示映射f的对应法则x123f(x)231映射g的对应法则x123g(x)213试求f(g(1)，g(f(2)，f(g(f(3)