2011年湖南省高中数学竞赛试题

1、2011年湖南省高中数学竞赛试题说明:1、评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次给分.一、 填空题(本大题共10小题, 每小题7分,满分70分).1.已知函数在区间内为减函数,在区间内为增函数,则 2 .【解析】因由题可知,且是函数的极值点,即得.2.设是两个集合,称为一个“对子”.当时,将与视为不同的“对子”.满足条件的不同的对子的个数为 81 .【解析】分类讨论:当时,则只有一种情形;当为单元集时(有种),如取时,则或两种,其个数相当于是的子集个数2,故由分步办事乘法原

2、理知,此时有种;当为双元集时(有种),如取时,则除含有元素外,可含或不含中元素.其情况相当于是的子集个数,故由分步办事乘法原理知,此时有种;同理,当为三元集时有种),当时有种;综上可知,由分类办事加法原理得共有,种.如图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( B )3.设函数,若,则你对函数在区间中零点存在情况的判断是 1 .【解析】由于,且抛物线开口向上,可知其与轴有两个交点,且,而又由于,可知,显然,且图象在上单调递增,故只有一个零点.4.已知椭圆的两个焦点分别为点满足,则的取值范围是.【解析】由题知点在椭圆内部(含边界),故有,即求.5.已知复数满足为虚数单位),复数的虚部为2,则

3、为实数的条件是 .【解析】 由得,又设,所以又为实数,所以得,即.6.已知数列满足递推关系式且为等差数列,则的取值是.【解析】由已知得,两边同除以得,显然数列是公差为的等差数列.或者由为常数,所以,即求.7. 过函数的图象上一点的切线的斜率为,则的取值范围是 -1,3【解析】由8.已知平面内三点满足,则的值为-25 .【解析】由条件知,所以.9.边长为4的正方形沿折成的二面角,则中点与的距离为.【解析】取中点,容易证明是边长为的正三角形,所以.设中点为,在中.10.规定一又筷子由同色的2支组成.现有黑、白、黄筷子各8只,不用眼睛看,任意地取出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 11

4、 只筷子才能做得到.【解析】因为11只筷子中必有2支筷子同色,不妨设它是黄色的一双筷子,则黑色或白色的筷子至少有3只,其中必有一双同色,即同为黑色或白色,故11只筷子足以保证成功.但少于11只不行,如只取10只筷子,就可能出现8只黄色，黑色和白色各1只的情形,不合要求.二、解答题(大本题共4个小题,满分80分)11. (本小题满分20分)如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条件下,平面内2011条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作判断,并证明你的结论.【解析】不能.证明如下:因为每条抛物线有一条对称轴,所以2011条抛物线至多有2011条对称轴.8分.

5、在平面上任作一条不平行于每一条对称轴的直线则直线和至多2011条对称轴相交至多得2011个交点.12分这至多2011个交点将直线截割若干段,其中2条为射线,其它的为线段,位于抛线线内部的至多只有2011条线段.16分所以,抛物线不能盖住平面上的直线,当然不能盖住整个平面.20分.12. (本小题满分20分)设求证:.【证明】:易知的表达式共有项,分别考察其前项的和与后项的和.4分因为又当时,所以, 8分同理可证 12分由+,可得由此得16分取,得,即所以,20分.13.(本小题满分20分)()设实数,求证:.()从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取1张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为,求证:.【证明】:()构造函数2分则,当时,所以在上为增函数6分所以,即,变形即得10分()由条件知14分又所以.16分在(1)的结论中令,得即.ABCXY所以,20分.14.(本小题满分20分)如图所示,已知由的顶点引出的两条射线分别交于点.求证:成立的充要条件是.【证明】:()先证充分性DABCXY若,如图所示,又作的高,垂足为,则2分由此得 6分同理 8分由×得,变形